Đề thi học kì 1 Toán 11 - Đề số 6

Cấp số cộng có dạng tổng quát $u_{n + 1} = u_{n} + d$.

2, -1, -4, -7, -10 là cấp số cộng với $d = - 3$.

Sử dụng tính chất của hình hộp.

Ta có (ABA') // (DCD').

Dựa vào lí thuyết về vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Có 3 vị trí tương đối của d và (P) là $d \parallel (P)$, $d \subset (P)$, $d \cap (P)$ tại 1 điểm.

Dựa vào các tính chất của phép chiếu song song.

Hình chiếu song song của hình chữ nhật không thể là hình thang.

Dựa vào ĐKXĐ của hàm số.

Hàm số $y = x^{3} + 2x^{2} - 4$ liên tục trên R.

$\alpha$ rad $= \left( \dfrac{\alpha.180}{\pi} \right)^{o}$.

$\dfrac{7\pi}{3} = \dfrac{7.180}{3} = 420^{o}$.

Dựa vào quy tắc tính giới hạn hàm số.

$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{1}{x} = 0$ nên B sai.

Dựa vào ĐKXĐ của hàm số.

$f(x) = \dfrac{x^{2} - 6x}{x + 2}$ không xác định tại x = 2 nên gián đoạn tại x = 2.

Dựa vào kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng.

GH và AC chéo nhau nên mệnh đề ở B sai.

Giá trị đại diện của nhóm là số trung bình của hai đầu mút.

Giá trị đại diện của nhóm [155; 160] là $\dfrac{155 + 160}{2} = 157,5$.

Đọc mẫu số liệu.

Số gia đình trong khu phố A phải trả số tiền điện không ít hơn 600 là 6 + 9 + 4 = 19.

Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi $m \in \lbrack - 1;1\rbrack$.

Phương trình có nghiệm là $\sin x = \dfrac{2}{3}$.

a, b) Áp dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số.

c) Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

d) Áp dụng công thức

a) Sai. $\left. \lim\dfrac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} = \lim\dfrac{\dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^{3}}}{3 - \dfrac{3}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{3}}} = 0\Rightarrow a = 0 \right.$.

b) Đúng. $\lim\dfrac{n\sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = \lim\dfrac{n^{2}.\sqrt{1 + \dfrac{1}{n^{2}}}}{n^{2}.\sqrt{4 - \dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{4}}}} = \dfrac{1}{2}$.

c) Đúng. $\left. \cos x = 0\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \right.$.

d) Sai. $\left. u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = a + (n - 1).\dfrac{1}{2}\Rightarrow u_{3} = 1 \right.$.

Áp dụng kiến thức về quan hệ song song trong không gian.

a) Đúng. Do O, M lần lượt là trung điểm của AC, CD nên OM là đường trung bình của tam giác ACD $\left. \Rightarrow OM \parallel AD \parallel BC \right.$.

Mà AD $\subset$ (SAD) $\Rightarrow$ OM // (SAD).

b) Sai. Ta có: $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {OM//AD} \\ {N \in (OMN) \cap (SAD)} \end{array} \right.$Rightarrow \right. giao tuyến của hai mặt phẳng $(OMN)$ và $(SAD)$ là đường thẳng d đi qua N và d || AD || OM.

c) Đúng. Ta có $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {P \in d \subset (OMN)} \\ {P \in SD} \end{array} \right.$Rightarrow P = SD \cap (OMN) \right..

d) Đúng. Ta có: $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {OM \parallel BC} \\ {ON \parallel SC} \end{array} \right.$Rightarrow(OMN) \parallel (SBC) \right..

Nhân liên hợp.

$\lim\limits_{x\rightarrow 7}\dfrac{\sqrt{x - 3} - 2}{x^{2} - 49} = \lim\limits_{x\rightarrow 7}\dfrac{(\sqrt{x - 3} - 2)(\sqrt{x - 3} + 2)}{(\sqrt{x - 3} + 2)(x^{2} - 49)}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 7}\dfrac{x - 7}{(\sqrt{x - 3} + 2)(x - 7)(x + 7)}$

$\left. = \lim\limits_{x\rightarrow 7}\dfrac{1}{(x + 7)(\sqrt{x - 3} + 2)} = \dfrac{1}{56}\Rightarrow ab = 56 \right.$.

Áp dụng định lý Thales trong không gian.

Ta có $dfrac{A'B'}{A'C'} = \dfrac{CB}{AC} = \dfrac{5}{7}\Rightarrow a + b = 5 + 7 = 12$.

Áp dụng công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Cỡ mẫu: n = 56.

Do $\dfrac{56}{2} = 28$ nên trung vị thuộc nhóm [15,5; 18,5].

$\left. \Rightarrow M_{e} = 15,5 + \dfrac{28 - 15}{15}.3 = 18,1 \right.$.

Ứng dụng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để tính.

Hình vuông $(C_{1})$ có cạnh bằng $1,S_{1} = 1^{2} = 1$.

Cạnh của hình vuông $(C_{2}):a_{2} = \sqrt{\left( {\dfrac{3}{4} - 1} \right)^{2} + \left( {\dfrac{1}{4} - 1} \right)^{2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}$ diện tích $S_{2} = \dfrac{5}{8} = \dfrac{5}{8}S_{1}$.

Cạnh của hình vuông $(C_{3}):a_{3} = \sqrt{\left( {\dfrac{3}{4}.\dfrac{\sqrt{10}}{4}} \right)^{2} + \left( {\dfrac{1}{4}.\dfrac{\sqrt{10}}{4}} \right)^{2}} = \dfrac{5}{8}$ diện tích $S_{3} = \left( \dfrac{5}{8} \right)^{2} = \dfrac{5}{8}S_{2}$.

Tương tự, diện tích của hình vuông $C_{i}$ là $S_{i} = \left( \dfrac{5}{8} \right)^{i - 1}$, $S_{n} = \left( \dfrac{5}{8} \right)^{n - 1}$.

Từ đó $T = 1 + \dfrac{5}{8} + \left( \dfrac{5}{8} \right)^{2} + \ldots + \left( \dfrac{5}{8} \right)^{n - 1}$ đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = 1$, $q = \dfrac{5}{8}$.

$\left. \Rightarrow T = \dfrac{1}{1 - \dfrac{5}{8}} = \dfrac{8}{3} = 2,67 \right.$.

a) Giải phương trình lượng giác cơ bản.

b) Đưa về phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác $\cos x$.

a) $2\sin x - 1 = 0$ $\left. \Leftrightarrow\sin x = \dfrac{1}{2} \right.$ $\left. \Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi} \\ {x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi} \end{array}$ \right. \right. $(k \in Z)$.

b) $\sin^{2}x + \cos x = 1$ $\left. \Leftrightarrow 1 - \cos^{2}x + \cos x = 1 \right.$ $\left. \Leftrightarrow - \cos x(\cos x - 1) = 0 \right.$ $\left. \Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {\cos x = 0} \\ {\cos x = 1} \end{array}$ \right. \right. $\left. \Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi} \\ {x = k2\pi} \end{array}$ \right. \right. $(k \in Z)$.

a) Chia cả tử và mẫu cho $n^{2}$.

b) Nhân liên hợp.

a) $\lim\dfrac{n^{2} + 2n + 1}{2n^{2} - 1} = \lim\dfrac{1 + \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}}{2 - \dfrac{1}{n^{2}}} = \dfrac{1}{2}$.

b) $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{2\sqrt{x + 1} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{2\sqrt{x + 1} - 2 + 2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{2\sqrt{x + 1} - 2}{x} + \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$

$= 2\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x + 1 - 1}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} + \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{8 - 8 + x}{x(4 + 2\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}})}$

$= 2\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} + \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{4 + 2\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}}$

$= 2.\dfrac{1}{1 + 1} + \dfrac{1}{4 + 4 + 4} = \dfrac{13}{12}$.

a) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác chứng minh MN // BD.

Sử dụng: $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {a//d} \\ {d \subset (P)} \end{array} \right.$Rightarrow a//(P) \right..

b) Chọn $DC \subset (ABCD)$.

Xác định $d = (ABCD) \cap (AMN)$.

Giao điểm K của DC và (AMN) là $K = DC \cap d$.

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của SD, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SBD $\Rightarrow$ MN // BD.

Mà $BD \subset (ABCD)$.

Vậy MN // (ABCD).

b) Xét (ABCD) và (AMN) có:

A chung;

BD // MN (cmt)

$\Rightarrow$ Giao tuyến của (ABCD) và (AMN) là đường thẳng d đi qua A sao cho d // BD // MN.

Trong (ABCD), gọi $K = DC \cap d$ ta có: $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {K \in DC} \\ {K \in d \subset (AMN)} \end{array} \right.$Rightarrow K \in (AMN)\Rightarrow K = DC \cap (AMN) \right..