Đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2025 - 2026 trường THPT Nguyễn Du - TP HCM

Xác định các điểm chung của hai mặt phẳng để tìm đường giao tuyến.

Ta có $\left. \left.$$\begin{array}{l} {N \in AC \subset (SAC)} \\ {N \in DN \subset \left( {SDI} \right)} \end{array}$ \right\}\Rightarrow N \in (SAC) \cap \left( {SDI} \right) \right..

Mặt khác $S \in (SAC) \cap \left( {SDI} \right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SDI) và (SAC) là đường thẳng SN.

Sử dụng các công thức cộng lượng giác cơ bản.

Theo công thức lượng giác, ta có $\sin\left( {u - v} \right) = \sin u\cos v - \cos u\sin v$.

Hàm số liên tục tại điểm $x = 3$ khi và chỉ khi $\lim\limits_{x\rightarrow 3}f(x) = f(3)$.

Ta có $f(3) = 3m - 3$.

Xét giới hạn $\lim\limits_{x\rightarrow 3}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{3x^{2} - 27}{2x^{2} + 4x - 30}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{3\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}{2\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{3\left( {x + 3} \right)}{2\left( {x + 5} \right)} = \dfrac{3\left( {3 + 3} \right)}{2\left( {3 + 5} \right)} = \dfrac{9}{8}$.

Để hàm số liên tục tại $x = 3$ thì $\left. 3m - 3 = \dfrac{9}{8}\Leftrightarrow 3m = 3 + \dfrac{9}{8} = \dfrac{33}{8}\Leftrightarrow m = \dfrac{11}{8} \right.$.

Sử dụng tính chất hình bình hành và đường trung bình trong hình học không gian.

Ta có MP // AD // EH và MP = AD = EH. Do đó, EHPM là hình bình, suy ra EM // HP.

Sử dụng công thức tính công sai của cấp số cộng $d = u_{n + 1} - u_{n}$.

Ta có $u_{n} = - 3n - 7$, suy ra số hạng tiếp theo là $u_{n + 1} = - 3\left( {n + 1} \right) - 7 = - 3n - 10$.

Công sai của cấp số cộng là $d = u_{n + 1} - u_{n} = \left( {- 3n - 10} \right) - \left( {- 3n - 7} \right) = - 3$.

Hàm số $y = \tan x$ có chu kỳ tuần hoàn là $\pi$. Hàm số $y = a\tan\left( {bx + c} \right)$ có chu kỳ $T = \dfrac{\pi}{|b|}$.

Hàm số $y = 4\tan x$ có hệ số của x là b = 1, do đó chu kỳ tuần hoàn của hàm số là $T = \dfrac{\pi}{1} = \pi$.

Giá trị đại diện của nhóm [a; b) được tính bằng công thức $\dfrac{a + b}{2}$.

Giá trị đại diện của nhóm [6; 8) là $\dfrac{6 + 8}{2} = 7$.

Sử dụng công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: $M_{o} = u_{m} + \dfrac{n_{m} - n_{m - 1}}{\left( {n_{m} - n_{m - 1}} \right) + \left( {n_{m} - n_{m + 1}} \right)} \cdot \left( {u_{m + 1} - u_{m}} \right)$.

Nhóm có tần số lớn nhất là $\left\lbrack {25;35} \right)$ với tần số $n_{2} = 33$.

Áp dụng công thức, ta có mốt là:

$M_{o} = 25 + \dfrac{33 - 18}{\left( {33 - 18} \right) + \left( {33 - 16} \right)}.10 \approx 29,69$.

Sử dụng định lý về giới hạn của hiệu hai dãy số: $\lim\left( {u_{n} - v_{n}} \right) = \lim u_{n} - \lim v_{n}$.

Ta có $\lim\left( {u_{n} - v_{n}} \right) = \lim u_{n} - \lim v_{n} = 8 - 10 = - 2$.

Dựa vào tính chất hình lăng trụ và định nghĩa phép chiếu song song.

Ta có DF // (BEFC) và F thuộc (BEFC) nên hình chiếu song song của điểm D lên mặt phẳng (BCFE) theo phương AC là điểm F.

Giải phương trình $u_{n} = \dfrac{232}{233}$ để tìm giá trị của n.

Ta có phương trình: $\dfrac{3 - 5n}{2 - 5n} = \dfrac{232}{233}$

$\left. \Leftrightarrow 233\left( {3 - 5n} \right) = 232\left( {2 - 5n} \right) \right.$

$\left. \Leftrightarrow 699 - 1165n = 464 - 1160n \right.$

$\left. \Leftrightarrow 1165n - 1160n = 699 - 464 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 5n = 235 \right.$

$\left. \Leftrightarrow n = 47 \right.$.

Vậy $\dfrac{232}{233}$ là số hạng thứ 47 của dãy số.

Áp dụng kiến thức về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Ta có NQ cắt OB tại Q, do đó NQ và OB không song song.

Kiểm tra tập xác định, tính giới hạn của hàm số tại điểm x = -6, tính giá trị của hàm số tại x = -6 và áp dụng điều kiện liên tục để tìm tham số m.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số là R.

b) Sai. Ta có $\lim\limits_{x\rightarrow - 6}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow - 6}\dfrac{- x^{2} - 10x - 24}{- 3x - 18}$ $= \lim\limits_{x\rightarrow - 6}\dfrac{- \left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)}{- 3\left( {x + 6} \right)}$ $= \lim\limits_{x\rightarrow - 6}\dfrac{x + 4}{3}$ $= \dfrac{- 6 + 4}{3} = - \dfrac{2}{3}$.

c) Đúng. Giá trị của hàm số tại x = -6 là $f\left( {- 6} \right) = 5m\left( {- 6} \right) - 1 = - 30m - 1$.

d) Đúng. Để hàm số liên tục trên R thì phải liên tục tại điểm x = -6, nghĩa là $\lim\limits_{x\rightarrow - 6}f(x) = f\left( {- 6} \right)$ $\left. \Leftrightarrow - \dfrac{2}{3} = - 30m - 1 \right.$ $\left. \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{90} \right.$.

Sử dụng tính chất trọng tâm, đường trung bình và giao tuyến của các mặt phẳng trong không gian.

a) Đúng. Trong mặt phẳng đáy (ABCD), đường thẳng AG và BC không song song nên chúng cắt nhau.

b) Sai. Ta có $G \in CD \subset (SCD)$ nên HG không song song với (SCD).

c) Đúng. Ta có $M,H \in (SAB)$ nên $AM \subset (SBH)$.

d) Đúng. P là trung điểm của SD nên $P \in CK \subset (KBC)$ và $P \in SD \subset (SAD)$.

Mà AD // BC nên giao tuyến của (KBC) và (SAD) là đường thẳng qua P và song song với AD.

Mà JP // AD theo tính chất đường trung bình, do đó JP là giao tuyến của (KBC) và (SAD).

Sử dụng tập giá trị của hàm số lượng giác cosin: $- 1 \leq \cos\alpha \leq 1$.

a) Đúng. Ta có $- 1 \leq \cos\left( {\dfrac{\pi t}{12} + \dfrac{\pi}{3}} \right) \leq 1$ $\left. \Rightarrow - 3 \leq 3\cos\left( {\dfrac{\pi t}{12} + \dfrac{\pi}{3}} \right) \leq 3 \right.$ $\left. \Rightarrow 9 \leq h \leq 15 \right.$. Do đó độ sâu nhỏ nhất của mực nước là 9 (m).

b) Sai. Độ sâu lớn nhất của mực nước trong kênh bằng 15 (m).

c) Sai. Giá trị lớn nhất đạt được khi $\cos\left( {\dfrac{\pi t}{12} + \dfrac{\pi}{3}} \right) = 1$ $\left. \Leftrightarrow\dfrac{\pi t}{12} + \dfrac{\pi}{3} = k2\pi \right.$ $\left. \Leftrightarrow\dfrac{\pi t}{12} = - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \right.$ $\left. \Leftrightarrow t = - 4 + 24k \right.$.

Với $0 \leq t \leq 24$, ta có $0 \leq - 4 + 24k \leq 24$ $\left. \Leftrightarrow 4 \leq 24k \leq 28 \right.$ $\left. \Leftrightarrow\dfrac{1}{6} \leq k \leq \dfrac{7}{6} \right.$, suy ra k = 1, ứng với t = 20.

d) Sai. Tại thời điểm t = 12 (h), ta có $h = 3\cos\left( {\dfrac{12\pi}{12} + \dfrac{\pi}{3}} \right) + 12$ $= 3\cos\left( {\pi + \dfrac{\pi}{3}} \right) + 12$ $= 3\left( {- \dfrac{1}{2}} \right) + 12 = 10,5$ (m).

Sử dụng công thức cấp số cộng và cấp số nhân để tính tổng tiền tích góp.

a) Đúng. Đợt thứ nhất lập thành cấp số cộng với công sai d = 3 triệu và số tiền tháng thứ nhất là $u_{1} = 24 - 7.3 = 3$ triệu.

b) Đúng. Đợt thứ hai số tiền tích lũy tăng gấp đôi theo mỗi tháng nên lập thành cấp số nhân với công bội q = 2 và $u_{1} = 4$ triệu.

c) Sai. Tổng số tiền đợt thứ nhất là $S_{n} = \dfrac{n\left( {2u_{1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}{2} = 408$ $\left. \Leftrightarrow\dfrac{n\left( {6 + \left( {n - 1} \right)3} \right)}{2} = 408 \right.$ $\left. \Leftrightarrow n\left( {3n + 3} \right) = 816 \right.$ $\left. \Leftrightarrow 3n^{2} + 3n - 816 = 0 \right.$ $\left. \Leftrightarrow n^{2} + n - 272 = 0 \right.$ $\left. \Leftrightarrow n = 16 \right.$ (vì n là số tự nhiên).

Vậy anh Bình tích lũy tiển hết đợt thứ nhất trong 16 tháng.

d) Đúng. Số tiền còn lại cần mua xe là 2452 – 408 = 2044 triệu đồng.

Đợt thứ hai tích góp theo cấp số nhân với $u_{1} = 4$, q = 2, tổng số tiền sau k tháng là $S'_{k} = 4.\dfrac{2^{k} - 1}{2 - 1} = 4\left( {2^{k} - 1} \right)$. Ta cần $\left. 4\left( {2^{k} - 1} \right) \geq 2044\Leftrightarrow k = 9 \right.$ tháng.

Tổng thời gian là 16 + 9 = 25 tháng. Do đó thời gian tối thiểu là 25 tháng.

Tính góc quay của kim giờ trong khoảng thời gian từ 12h trưa đến 14h15 và áp dụng công thức tính độ dài cung tròn $l = R\alpha$ (với $\alpha$ tính bằng radian).

Thời gian từ 12h trưa đến 14h15 là 2 giờ 15 phút = 2,25 giờ.

Trong 12 giờ, kim giờ quay được một góc $2\pi$ radian (tương ứng 1 vòng).

Do đó, trong 2,25 giờ, góc quay của kim giờ là $\alpha = \dfrac{2,25}{12}.2\pi = \dfrac{9}{412}.2\pi = \dfrac{3\pi}{8}$ radian.

Độ dài quãng đường đầu kim giờ di chuyển được là:

$l = R\alpha = 10.\dfrac{3\pi}{8} = \dfrac{30\pi}{8} = \dfrac{15\pi}{4} \approx 11,8$ cm.

Sử dụng điều kiện để giới hạn dạng phân thức hữu tỉ tồn tại.

Vì $\lim\limits_{x\rightarrow 6}\left( {x - 6} \right) = 0$ và giới hạn của phân thức là một số hữu hạn bằng -5, nên tử số phải có nghiệm là x = 6.

Do đó thay x = 6 vào tử số ta được: $6^{2} + 6a + b = 0$ $\left. \Leftrightarrow 6a + b = - 36 \right.$ $\left. \Leftrightarrow b = - 36 - 6a \right.$.

Khi đó giới hạn trở thành:

$\lim\limits_{x\rightarrow 6}\dfrac{x^{2} + ax + \left( {- 36 - 6a} \right)}{x - 6}$ $= \lim\limits_{x\rightarrow 6}\dfrac{\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6 + a} \right)}{x - 6}$ $= \lim\limits_{x\rightarrow 6}\left( {x + 6 + a} \right)$ $= 12 + a$.

Theo giả thiết ta có $\left. 12 + a = - 5\Leftrightarrow a = - 17 \right.$.

Suy ra $b = - 36 - 6\left( {- 17} \right) = - 36 + 102 = 66$.

Tính giá trị biểu thức $- 2a - b = - 2\left( {- 17} \right) - 66 = - 32$.

Áp dụng công thức tính mốt cho mẫu số liệu ghép nhóm.

Nhóm có tần số lớn nhất là [5; 7) với tần số $n_{3} = 12$.

Ta có $u_{3} = 5$, độ rộng nhóm h = 2, tần số nhóm trước $n_{2} = 4$, tần số nhóm sau $n_{4} = 8$.

Áp dụng công thức tính mốt:

$M_{o} = 5 + \dfrac{12 - 4}{\left( {12 - 4} \right) + \left( {12 - 8} \right)}.2 = 5 + \dfrac{4}{3} \approx 6,33$.

Sử dụng định lý Thales trong không gian đối với các mặt phẳng song song chắn các đường thẳng cắt nhau.

Vì các mâm tầng song song với nhau nên theo định lý Thales trong không gian, tỉ lệ các đoạn thẳng chắn trên hai cạnh bên tương ứng bằng nhau. Ta có: $\dfrac{EI}{IA} = \dfrac{GK}{KC}$.

Theo đề bài ta có AE = 100 cm và EI = 42 cm, suy ra IA = AE – EI = 100 – 42 = 58 cm.

Ta có CG = 130 cm, đặt GK = x, suy ra KC = CG – x = 130 – x.

Thay vào tỉ lệ ta được: $\left. \dfrac{42}{58} = \dfrac{x}{130 - x}\Leftrightarrow x = 54,6 \right.$.

Vậy độ dài đoạn thẳng KG là 54,6 cm.

Xác định số điều ước của mỗi ngày lập thành một cấp số nhân và tính tổng số điều ước qua 10 ngày.

Ngày thứ nhất Thần đèn cho 5 điều ước, trong đó có 4 điều ước dùng ngay và 1 điều ước để gia hạn cho ngày hôm sau với số lượng gấp đôi.

Gọi $u_{n}$ là tổng số điều ước Thần đèn cho vào ngày thứ n. Ta có:

Ngày 1: $u_{1} = 5$.

Ngày 2: $u_{2} = 5.2 = 10$.

Ngày 3: $u_{3} = 10.2 = 20$.

Tổng số điều ước qua 10 ngày chính là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 5$ và công bội q = 2: $S_{10} = u_{1}.\dfrac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 5.\left( {1024 - 1} \right) = 5115$.

Sử dụng phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng bằng cách chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng AD và tìm giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt phẳng (MNP).

Gọi E là giao điểm của NP và CD.

Ta xác định được K là giao điểm của ME và AD vì khi đó $K \in AD$ và $K \in ME \subset (MNP)$ (thỏa mãn yêu cầu K là giao điểm của AD và (MNP)).

Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó MN // AB.

Xét hai mặt phẳng (ABD) và (MNP) có AB // MN và P là điểm chung, suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng đi qua P và song song với AB.

Mà K cùng thuộc (ABD) và (MNP), vì vậy PK chính là giao tuyến nói trên.

Theo hệ quả định lí Thales: PK // AB $\left. \Rightarrow\dfrac{KD}{AD} = \dfrac{DP}{BD} = \dfrac{DP}{BP + DP} \right.$ $= \dfrac{DP}{BP + DP} = \dfrac{DP}{6DP + DP} = \dfrac{1}{7}$.

Do đó $\dfrac{AK}{AD} = 1 - \dfrac{KD}{AD} = 1 - \dfrac{1}{7} = \dfrac{6}{7}$.

Vậy -a – b = -6 – 7 = -13.