Đề cuối kỳ 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Thanh Bình 1 – Đồng Tháp

Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản để kiểm tra từng mệnh đề.

Ta có công thức cơ bản ${\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1$ nên mệnh đề A đúng.

Ta có $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ với $\cos \alpha \ne 0$ nên mệnh đề B đúng.

Ta có $\tan \alpha .\cot \alpha = 1$ với $\sin \alpha \cos \alpha \ne 0$ nên mệnh đề D đúng.

Mệnh đề C sai vì $\tan \alpha + \cot \alpha = 2$ chỉ xảy ra khi $\tan \alpha = 1$ (tức là $\alpha = \frac{\pi }{4} + k\pi$), không đúng với mọi $\alpha$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Dựa vào tính chất chẵn lẻ của các hàm số lượng giác cơ bản: hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn, các hàm số $y = \sin x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$ là các hàm số lẻ.

Hàm số $y = \cos x$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\cos \left( { - x} \right) = \cos x$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, do đó đây là hàm số chẵn.

Sử dụng lý thuyết về chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác.

Hàm số $y = \tan x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \pi$.

Giải phương trình lượng giác cơ bản dạng $\sin f\left( x \right) = \sin g\left( x \right)$.

Ta có $\sin 3x = \sin x \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x = x + k2\pi }\\{3x = \pi - x + k2\pi }\end{array}$} \right.

$\Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x = k2\pi }\\{4x = \pi + k2\pi }\end{array}$} \right. \Leftrightarrow \left[ {$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = k\pi }\\{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}}\end{array}$} \right. $\left( {k \in Z} \right)$.

Sử dụng hệ thức truy hồi để tính các số hạng liên tiếp của dãy số.

Theo đề bài ta có: ${u_1} = 2$.

${u_2} = {u_1} + 1 = 2 + 1 = 3$.

${u_3} = {u_2} + 1 = 3 + 1 = 4$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng khi và chỉ khi hiệu số ${u_{n + 1}} - {u_n}$ là một hằng số không đổi với mọi $n \ge 1$.

Xét dãy số ${u_n} = 2n + 1$, ta có:

${u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) + 1 - \left( {2n + 1} \right)$

$= 2n + 3 - 2n - 1 = 2$ (là hằng số).

Do đó, dãy số ${u_n} = 2n + 1$ là một cấp số cộng với công sai d = 2.

Dãy số được gọi là cấp số nhân nếu thương số của số hạng đứng sau cho số hạng đứng trước là một hằng số.

Xét dãy số ${u_n} = {2^n}$, ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2$ (là hằng số).

Do đó dãy số ${u_n} = {2^n}$ là cấp số nhân với công bội q = 2.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân khi và chỉ khi tỷ số $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ là một hằng số với mọi $n \ge 1$.

Xét dãy số ${u_n} = {2^n}$, ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2$ (là hằng số).

Do đó dãy số ${u_n} = {2^n}$ là cấp số nhân với công bội q = 2.

Sử dụng các giới hạn cơ bản của dãy số.

Ta có giới hạn cơ bản $\lim {q^n} = 0$ khi $\left| q \right| < 1$. Do đó phát biểu $\lim {q^n} = 0$ khi $\left| q \right| > 1$ là sai (khi $\left| q \right| > 1$ thì $\lim \left| {{q^n}} \right| = + \infty$).

Chia cả tử và mẫu cho ${n^2}$ (với n là bậc cao nhất của mẫu) để tính giới hạn của biểu thức chứa tham số.

Ta có: $\lim \frac{{2{n^2} + n - 4}}{{a{n^2} + 2}} = \lim \frac{{2 + \frac{1}{n} - \frac{4}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{a}$.

Theo giả thiết: $\frac{2}{a} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 4$.

Hàm số phân thức hữu tỉ sẽ gián đoạn tại các điểm làm cho mẫu thức bằng 0.

Hàm số $y = \frac{{3x - 4}}{{x - 2}}$ có điều kiện xác định là $x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2$.

Do đó, hàm số này không xác định và gián đoạn tại điểm x = 2.

Dựa vào quan hệ thuộc giữa điểm và mặt phẳng trong hình học không gian.

Vì (ACM) không phải một mặt phẳng được xác định nên mệnh đề $M \in \left( {ABC} \right)$ sai.

Sử dụng khái niệm hình tứ diện trong hình học không gian.

Hình tứ diện là hình đa diện có 4 mặt là các tam giác.

Nhắc lại các tính chất thừa nhận của hình học không gian về sự xác định mặt phẳng.

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Dựa vào tính chất hình học không gian của hình bình hành và hình chóp.

SB và CD là hai đường thẳng chéo nhau.

Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác.

Xét tam giác SAC, ta có I là trung điểm của SA và J là trung điểm của SC.

Do đó IJ là đường trung bình của tam giác SAC, suy ra IJ // AC.

Sử dụng định lý đường trung bình và tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng.

Xét tam giác SBC, ta có M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC, suy ra MN là đường trung bình của tam giác SBC. Do đó $MN\parallel BC$. Mà $BC \subset \left( {ABC} \right)$ và $MN \not\subset \left( {ABC} \right)$, nên MN // (ABC).

Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác và điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng.

Xét tam giác ABC, ta có E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, suy ra EF là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó EF // BC. Mà $BC \subset \left( {BCD} \right)$ và $EF \not\subset \left( {BCD} \right)$, nên EF // (BCD).

Dựa vào tính chất của hình hộp.

ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp, do đó (BCC’) // (A’DD’).

Sử dụng định lý đường trung bình và tính chất hai mặt phẳng song song.

Có ON // SD (ON là đường trung bình của tam giác SBD) nên ON // (SCD).

OM // SC (OM là đường trung bình của tam giác SAC) nên OM // (SCD).

Do đó (OMN) // (SCD).

Áp dụng phương pháp tính giới hạn của hàm số.

a) Sai. Khi $x \to - 2$ nghĩa là $x < - 1$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} (x - 2) = - 2 - 2 = - 4$.

b) Đúng. Khi $x \to - {1^ - }$ nghĩa là $x < - 1$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x - 2} \right) = - 1 - 2 = - 3$.

c) Đúng. Khi $x \to - {1^ + }$ nghĩa là $x > - 1$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \sqrt {{x^2} + 1} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + 1} = \sqrt 2$.

d) Sai. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = - 3$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \sqrt 2$. Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại giới hạn của hàm số khi $x \to - 1$.

Áp dụng các công thức tính toán các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Đúng. Cỡ mẫu là tổng số bệnh nhân: $n = 10 + 12 + 14 + 9 + 5 = 50$.

b) Đúng. Nhóm $5$ là nhóm $\left[ {55;65} \right)$, giá trị đại diện của nhóm này là $\frac{{55 + 65}}{2} = 60$.

c) Sai. Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm $\left[ {35;45} \right)$ với tần số 14 Do đó nhóm chứa mốt là $\left[ {35;45} \right)$, không phải $\left[ {25;35} \right)$.

d) Đúng. Gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{50}}$ là mẫu số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm. Nhóm chứa trung vị là nhóm $\left[ {35;45} \right)$ vì $\frac{n}{2} = 25$.

Áp dụng công thức tính trung vị:

${M_e} = 35 + \frac{{25 - \left( {10 + 12} \right)}}{{14}}.10 \approx 37,14$.

Độ dài của nhóm được tính bằng hiệu giữa đầu mút phải và đầu mút trái của nhóm.

Độ dài mỗi nhóm bằng nhau và bằng 10.

Chia cả tử và mẫu cho x rồi tính giới hạn.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 3}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{3}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = \frac{{1 - 0}}{{1 + 0}} = 1$.

a) Tìm hai điểm chung phân biệt thuộc cả hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

b) Chứng minh đường thẳng MN song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAB).

a) Điểm S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, do đó giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua S và song song với AB.

b) Xét tam giác SCD, ta có $\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{3}$. Theo định lý Thales đảo trong tam giác SCD, ta suy ra MN // CD.

Mặt khác, tứ giác ABCD là hình bình hành nên CD // AB.

Do đó MN // AB.

Vì $AB \subset \left( {SAB} \right)$ và $MN \not\subset \left( {SAB} \right)$, nên $MN\parallel \left( {SAB} \right)$.

Sử dụng tính chất của cấp số nhân để tính số lượng vi khuẩn sau mỗi phút.

Gọi số lượng vi khuẩn ban đầu là ${u_1}$ (ứng với phút thứ 0).

Vì sau mỗi phút số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi nên dãy số biểu diễn số lượng vi khuẩn qua các phút là một cấp số nhân với công bội q = 2.

Số lượng vi khuẩn sau n phút được tính theo công thức tổng quát của cấp số nhân: ${u_n} = {u_1}{.2^{n - 1}}$.

Theo đề bài, sau 5 phút số lượng vi khuẩn là 64 000 con, tức là số lượng vi khuẩn ở phút thứ 5 là: ${u_6} = {u_1}{.2^5} = 32.{u_1} = 64000 \Rightarrow {u_1} = \frac{{64000}}{{32}} = 2000$.

Số lượng vi khuẩn sau 10 phút là:

${u_{11}} = {u_1}{.2^{10}} = 2000.1024 = 2048000$ (con).