Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 6

Sử dụng công thức $\int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} + C$ và $\int {{e^x}dx} = {e^x} + C$.

$\int {({e^x} + x)dx = {e^x} + \frac{1}{2}} {x^2} + C$.

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa: $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$.

$\int {f(x)dx}  = \int {\left( {6{x^5} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)dx}$

$= \int {\left( {6{x^5} + {x^{ - 3}}} \right)dx}  = {x^6} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C$.

$F(1) = 0 \Leftrightarrow {1^6} - \frac{1}{{{{2.1}^2}}} + C = 0 \Leftrightarrow C =  - \frac{1}{2}$.

Áp dụng tính chất của tích phân.

$\int\limits_1^3 {\left[ {f(x) + 2x} \right]dx} = \int\limits_1^3 {f(x)dx} + \int\limits_1^3 {2xdx} = 4 + 8 = 12$.

Áp dụng công thức tính diện tích bằng tích phân.

Dựa vào hình vẽ ta có hai cận lần lượt là -1 và 1.

Suy ra $S = {\int\limits_{- 1}^{1}{\left| {\left( {- \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}} \right) - \left( {- \dfrac{1}{2}x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} + 1} \right)} \right|\text{d}x = 2}}$.

Thay tọa độ của các điểm vào phương trình mặt phẳng, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc mặt phẳng.

Thấy 1 + 2.0 - 3.1 + 2 = 0 nên K(1; 0; 1) thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.

(P) vuông góc với BC nên (P) là mặt phẳng đi qua A, nhận $\overrightarrow {BC}$ làm vecto chỉ phương.

$\overrightarrow {BC}  = (3; - 3;1)$ là một vecto pháp tuyến của (P).

Ta phương trình tổng quát của (P):

$3(x - 1) - 3(y - 4) + 1(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 3y + z + 9 = 0$.

Thay lần lượt tọa độ của từng điểm vào phương trình d, nếu thỏa mãn phương trình thì điểm đó thuộc d.

P(2; 1; -1) là điểm thuộc d.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow u = (a;b;c)$ làm vecto chỉ phương. Phương trình tham số của d: $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$ $(t \in \mathbb{R})$.

Đường thẳng d đi qua M(2; 0; -1) và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {2; - 3;1} \right)$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-3t\\ z=-1+t\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3t\\z = - 1 + t\end{array} \right.$.

Xét d và d’ có cùng phương hay không bằng vecto chỉ phương. Nếu cùng phương thì kiểm tra song song hoặc trùng nhau. Nếu không cùng phương thì kiểm tra cắt nhau hoặc chéo nhau.

Có vecto chỉ phương của d và d’ là $\overrightarrow u  = (1; - 1; - 1)$ và $\overrightarrow {u'}  = (2; - 2; - 2) = 2\overrightarrow u$.

Suy ra $\overrightarrow u$ cùng phương với $\overrightarrow {u'}$. d hoặc song song hoặc trùng d’.

Chọn điểm bất kì thuộc d và kiểm tra xem điểm đó có thuộc d’ không. Ta chọn A(1; 2; 3) thuộc d.

Thay tọa độ điểm A và d’ được $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{1 = 2t'}\\{2 =  - 1 - 2t'}\\{3 = 5 - 2t'}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{t' = \frac{1}{2}}\\{t' = \frac{{ - 3}}{2}}\\{t' = 1}\end{array}} \right.$.

Vậy A không thuộc d’, tức là d // d’.

Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian tọa độ.

Hai mặt phẳng $\left( P \right),\,\left( Q \right)$ có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)$ và $\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;\,1;\,1} \right)$.

Ta có: $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right|$

$= \frac{{\left| {1.1 + 2.1 - 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}$.

Mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ có tâm I(a; b; c), bán kính R.

Mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4$ có tâm I(-2; 1; 0), bán kính R = 2.

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện.

$P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{0,18}}{{0,6}} = 0,3$.

Áp dụng kiến thức về phương trình đường thẳng.

a) Sai. Vì $I \in \Delta$ nên $I( - 2 + t,2t,1 - 3t)$.

$OI = \sqrt {{{( - 2 + t)}^2} + {{(2t)}^2} + {{(1 - 3t)}^2}} = \sqrt 5$

$\Leftrightarrow {( - 2 + t)^2} + 4{t^2} + {(1 - 3t)^2} = 5$

$\Leftrightarrow 4 - 4t + {t^2} + 4{t^2} + 1 - 6t + 9{t^2} = 5$

$\Leftrightarrow 14{t^2} - 10t = 0$.

Giải phương trình ta được: $t = 0$ hoặc $t = \frac{5}{7}$.

Vậy có hai điểm I thỏa mãn là ${I_1}( - 2;0;1)$ và ${I_2}\left( { - \frac{9}{7};\frac{{10}}{7}; - \frac{8}{7}} \right)$.

b) Sai. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên $\Delta$. Vì d cắt và vuông góc với $\Delta$ tại H, nên d chính là đường thẳng MH.

$H \in \Delta \Rightarrow H( - 2 + t,2t,1 - 3t)$.

$\overrightarrow {MH} = ( - 4 + t,2t + 2, - 3t)$.

Vì $MH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0$:

$1.( - 4 + t) + 2.(2t + 2) - 3.( - 3t) = 0$

$\Leftrightarrow - 4 + t + 4t + 4 + 9t = 0 \Leftrightarrow t = 0$.

Với t = 0, ta có H(-2; 0; 1).

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow {MH} = ( - 4;2;0)$; chọn vectơ cùng phương là $\overrightarrow {{u_d}} = (2; - 1;0)$.

Đối chiếu với phương trình đề bài cho có tọa độ vectơ chỉ phương là (2; -2; 0); không cùng phương với vectơ có tọa độ (2; -1; 0).

c) Đúng. $\Delta '$ song song với $\Delta$ nên có cùng vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \overrightarrow {{u_\Delta }} = (1;2; - 3)$; $\Delta '$ đi qua M(2; -2; 1) nên phương trình chính tắc:

$\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - ( - 2)}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}} \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}$.

d) Đúng. Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = (1;2; - 3)$.

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A|B).

Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó: $P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}$.

a) Đúng. $P(A) = \frac{{25}}{{40}} = \frac{5}{9}$.

b) Đúng. $P(B) = \frac{{16}}{{45}}$.

c) Đúng. $P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{{12}}{{45}}}}{{\frac{{16}}{{45}}}} = \frac{3}{4} = 0,75$.

d) Đúng. $P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{{\frac{{12}}{{45}}}}{{\frac{5}{9}}} = \frac{{12}}{{25}} = 0,48$.

Gắn hệ trục tọa Oxy ở vị trí phù hợp. Tìm phương trình Parabol thông qua các điểm đồ thị đi qua. Từ đó áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay để tính thể tích trống.

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình.

Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn bán kính r, diện tích $1600\pi$ $(c{m^2})$. Do đó $\pi {r^2} = 1600\pi \Rightarrow r = 40$ (cm).

Giả sử Parabol có phương trình $y = a{x^2} + bx + c$, đỉnh I(0; 40), đi qua điểm A(50; 30). Ta có hệ:

$\{\begin{array}{l}30=a{.50}^2+b.50+c\\ 40=a{.0}^2+b.0+c\\ -\frac{b}{2a}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{250}\\ b=0\\ c=40\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}30 = a{.50^2} + b.50 + c\\40 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{250}}\\b = 0\\c = 40\end{array} \right.$

Vậy Parabol có phương trình $y = - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40$.

Thể tích trống là: $V = \pi \int\limits_{ - 50}^{50} {{{\left( { - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40} \right)}^2}dx} = \frac{{406000}}{3}\pi$ $(c{m^3}) \approx 425$ (lít).

Quan sát hình vẽ, tìm tọa độ ba điểm A’, B’, C’, từ đó lập phương trình mặt phẳng (A’B’C’D’).

Vì D’ thuộc mặt phẳng (A’B’C’D’) nên tìm được c.

Từ hình vẽ, ta có tọa độ các điểm: A’(0; 0; 3), B’(15; 0; 4), C’(15; 25; 6), D(0; 25; c).

Suy ra $\overrightarrow {A'B'}  = (15;0;1)$, $\overrightarrow {A'C'}  = (15;25;3)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\{25}&3\end{array}$} \right|;\left| {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{15}\\3&{15}\end{array}$} \right|;\left| {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{15}&0\\{15}&{25}\end{array}$} \right|} \right)

$= (0.3 - 25.1;1.15 - 3.15;15.25 - 15.0) = ( - 25; - 30;375)$.

Do đó $\overrightarrow n  = \frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = ( - 5; - 6;75)$ là một vecto pháp tuyến của (A’B’C’D’).

Phương trình mặt phẳng (A’B’C’D’) là:

$- 5(x - 0) - 6(y - 0) + 75(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow  - 5x - 6y + 75z - 225 = 0$.

Vì D’(0; 25; c) thuộc mặt phẳng (A’B’C’D’) nên:

$- 5.0 - 6.25 + 75c - 225 = 0 \Leftrightarrow c = 5$.

Suy ra D’(0; 25; 5).

Vậy a – 2b + c = 0 – 2.25 + 5 = -45.

Gọi điểm I(a;b;c). Tìm a, b, c để AI = BI = CI = DI.

Gọi I(a; b; c) là điểm phát wifi. Vì khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng đến là các điểm A, B, C, D nên I(a; b; c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Do đó AI = BI = CI = DI = R. Ta có hệ sau:

$\{\begin{array}{l}A{I}^2=B{I}^2\\ A{I}^2=C{I}^2\\ A{I}^2=D{I}^2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\A{I^2} = C{I^2}\\A{I^2} = D{I^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{(a - 2)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 0)^2} = {(a - 1)^2} + {(b - 3)^2} + {(c - 0)^2}\\{(a - 2)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 0)^2} = {(a + 1)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 3)^2}\\{(a - 2)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 0)^2} = {(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 3)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a + 4 + {b^2} + {c^2} = {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 6b + 9 + {c^2}\\{a^2} - 4a + 4 + {b^2} + {c^2} = {a^2} + 2a + 1 + {b^2} + {c^2} - 6c + 9\\{a^2} - 4a + 4 + {b^2} + {c^2} = {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 4b + 4 + {c^2} - 6c + 9\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} - 2a + 6b = 6\\ - 6a + 6c = 6\\ - 2a + 4b + 6c = 10\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a - 3b =  - 3\\a - c =  - 1\\a - 2b - 3c =  - 5\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.$

Vậy I(0; 1; 1), bán kính $R = AI = \sqrt {{{(0 - 2)}^2} + {{(1 - 0)}^2} + {{(1 - 0)}^2}}  = \sqrt 6$.

Khi đó khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng đến được là $\sqrt 6  \approx 2,45$.

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Gọi các biến cố:

A: “Sản phẩm do xí nghiệp I sản xuất”.

Suy ra $\overline A$: “Sản phẩm do xí nghiệp II sản xuất.

B: “Hệ thống thông bảo sản phẩm là phế phẩm”.

Cần tính $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}$.

Xí nghiệp II sản xuất 10000 – 4000 = 6000 sản phẩm.

Ta có $P\left( A \right) = \frac{{4000}}{{10000}} = 0,4$, $P\left( {\overline A } \right) = \frac{{6000}}{{10000}} = 0,6$.

Xác suất hệ thống dự đoán đúng là 0,92; do đó xác suất hệ thống dự đoán sai là 1 – 0,92 = 0,08.

Với sản phẩm của xí nghiệp I, để hệ thống thông báo phế phẩm thì:

+ Phát hiện đúng từ 6% phế phẩm: 0,95.0,06.

+ Phát hiện sai từ 94% sản phẩm tốt: 0,08.0,94.

Do đó xác suất hệ thống thông báo phế phẩm từ xí nghiệp I là:

$P\left( {B|A} \right) = 0,95.0,06 + 0,08.0,94 = 0,1322$.

Với sản phẩm của xí nghiệp II, để hệ thống thông báo phế phẩm thì:

+ Phát hiện đúng từ 4% phế phẩm: 0,95.0,04.

+ Phát hiện sai từ 96% sản phẩm tốt: 0,08.0,96.

Do đó xác suất hệ thống thông báo phế phẩm từ xí nghiệp II là:

$P\left( {B|\overline A } \right) = 0,95.0,04 + 0,08.0,96 = 0,1148$.

Xác suất hệ thống thông báo phế phẩm từ cả hai xí nghiệp là:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$

$= 0,4.0,1322 + 0,6.0,1148 = 0,12176$.

Vậy xác suất để sản phẩm được chọn của xí nghiệp I biết rằng sản phẩm đó bị hệ thống báo là phế phẩm là:

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,1322.0,4}}{{0,12176}} \approx 0,43$.

Áp dụng công thức tính tích phân của hàm lũy thừa.

$\int_{1}^{2} \left( x^2 + \frac{3}{x} \right) dx = \left( \frac{x^3}{3} + 3 \ln(x) \right) \bigg|_{1}^{2}$

$= \left( \frac{8}{3} + 3 \ln 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 3 \ln 1 \right) = \frac{7}{3} + 3 \ln 2$.

Do đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) nên $\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_P}}$ là một vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm.

Theo đề bài phương trình tham số của đường thẳng $\{\begin{array}{l}x=1-4t\\ y=2+bt\\ z=-2+ct\end{array}\left(t\in \mathbb{R}\right)$$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 2 + bt\\z = - 2 + ct\end{array} \right.$;\left( {t \in \mathbb{R}} \right) nên vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm có dạng $\overrightarrow {u'} = \left( { - 4;b;c} \right)$.

Tìm b, c sao cho $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow {u'}$ cùng phương.

Mặt phẳng (P): 2x + y – 3z + 1 = 0 có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 3} \right)$.

Do đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) nên $\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 3} \right)$ là một vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm.

Theo đề bài phương trình tham số của đường thẳng $\{\begin{array}{l}x=1-4t\\ y=2+bt\\ z=-2+ct\end{array}\left(t\in \mathbb{R}\right)$$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 2 + bt\\z = - 2 + ct\end{array} \right.$;\left( {t \in \mathbb{R}} \right) nên vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm có dạng $\overrightarrow {u'} = \left( { - 4;b;c} \right)$ (2).

Vì $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow {u'}$ đều là vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm nên chúng cùng phương với nhau.

Suy ra $\frac{2}{{ - 4}} = \frac{1}{b} = \frac{{ - 3}}{c} \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 6\end{array} \right.$

Vậy $P = {b^2} + {c^2} = {( - 2)^2} + {6^2} = 40$.

a) Tâm I của mặt cầu là trung điểm của đường kính AB. Giả sử $A({x_1};{y_1};{z_1})$ và $B({x_2};{y_2};{z_2})$, thì tọa độ của I là: $I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2};\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right)$.

Bán kính $r$ của mặt cầu bằng nửa độ dài của đoạn AB. Công thức tính độ dài đoạn AB là:

$AB = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2} + {{({z_2} - {z_1})}^2}}$. Vậy bán kính r là: $r = \frac{{AB}}{2}$.

b) Phương trình của mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính r là: ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}$.

a) Tâm I là trung điểm của đoạn AB, nên tọa độ của I là: $I\left( {\frac{{6 + ( - 4)}}{2};\frac{{2 + 0}}{2};\frac{{ - 5 + 7}}{2}} \right) \Rightarrow I(1;1;1)$.

b) Độ dài đoạn AB được tính như sau: $AB = \sqrt {{{(6 - ( - 4))}^2} + {{(2 - 0)}^2} + {{( - 5 - 7)}^2}} = 2\sqrt {62}$.

Vậy bán kính r là: $r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt {62} }}{2} = \sqrt {62}$.