Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 5

Áp dụng công thức $\int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C$ và định nghĩa tích phân.

$\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right|\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^5}\\{_1}\end{array}$} \right. = \ln 5 - \ln 1 = \ln 5.

Áp dụng tính chất của tích phân.

$\int\limits_0^2 {\left[ { - 4 + f(x)} \right]dx} = - \int\limits_0^2 {4dx} + \int\limits_0^2 {{x^3}dx} = - 8 + 4 = - 4$.

Đưa $y = {3^{2x + 1}}$ về dạng $y = {a^x}$ rồi áp dụng công thức nguyên hàm $\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$.

$\int {{3^{2x + 1}}dx} = \int {{{\left( {{3^2}} \right)}^x}.3dx} = 3\int {{9^x}dx} = 3.\frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + C = \frac{{{{\left( {{3^2}} \right)}^x}.3}}{{\ln {3^2}}} + C = \frac{{{3^{2x + 1}}}}{{2\ln 3}} + C$.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), hai đường thẳng x = a, x = b: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}$.

Ta có $2{x^2} + 1 > 0$ với mọi x, suy ra $\left| {2{x^2} + 1} \right| = 2{x^2} + 1$.

$S = \int\limits_0^1 {\left| {2{x^2} - ( - 1)} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {2{x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} + 1} \right)dx}$.

Đường thẳng $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$ có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow u = (a;b;c)$.

Đường thẳng $\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}$ có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow {{u_3}}  = ( - 1;2; 1)$.

Mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$, nhận $\overrightarrow n = (A;B;C)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình tổng quát là $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Mặt phẳng đi qua điểm A(1;2;-3) và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (1; - 2;3)$ có phương trình là $1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 3z + 12 = 0$.

Mặt phẳng cần tìm đi qua M, nhận vecto chỉ phương của $\Delta$ làm vecto pháp tuyến.

Vecto chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow u = (2; - 1;1)$, đồng thời cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm.

Phương trình mặt phẳng đi qua M, nhận $\overrightarrow u$ làm vecto pháp tuyến là:

$2(x - 1) - 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + z - 3 = 0$.

Biểu diễn t theo x, y, z rồi viết phương trình chính tắc.

Ta có $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3t\\ z=-2+t\end{array}\iff \{\begin{array}{l}t=\frac{x-1}{2}\\ t=\frac{y}{3}\\ t=z+2\end{array}\Rightarrow t=\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{1}$$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = - 2 + t\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{x - 1}}{2}\\t = \frac{y}{3}\\t = z + 2\end{array} \right.$ \Rightarrow t = \frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}.

Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình là ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Phương trình của mặt cầu tâm I(7;6;-5), bán kính bằng 9 là ${\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 81$.

Lập phương trình mặt cầu tâm I, bán kính $R = d\left( {I,(P)} \right)$.

Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).

$R = d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 2.1 - 1.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {\frac{2}{3}}$.

Phương trình mặt cầu tâm I(0;1;3), bán kính $R = \sqrt {\frac{2}{3}}$ là ${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{2}{3}$.

Áp dụng công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A).P(B|A).

Ta có $P(\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

Áp dụng công thức nhân xác suất: $P(B\overline A ) = P(\overline A ).P(B|\overline A ) = \frac{3}{5}.\frac{1}{4} = \frac{3}{{20}}$.

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần.

$P(\overline B ) = 1 - P(B) = 1 - 0,4 = 0,6$.

$P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = 0,4.0,8 + 0,6.0,5 = 0,62$.

Áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

a) Đúng. Đường thẳng AB có dạng y = ax + b (a > 0), đi qua A(0;1) và B(2;2).

Ta có $\{\begin{array}{l}1=a.0+b\\ 2=a.2+b\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=1\end{array}\Rightarrow y=\frac{1}{2}x+1$$\left\{ \begin{array}{l}1 = a.0 + b\\2 = a.2 + b\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 1\end{array} \right.$ \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 1.

Vậy hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2}x + 1$, Ox, Oy, x = 2.

b) Sai. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox là $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)}^2}dx}$.

c) Sai. Diện tích hình phẳng (H) là $V = \int\limits_0^2 {\left| {\frac{1}{2}x + 1} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)dx}  = 3$ (đvdt).

d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox là $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)}^2}dx}  = \frac{{14\pi }}{3}$ (đvdt).

a) Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I(-2;1;5), bán kính bằng 3.

b) Tính IA và so sánh với bán kính mặt cầu.

c) Tính IB, nhận xét vị trí của A, B so với mặt cầu rồi kết luận.

d) Vậy (S) cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính $\sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,(ABC)} \right)}$.

a) Sai. Phương trình mặt cầu (S) tâm I(-2;1;5), bán kính bằng 3 là:

${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = {3^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 9$.

b) Đúng. $IA = \sqrt {{{\left( {10 + 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 5} \right)}^2}} = 3\sqrt {17} > 3$ nên điểm A nằm ngoài mặt cầu.

c) Đúng. $IB = \sqrt {{{\left( {0 + 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 5} \right)}^2}} = \sqrt 5 < 3$ nên điểm B nằm trong mặt cầu.

Vì A nằm ngoài mặt cầu, B nằm trong mặt cầu nên đường thẳng AB cắt mặt cầu (S).

d) Sai. Ta có $\overrightarrow {AB} = ( - 10;0;2)$, $\overrightarrow {AC} = ( - 10;2;2)$.

Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến là:

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&2\\2&2\end{array}$} \right|;\left| {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 10}\\2&{ - 10}\end{array}$} \right|;\left| {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 10}&0\\{ - 10}&2\end{array}$} \right|} \right) = \left( { - 4;0; - 20} \right).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là $- 4\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 1} \right) - 20\left( {z - 4} \right) = 0$

$\Leftrightarrow - 4x - 20z + 80 = 0 \Leftrightarrow x + 5z - 20 = 0$.

Ta có $d\left( {I,(ABC)} \right) = \frac{{\left| {1.( - 2) + 0.1 + 5.5 - 20} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {5^2}} }} = \frac{{3\sqrt {26} }}{{26}}$.

Vậy (S) cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính:

$\sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,(ABC)} \right)} = \sqrt {9 - \frac{9}{{26}}} = \frac{{15\sqrt {26} }}{{26}}$.

Lập phương trình 3 đồ thị biểu diễn vận tốc của xe rồi áp dụng tích phân tính quãng đường.

Đổi: 360 km/h = 100 m/s.

Gọi parabol biểu diễn vận tốc trong 2 giây đầu là $y = a{t^2} + bt + c$ (a > 0).

Parabol đi qua điểm có tọa độ (0;0), (2;60) và đỉnh có tọa độ (0;0), do đó ta có hệ:

$\{\begin{array}{l}0=a{.0}^2+b.0+c\\ 60=a{.2}^2+b.2+c\\ -\frac{b}{2a}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}0=c\\ 60=4a+2b+c\\ b=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}0=c\\ a=15\\ b=0\end{array}\Rightarrow y=v(t)=15t^2$$\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.0^2} + b.0 + c\\60 = a{.2^2} + b.2 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}0 = c\\60 = 4a + 2b + c\\b = 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}0 = c\\a = 15\\b = 0\end{array} \right.$ \Rightarrow y = v(t) = 15{t^2}.

Gọi đường thẳng biểu diễn tốc độ từ giây thứ 2 đến giây thứ 3 là y = mt + n (m > 0).

Đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ (2;60) và (3;360) nên ta có hệ:

$\{\begin{array}{l}60=m.2+n\\ 100=m.3+n\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m=40\\ n=-20\end{array}\Rightarrow y=v(t)=40t-20$$\left\{ \begin{array}{l}60 = m.2 + n\\100 = m.3 + n\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}m = 40\\n = - 20\end{array} \right.$ \Rightarrow y = v(t) = 40t - 20.

Đường thẳng biểu diễn tốc độ từ giây thứ 3 đến giây thứ 5 là y = v(t) = 100.

Vậy trong 5 giây đầu, xe đi được quãng đường là:

$S = \int\limits_0^2 {15{t^2}dt} + \int\limits_2^3 {(40t - 20)dt} + \int\limits_3^5 {100dt} = 320$ (m).

Tìm tọa độ của M, N theo tham số t. Tìm t, vecto chỉ phương và một điểm $\Delta$ đi qua để lập phương trình $\Delta$.

Phương trình của d viết dưới dạng chứa tham số là $\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=t\\ z=2+t\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = t\\z = 2 + t\end{array} \right.$ $(t \in \mathbb{R})$.

Vì M thuộc d nên $M( - 1 + 2t;t;2 + t)$.

Mặt khác, A là trung điểm của MN nên ta có:

$\{\begin{array}{l}{x}_A=\frac{x_M+x_N}{2}\\ y_A=\frac{y_M+y_N}{2}\\ z_A=\frac{z_M+z_N}{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_N=2x_A-x_M=2.1-(-1+2t)=3-2t\\ y_N=2y_A-y_M=2.(-1)-t=-2-t\\ z_N=2z_A-z_M=2.2-(2+t)=2-t\end{array}\Rightarrow N(3-2t;-2-t;2-t)$$\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2}\\{y_A} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2}\\{z_A} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2}\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_A} - {x_M} = 2.1 - ( - 1 + 2t) = 3 - 2t\\{y_N} = 2{y_A} - {y_M} = 2.( - 1) - t = - 2 - t\\{z_N} = 2{z_A} - {z_M} = 2.2 - (2 + t) = 2 - t\end{array} \right.$ \Rightarrow N(3 - 2t; - 2 - t;2 - t).

Vì N thuộc mặt phẳng (P) nên thay tọa độ N vào phương trình của (P), ta được:

$(3 - 2t) + ( - 2 - t) - 2(2 - t) + 5 = 0 \Leftrightarrow t = 2$.

Do đó $M(3;2;4)$, $N( - 1; - 4;0)$, $\overrightarrow {MN} = ( - 1 - 3; - 4 - 2;0 - 4) = ( - 4; - 6; - 4)$.

Gọi điểm thuộc $\Delta$ có hoành độ là 9 là $B\left( {9;{y_0};{z_0}} \right)$.

$\Delta$ nhận $\overrightarrow u = - \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} = (2;3;2)$ làm vecto chỉ phương và đi qua điểm $B\left( { - 9;{y_0};{z_0}} \right)$ có phương trình tham số:

$\{\begin{array}{l}x=-9+2m\\ y=y_0+3m\\ z=z_0+2m\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = - 9 + 2m\\y = {y_0} + 3m\\z = {z_0} + 2m\end{array} \right.$ $(m \in \mathbb{R})$.

Vì $M(3;2;4)$ thuộc $\Delta$ nên $\{\begin{array}{l}3=-9+2m\\ 2=y_0+3m\\ 4=z_0+2m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m=6\\ y_0=-16\\ z_0=-8\end{array}\Rightarrow B\left(-9;-16;-8\right)$$\left\{ \begin{array}{l}3 = - 9 + 2m\\2 = {y_0} + 3m\\4 = {z_0} + 2m\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}m = 6\\{y_0} = - 16\\{z_0} = - 8\end{array} \right.$ \Rightarrow B\left( { - 9; - 16; - 8} \right).

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\frac{{x + 9}}{2} = \frac{{y + 16}}{3} = \frac{{z + 8}}{2}$.

Ta có ${2^2} + {2^2} + {( - 16)^2} + {( - 8)^2} = 328$.

Tìm vecto pháp tuyến của (PQRS) bằng cách tính tích có hướng $\left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PR} } \right]$.

Lập phương trình mặt phẳng (PQRS), từ đó lập phương trình (ABCD) song song với (PQRS) và đi qua A.

Ta có $\overrightarrow {PQ}  = ( - 10 + 490;0 - 0;200 - 200) = (480;0;0)$;

$\overrightarrow {PR}  = (0 + 490;1600 - 0;0 - 200) = (490;1600; - 200)$.

$\left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PR} } \right] = \left( {\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\{1600}&{ - 200}\end{array}$} \right|;\left| {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{480}\\{ - 200}&{490}\end{array}$} \right|;\left| {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{480}&0\\{490}&{1600}\end{array}$} \right|} \right) = \left( {0;96000;768000} \right).

Suy ra một vecto pháp tuyến của (PQRS) là $\overrightarrow {{n_{PQRS}}}  = \frac{1}{{96000}}\left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PR} } \right] = \left( {0;1;8} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (PQRS) là:

$0\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 1600} \right) + 8\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 8z - 1600 = 0$.

Vì (ABCD) // (PQRS) nên phương trình của (ABCD) có dạng $y + 8z + d = 0$.

A(0;0;-65) thuộc (ABCD) nên $0 + 8.( - 65) + d = 0 \Leftrightarrow d = 520$.

Vậy (ABCD): $y + 8z + 520 = 0$. Suy ra a = 8.

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần.

Gọi các biến cố:

A: “Bệnh án của bệnh nhân bị chấn thương đầu do tai nạn giao thông”.

Suy ra $\overline A$: “Bệnh án của bệnh nhân bị chấn thương đầu do tai nạn khác”.

B: “Bệnh án của bệnh nhân tử vong”.

Vì 60% bệnh nhân chấn thương đầu do tai nạn giao thông nên P(A) = 60% = 0,6, suy ra xác suất bệnh nhân chấn thương đầu do tai nạn khác là $P(\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4$.

Xác suất tử vong do chấn thương đầu vì tai nạn giao thông là 50%, do đó P(B|A) = 50% = 0,5.

Xác suất tử vong do chấn thương đầu vì tai nạn khác là 30%, do đó $B(B|\overline A ) = 30\% = 0,3$.

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần, ta có xác suất một bệnh án của bệnh nhân tử vong ở khoa cấp cứu đó là:

$P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A ) = 0,6.0,5 + 0,4.0,3 = 0,42$.

Tìm giao điểm của hàm số $y = \sqrt {5 - x}$ với trục hoành.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.

Ta có $\sqrt {5 - x} = 0 \Leftrightarrow x = 5$, do đó đồ thị hàm số $y = \sqrt {5 - x}$ giao với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0.

Thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh trục Ox là:

$V = \pi \int\limits_0^5 {{{\left( {\sqrt {5 - x} } \right)}^2}dx} = \int\limits_0^5 {\sqrt {5 - x} dx} = \pi \left( {5x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^5}\\{_0}\end{array}$} \right. = \frac{{25\pi }}{2} \approx 39,3.

Gọi vecto chỉ phương của d, $\Delta$ lần lượt là $\overrightarrow {{u_d}}$, $\overrightarrow {{u_\Delta }}$, vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là $\overrightarrow n$.

Giải hệ $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}\mathrm{.}\overrightarrow{u_d}=0\\ \overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}\mathrm{.}\overrightarrow{n}=0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow n = 0\end{array} \right.$

Gọi vecto chỉ phương của d, $\Delta$ lần lượt là $\overrightarrow {{u_d}} = (2; - 1;3)$, $\overrightarrow {{u_\Delta }} = ( - 1;b;c)$.

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là $\overrightarrow n = (0;0;1)$.

Ta có $\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\mathrm{\perp }d\\ \mathrm{\Delta }\mathrm{/}\mathrm{/}(Oxy)\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}\Delta \bot d\\\Delta //(Oxy)\end{array} \right.$ suy ra $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}\mathrm{.}\overrightarrow{u_d}=0\\ \overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}\mathrm{.}\overrightarrow{n}=0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow n = 0\end{array} \right.$. Do đó $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&3\\0&1\end{array}$} \right|;\left| {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&2\\1&0\end{array}$} \right|;\left| {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 1}\\0&0\end{array}$} \right|} \right) = ( - 1; - 2;0).

Vậy b + c = -2 + 0 = -2.

Áp dụng công thức nhân xác suất.

Gọi các biến cố:

X: “Viên bi lấy ra từ hộp 1 có màu xanh”.
Y: “Viên bi lấy ra từ hộp 2 có màu xanh”.

TH1: Lấy được 2 bi xanh:

+ Công đoạn 1: Lấy bi xanh trong hộp 1: $P(X) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}$.

+ Công đoạn 2: Lấy bi xanh trong hộp 2 sau khi có thêm 1 bi xanh từ hộp 1: $P(Y|X) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$.

TH2: Lấy được 2 bi đỏ:

+ Công đoạn 1: Lấy bi đỏ trong hộp 1: $P(\overline X ) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$.

+ Công đoạn 2: Lấy bi đỏ trong hộp 2 sau khi có thêm 1 bi đỏ từ hộp 1: $P(\overline Y |\overline X ) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}$.

Vậy $P(B) = P(XY) + P(\overline X \overline Y ) = P(X).P(Y|X) + P(\overline X ).P(\overline Y |\overline X ) = \frac{2}{5}.\frac{3}{5} + \frac{3}{5}.\frac{1}{2} = 0,54$.