Đề giữa học kì 2 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường THPT Thanh Hòa – Bình Phước

Sử dụng định nghĩa tích phân.

$\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = F(2) - F(0) = 7 - 1 = 6$.

Lập phương trình mặt phẳng (Oyz) đi qua O, nhận $\overrightarrow i$ làm VTPT.

Mặt phẳng (Oyz) đi qua gốc tọa độ O(0; 0), nhận $\overrightarrow i = (1;0;0)$ làm VTPT nên có phương trình:

$1(x - 0) + 0(y - 0) + 0(z - 0) = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Áp dụng công thức $\int {{x^\alpha }dx} \,\, = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$.

$\int {3{x^2}dx} \,\, = {x^3} + C$.

Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.

$\int {\sin xdx = - \cos x + C}$.

Mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 nhận $\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)$ làm một VTPT.

$\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1;1} \right)$ là một VTPT của (P).

Áp dụng tính chất của tích phân.

$I = \int\limits_{ - 2}^5 {\left( {f(x) - g(x)} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 2}^5 {{\rm{f(x)d}}x} - \int\limits_{ - 2}^5 {{\rm{g(x)d}}x} = 8 - 3 = 5$.

Tìm giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^2} - 1$ với trục hoành và áp dụng công thức tính diện tích bằng tích phân.

${x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Diện tích cần tính là: $S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 1} \right|dx} = \frac{2}{3}$.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.

$S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f(x)} \right|dx} + \int\limits_1^4 {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx} - \int\limits_1^4 {f(x)dx}$.

Tính đạo hàm của F(x).

$F'\left( x \right) = 2x + 1$ nên $F\left( x \right) = {x^2} + x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x + 1$.

Áp dụng công thức $\int {\frac{1}{x}dx = \ln } \left| x \right| + C$.

$\int\limits_1^e {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| e \right| - \ln \left| 1 \right| = 1$.

Áp dụng các tính chất của nguyên hàm.

$\int {f\left( x \right).g\left( x \right)} \,dx = \int {f\left( x \right)} \,dx.\int {g\left( x \right)} \,dx$ là mệnh đề sai.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức

$S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx}$.

Diện tích cần tìm là: $S = \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx}$.

Áp dụng các công thức nguyên hàm và tích phân cơ bản.

a) Sai. Ta có $\int f (x)dx = {e^x} + C$.

$F(0) = 3 \Rightarrow {e^0} + C = 3 \Rightarrow C = 2$.

Vậy $F(x) = {e^x} + 2$.

b) Đúng. $\int_0^1 {({e^x} + 1)dx} = ({e^x} + x)\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^1}\\{_0}\end{array}$} \right. = ({e^1} + 1) - ({e^0} + 0) = e.

c) Đúng. Vì $G'(x) = ({e^x} + 2025)' = {e^x} = f(x)$ nên G(x) là một nguyên hàm của f(x).

d) Đúng. $\int f (x)dx = {e^x} + C$.

Áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

a) Sai. $\overrightarrow {AB} = (2 - 1;6 - 2; - 1 - 3) = (1;4; - 4)$.

Vectơ pháp tuyến của  là .

$[\overrightarrow {AB} ,{\vec n_\alpha }] = (0; - 2; - 2)$, do đó một VTPT của (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = (0;1;1)$.

Phương trình (P) là:

$0(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow y + z - 5 = 0$.

b) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $$\overrightarrow n \,(1;2; - 2)$$.

c) Sai. $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ là hai mặt phẳng trùng nhau.

d) Đúng. $d(A,(\alpha )) = \frac{{|1 + 2.2 - 2.3 + 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 1$.

Dựa vào $(\alpha )$, xác định VTPT của $\left( \beta \right)$. Thay tọa độ điểm M vào phương trình $\left( \beta \right)$ để tìm hệ số tự do và kết luận phương trình của $\left( \beta \right)$.

$\left( \beta \right)$ // $(\alpha )$ nên phương trình $\left( \beta \right):3x - 5y + 4z + d = 0$.

M thuộc $\left( \beta \right)$ nên ta có: $3.1 - 5.( - 5) + 4.0 + d = 0 \Rightarrow d = - 28$.

Do đó $\left( \beta \right):3x - 5y + 4z - 28 = 0$.

Vậy a + 2c + d = 3 + 2.4 + (-28) = -17.

Xác định VTPT của các mặt phẳng, nếu tích vô hướng của cặp VTPT bằng 0 thì hai mặt phẳng tương ứng vuông góc với nhau.

Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng lần lượt là: ${\vec n_P} = \left( {1; - 4;3} \right)$, ${\vec n_Q} = \left( {4;1;0} \right)$, ${\vec n_R} = \left( {1;1;1} \right)$.

Xét tích vô hướng giữa các cặp vectơ pháp tuyến:

${\vec n_P}.{\vec n_Q} = 1.4 + \left( { - 4} \right).1 + 3.0 = 0 \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)$.

${\vec n_P}.{\vec n_R} = 1.1 + \left( { - 4} \right).1 + 3.1 = 0 \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( R \right)$.

${\vec n_Q}.{\vec n_R} = 4.1 + 1.1 + 0.1 = 5 \ne 0 \Rightarrow \left( Q \right)$ không vuông góc với $\left( R \right)$.

Vậy có hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Áp dụng định nghĩa và công thức tích phân của hàm số lượng giác.

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {4\sin x{\mkern 1mu} dx} = - 4\cos x\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^{\frac{\pi }{4}}}\\{_0}\end{array}$} \right. = - 4\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) - ( - 4\cos 0) \approx 1,2.

Áp dụng tính chất và ứng dụng của tích phân.

$\int_0^3 {f'} (x){\mkern 1mu} dx = \int_0^1 {f'} (x){\mkern 1mu} dx + \int_1^3 {f'} (x){\mkern 1mu} dx = {S_A} - {S_B} = 4 - 10 = - 6$.

Mặt khác $\int_0^3 {f'} (x){\mkern 1mu} dx = f(3) - f(0) = f(3) - 2$.

Vậy $f(3) - 2 = - 6 \Leftrightarrow f(3) = - 4$.

Áp dụng công thức tính tích phân của hàm lũy thừa.

$\int_{1}^{2} \left( x^2 + \frac{3}{x} \right) dx = \left( \frac{x^3}{3} + 3 \ln(x) \right) \bigg|_{1}^{2}$

$= \left( \frac{8}{3} + 3 \ln 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 3 \ln 1 \right) = \frac{7}{3} + 3 \ln 2$.

a) Tìm hàm P(t) và tính P(5).

b) Tính $\frac{1}{5}\int\limits_0^5 {P(t)dt}$.

a) $P\left( 5 \right) = 20 . \frac{{1,{{106}^5}}}{{{\rm{ln}}1,106}} + 809 = 1138$.

Vậy dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2025 là 1138 nghìn người.

b) Tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố trong giai đoạn từ đầu năm 2020 đến đầu năm 2025 là.

$\frac{1}{5}\int\limits_0^5 {20.1,{{106}^t}dt} = 4 . \frac{{1,{{106}^5} - 1}}{{\ln 1,106}} \approx 26$.

Tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố là 26 nghìn người.

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C. Gọi G là vị trí khi mục tiêu bay tới mặt phẳng (P) để tới vị trí N. Sử dụng kiến thức về hai vecto cùng phương và tìm tọa độ của G và tính AG.

Gọi mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm pháo $A\left( {3;0;0} \right)$, $B\left( {0;\frac{3}{2};0} \right)$, $C\left( {0;0; - \frac{3}{2}} \right)$ nên có phương trình là

 $\frac{x}{3} + \frac{y}{{1,5}} + \frac{z}{{ - 1,5}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 3 = 0$.

Giả sử điểm $G\left( {{x_G};{y_G};{z_G}} \right)$ là vị trí khi mục tiêu bay tới mặt phẳng (P) để tới vị trí N nên $G \in \left( P \right)$.

Do $\overrightarrow {MG} ,\overrightarrow {MN}$  là 2 vecto cùng hướng nên tồn tại số thực t > 0 sao cho $\overrightarrow {MG} = t\overrightarrow {MN}$.

Ta có: $\overrightarrow {MG} = \left( {{x_G} - 5;{y_G} - 2;{z_G} - 4} \right)$, $\;\overrightarrow {MN} = \left( { - 4; - 2; - 6} \right)$.

Suy ra $\{\begin{array}{c}{x}_G-5=-4t\\ y_G-2=-2t\\ z_G-4=-6t\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_G=-4t+5\\ y_G=-2t+2\\ z_G=-6t+4\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_G} - 5 = - 4t}\\{{y_G} - 2 = - 2t}\\{{z_G} - 4 = - 6t}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_G} = - 4t + 5}\\{{y_G} = - 2t + 2}\\{{z_G} = - 6t + 4}\end{array}} \right.$.

Vì $G \in \left( P \right) \Leftrightarrow \left( {5 - 4t} \right) + 2\left( {2 - 2t} \right) - 2\left( {4 - 6t} \right) - 3 = 0$

$\Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \Rightarrow G\left( {3;1;1} \right)$.

$\overrightarrow {AG} = \left( {0;1;1} \right) \Rightarrow AG = \sqrt 2 \approx 1,41$.

Vậy khoảng cách từ vị trí A đến điểm va chạm là 1,41 km.