Đề giữa kì 2 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường chuyên Nguyễn Đình Chiểu – Đồng Tháp

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác:

+ $\int {\cos xdx} = \sin x + C$.

+ $\int {\sin xdx} = - \cos x + C$.

$\int {\left( {\sin x + 2\cos x} \right)dx} = - \cos x + 2\sin x + C$.

Áp dụng quy tắc nguyên hàm của hàm số lũy thừa và hàm số lượng giác:

+ $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ $(\alpha \ne - 1)$.

+ $\int {\sin xdx} = - \cos x + C$.

Giải $F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}$ tìm C và kết luận.

$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {6x + \sin 3x} \right){\rm{d}}x} = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + C = F\left( x \right)$.

$F\left( 0 \right) = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 0 - \frac{1}{3}.1 + C = \frac{2}{3} \Leftrightarrow C = 1$.

Vậy $F\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + 1$.

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa: $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ $(\alpha \ne - 1)$.

Ta có $F\left( x \right) = \int {\left( {5{x^4} - 8{x^3} - 6x} \right){\rm{d}}x} = {x^5} - 2{x^4} - 3{x^2} + C$.

Vậy một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ là $F\left( x \right) = {x^5} - 2{x^4} - 3{x^2} + C$.

Áp dụng công thức nguyên hàm: $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ $(\alpha \ne - 1)$ và $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$.

Ta có ${\left( {\frac{1}{x} + \ln x + C} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}$, suy ra $f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}$ là hàm số cần tìm.

Áp dụng tính chất của tích phân.

Theo tính chất tích phân A, B, C đúng.

Đáp án D sai vì: $\int\limits_a^b {f(x)dx} = - \int\limits_b^a {f(x)dx}$.

Áp dụng tính chất của tích phân: $\int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx}$.

Ta có $\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2 + 5 = 7} }$.

Áp dụng tính chất của tích phân: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b], $c \in (a;b)$, k là số thực. Khi đó:

+ $\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k\int\limits_a^b {f(x)dx}$;

+ $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx}$;

+ $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} - \int\limits_a^b {g(x)dx}$;

+ $\int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx}$.

Ta có $I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} - 3\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 2.3 - 3.\left( { - 2} \right) = 12$.

Áp dụng tính chất của tích phân $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx}$.

$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right)\, + 2\sin x} \right]\,{\rm{d}}x = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x\,{\rm{ + 2}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x} dx} }$ $= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\,\, - 2\cos x\left|$$\begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array}$ \right. = 5 - 2\left( {0 - 1} \right) = 7.

Áp dụng tính chất tích phân: $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx}$.

Ta có $\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}dx} = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^3 {dx} + \int\limits_1^3 {\frac{2}{x}dx} = 2 + 2\ln \left| x \right|\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^3}\\{_1}\end{array}$} \right. = 2 + 2\ln 3.

Do đó $a = 2,\,b = 2,\,c = 3 \Rightarrow S = 7$.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx}$.

Dựa vào đồ thị, ta có:

$S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

$= \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$.

Áp dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục Ox.

$V = \pi{\int\limits_{a}^{b}{f^{2}(x)\text{d}x}}$.

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x $(a \le x \le b)$ thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Khi đó thể tích V của vật thể B được tính bởi công thức $V = \int\limits_a^b {S(x)dx}$.

Diện tích của mặt cắt hình vuông là $S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {3 - {x^2}} } \right)^2} = 3 - {x^2}$.

Thể tích của vật thể đã cho là:

$V = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {S\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( {3 - {x^2}} \right)dx}$

$= \left. {\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } = \left( {2\sqrt 3 + 2\sqrt 3 } \right) = 4\sqrt 3$.

Áp dụng khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân:

- Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b] thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x): $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(x)\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^b}\\{_a}\end{array}$} \right. = F(b) - F(a).

- Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b], $c \in (a;b)$, k là số thực. Khi đó:

+ $\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k\int\limits_a^b {f(x)dx}$;

+ $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx}$;

+ $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} - \int\limits_a^b {g(x)dx}$;

+ $\int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx}$.

a) Đúng. $\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

b) Đúng. $\int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {F\left( x \right)} \right|_b^a = F\left( a \right) - F\left( b \right)$

$= - \left[ {F\left( b \right) - F\left( a \right)} \right] = - \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

c) Sai. Với $a < c < b$ ta có $\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}$

$\Leftrightarrow \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

Mặt khác $\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_c^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - n$.

Từ đó ta được $\int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = m - \left( { - n} \right) = m + n$.

d) Sai. $\int\limits_a^b {\left[ {2024f\left( x \right) + 2025} \right]{\rm{d}}x} = 2024\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 2025\int\limits_a^b {{\rm{d}}x}$

$= 2024\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \left. {2025x} \right|_a^b = 2024\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 2025\left( {b - a} \right)$.

a) Tìm $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}$.

b) Tính v(7).

c) Tính $S = \int\limits_1^7 {v\left( t \right)dt}$.

d) Tìm GTLN của $x\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt}$ khi $t \in \left[ {0;\,8} \right]$.

a) Sai. Ta có $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {2t - 7} \right)dt} = {t^2} - 7t + C$.

$v\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow C = 6$. Vậy $v\left( t \right) = {t^2} - 7t + 6$ (m/s).

b) Đúng. Tại thời điểm t = 7 (s) ta có $v\left( 7 \right) = {7^2} - 7 \cdot 7 + 6 = 6$ (m/s).

c) Sai. Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \le t \le 7$ là

$S = \int\limits_1^7 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_1^7 {\left( {{t^2} - 7t + 6} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{7{t^2}}}{2} + 6t} \right)} \right|_1^7 = - 18$.

d) Sai. Tọa độ của chất điểm tại thời điểm t là:

$x\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {{t^2} - 7t + 6} \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{7{t^2}}}{2} + 6t + C$.

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $x\left( t \right)$ với $t \in \left[ {0;\,8} \right]$.

Ta có $x'\left( t \right) = v\left( t \right) = 0$ khi $t = 1$ hoặc $t = 6$.

$x\left( 0 \right) = C$, $x\left( 1 \right) = \frac{{17}}{6} + C$, $x\left( 6 \right) = - 18 + C$, $x\left( 8 \right) = - \frac{{16}}{3} + C$.

Vậy giá trị lớn nhất của $x\left( t \right)$ với $t \in \left[ {0;\,8} \right]$ đạt được khi $t = 1$.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx}$.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx}$.

a) Đúng. Ta có $S = \int_0^4 {\sqrt x dx}$.

b) Sai. $S = \int_0^4 {\sqrt x dx} = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^4}\\{_0}\end{array}$} \right. = \frac{{16}}{3}.

c) Đúng. Ta có $V = \pi \int_0^4 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx = } \pi \int_0^4 {xdx = } 8\pi$.

d) Đúng. $V = \pi \int_0^4 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx = } \pi \int_0^4 {xdx = } 8\pi \Rightarrow {V_1} = \frac{V}{2} = 4\pi$.

Tam giác $MOH$ quanh trục $Ox$ tạo nên hai khối nón chung đáy. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$. Suy ra $r = MN = {y_M} = y\left( a \right) = \sqrt a$.

$\Rightarrow {V_1} = \frac{1}{3}.OH.\pi .{r^2} = \frac{1}{3}.4.\pi .{\left( {\sqrt a } \right)^2} = \frac{{4\pi a}}{3}$. Suy ra $4\pi = \frac{{4\pi a}}{3} \Rightarrow a = 3$.

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.

a) Đúng. Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

${x^3} - 2{x^2} - 3x + 4 = 2x - 2$

$\Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0$

$\Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow y = - 6\\\,x = 1 \Rightarrow y = 0\\\,x = 3 \Rightarrow y = 4\end{array}$ \right..

Vậy đường thẳng d cắt  đồ thị (C) tại ba điểm A(-2; -6), B(1; 0, C(3; 4).

b) Sai. Diện tích cần tính là:

$S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right|} dx = \frac{{97}}{{12}}$.

c) Đúng. Ta có $(S):\left\{ \begin{array}{l}y = f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} - 3x + 4\\y = g\left( x \right) = 2x - 2\\x = - 2\\x = 3\end{array} \right.$.

Ta có: $f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6$.

Diện tích: $S = {S_1} + {S_2}$

$= \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right|dx}$

$= \frac{{63}}{4} + \frac{{16}}{3} = \frac{{253}}{{12}}$.

d) Sai. Ta có: $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{{63}}{4}}}{{\frac{{16}}{3}}} = \frac{{189}}{{64}}$.

Tìm hàm v(t), từ đó tìm s(t) và tính s(5).

Ta có vận tốc của viên đạn tại thời điểm $t$ là:

$v\left( t \right) = \int { - 9,8dt} = - 9,8t + {C_1}$.

Do $v\left( 0 \right) = 72$ nên ${C_1} = 72 \Rightarrow v\left( t \right) = - 9,8t + 72$

$\Leftrightarrow {C_1} = 72 \Rightarrow v\left( t \right) = - 9,8t + 72$.

Độ cao của viên đạn tại thời điểm $t$ là:

$s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( { - 9,8t + 72} \right)dt} = - 4,9{t^2} + 72t + {C_2}$.

Vì $s\left( 0 \right) = 2$ nên $s\left( 0 \right) = - 4,{9.0^2} + 72.0 + {C_2} = 2$

$\Leftrightarrow {C_2} = 2 \Rightarrow s\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 72t + 2$.

Vậy sau khoảng thời gian 5s kể từ lúc bắn, viên đạn ở độ cao:

$s\left( 5 \right) = - 4,{9.5^2} + 72.5 + 2 = 239,5$ (m).

Sử dụng nguyên hàm để tìm hàm chi phí, từ đó lập hàm lợi nhuận và ứng dụng đạo hàm tìm GTLN của hàm lợi nhuận.

Chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm bằng:

$C\left( x \right) = \int {C'\left( x \right)dx} = {x^3} - 2{x^2} + 10x + C$.

Mà chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 nghìn đồng.

Suy ra $C\left( 0 \right) = 500 \Rightarrow C = 500$

$\Rightarrow C\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 10x + 500$.

Khi bán $x$ sản phẩm, số tiền thu được là: $270x$ (nghìn đồng).

Do đó lợi nhuận thu được là:

$T\left( x \right) = - {x^3} + 2{x^2} + 260x - 500$ (nghìn đồng).

Ta có $T'\left( x \right) = - 3{x^2} + 4x + 260 = 0 \Leftrightarrow x = 10{\rm{ }}$ hoặc $x = - \frac{{26}}{3}$ (loại).

Bảng biến thiên:

Lợi nhuận tối đa là 1300 nghìn đồng khi sản xuất 10 sản phẩm mỗi ngày.

Lập phương trình đường parabol, ứng dụng tích phân để tính quãng đường từ hàm vận tốc.

Gọi phương trình parabol (P) là: $y = a{t^2} + bt$ $\left( {0 \le t \le 6} \right)$, vì $O \in (P)$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{{ - b}}{{2a}} = 5}\\{25a + 5b = 1000}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = - 40}\\{b = 400}\end{array}} \right.} \right.$.

Phương trình vận tốc của xe trong 6 phút đầu là: $v(t) = - 40{t^2} + 400t$.

Bắt đầu từ phút thứ 6 trở đi xe chuyển động đều với vận tốc $v = v(6) = 960$.

Quãng đường xe đi được sau 10 phút:

$s(t) = \int\limits_0^6 {\left( { - 40{t^2} + 400t} \right)dt + \int\limits_6^{10} {960dt} } = 8160$ (m).

Áp dụng công thức tích phân cơ bản.

$\int\limits_1^2 {\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^2 {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)} \,{\rm{d}}x$

$= \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2 = \ln 2 + \frac{3}{2}$.

$\Rightarrow a + b + c = 2 + 3 + 2 = 7$.

Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể: $V = \int\limits_a^b {S(x)dx}$.

Diện tích tam giác vuông cân là:

$S(x) = \frac{1}{2}\sqrt {14 - 3{x^2}} .\sqrt {14 - 3{x^2}} = \frac{1}{2}\left( {14 - 3{x^2}} \right)$.

Thể tích vật thể là: $V = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{1}{2}\left( {14 - 3{x^2}} \right)dx = 20}$.

Xét dấu G(x) – F(x) để áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng.

Theo đề ta có $\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 4 \right) - G\left( 0 \right) + 2m$

$\Rightarrow F\left( x \right)\left| {\mathop {}\limits_0^4 } \right. = F\left( 4 \right) - G\left( 0 \right) + 2m$.

$\Rightarrow F\left( 4 \right) - F\left( 0 \right) = F\left( 4 \right) - G\left( 0 \right) + 2m$

$\Rightarrow G\left( 0 \right) - F\left( 0 \right) = 2m$ (1)

Mặt khác, do F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$ nên ta có G(x) – F(x) = C  (không đổi) với mọi $x \in \mathbb{R}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra G(x) – F(x) = 2m > 0, với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Khi đó ta có $S = \int\limits_0^4 {\left| {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x = \int\limits_0^4 {{\rm{2}}m.{\rm{d}}x} } = 2mx\left| {\mathop {}\limits_0^4 } \right. = 8m$.

Theo đề ta có $8m = 8 \Leftrightarrow m = 1$.