Đề thi học kì 1 Toán 9 - Đề số 1

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ bao gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vì phương trình $3x - y = 5$ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên kết hợp với phương trình $2x + y = 1$ ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\{\begin{array}{l}2x+y=1\\ 3x-y=5\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\3x - y = 5\end{array} \right.$.

Đáp án D

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu là mẫu thức khác 0.

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{4x - 5}}{{x - 1}} = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}$ là $x - 1 \ne 0$ và ${x^2} \ne 0$.

Suy ra $x \ne 1;x \ne 0$.

Đáp án A

Sử dụng tính chất của bất đẳng thức để biến đổi bất phương trình.

Ta có:

$\begin{array}{l}-x-2>4\\ -x>4+2\\ x<-4-2\end{array}$$\begin{array}{l} - x - 2 > 4\\ - x > 4 + 2\\x < - 4 - 2\end{array}$

Đáp án C

Sử dụng khái niệm căn bậc hai số học của một số.

Căn bậc hai số học của một số thực a > 0 là $\sqrt a$.

Đáp án B

Sử dụng kiến thức về căn bậc hai để rút gọn.

$\begin{array}{l}\frac{2}{5}\mathrm{.}\sqrt{25}-\frac{9}{2}\mathrm{.}\sqrt{\frac{16}{81}}+\sqrt{169}\\ =\frac{2}{5}.5-\frac{9}{2}\mathrm{.}\frac{4}{9}+13\\ =2-2+13\\ =13\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{2}{5}.\sqrt {25} - \frac{9}{2}.\sqrt {\frac{{16}}{{81}}} + \sqrt {169} \\ = \frac{2}{5}.5 - \frac{9}{2}.\frac{4}{9} + 13\\ = 2 - 2 + 13\\ = 13\end{array}$

Đáp án C

Sử dụng kiến thức về căn thức bậc ba.

$\sqrt[3]{{125{a^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {5a} \right)}^3}}} = 5a$.

Đáp án D

Sử dụng hệ thức lượng liên quan đến cạnh đối và cạnh huyền để tính BC.

Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat B = 30^\circ$ nên ta có:

$\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}$ suy ra $BC = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin 30^\circ }} = 10\left( {cm} \right)$

Đáp án C

Dựa vào kiến thức về vị trí tương đối của điểm và đường tròn.

Vì OA = OB = R nên điểm A và B nằm trên (O), do đó A sai, C đúng.

Vì theo đề bài, điểm O không nằm giữa A và B nên A và B không đối xứng với nhau qua O và AB không phải đường kính của (O), do đó B, D sai.

Đáp án C

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Số đo cung nhỏ BC chính là số đo góc ở tâm $\widehat {BOC}$.

Vì AB là đường kính của đường tròn (O) nên $\widehat {AOB} = 180^\circ$.

Mà $\widehat {AOB} = \widehat {AOC} + \widehat {COB}$ suy ra $\widehat {BOC} = \widehat {AOB} - \widehat {AOC} = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

Đáp án D

Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn: $l = \frac{{\pi Rn}}{{180}}$.

Bán kính đường tròn là: $6:2 = 3\left( {dm} \right)$

Độ dài cung tròn $60^\circ$ của đường tròn là:

$l = \frac{{\pi .3.60}}{{180}} = \pi \left( {dm} \right)$.

Đáp án A

Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) (với R > r) cắt nhau khi $R - r < OO' < R + r$.

Vì hai đường tròn $\left( {O;20cm} \right)$ và $\left( {O';15cm} \right)$ cắt nhau nên $20cm - 15cm < OO' < 20cm + 15cm$, suy ra $5cm < OO' < 35cm$.

Đáp án B

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Vì hai tiếp tuyến PA và PB của đường tròn (O) cắt nhau tại P nên PO là tia phân giác của $\widehat {APB}$, suy ra $\widehat {APO} = \widehat {BPO} = \frac{1}{2}\widehat {APB} = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ$.

Đáp án D

a) Sử dụng tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn.

b) Thay $a = 4$ vào A để tính giá trị biểu thức A.

c) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức để tính.

d) Đưa A về dạng $A = a + \frac{b}{c}$ với a, b là các số nguyên, c là biểu thức chứa x.

a) Đúng

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{\sqrt a  + 1}} - \frac{1}{{\sqrt a  + a}}} \right):\frac{{\sqrt a  - 1}}{{2\sqrt a  + a + 1}}\\A = \left[ {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt a \left( {1 + \sqrt a } \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt a  - 1}}{{{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}^2}}}\\A = \frac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a  - 1}}\\A = \frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }}\end{array}\)

b) Đúng

Thay $a = 4$ vào A, ta được: \(A = \frac{{\sqrt 4  + 1}}{{\sqrt 4 }} = \frac{3}{2}\).

c) Sai

Ta có: \(\sqrt a .A = \sqrt a .\frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }} = \sqrt a  + 1\).

Vì $\sqrt a .A \ge 2$ nên \(\sqrt a  + 1 \ge 2\), suy ra \(\sqrt a  \ge 1\), do đó $a \ge 1$.

Kết hợp với điều kiện $a \ne 1$, ta có $a > 1$.

d) Đúng

Ta có: \(A = \frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt a }}\).

Để A nguyên thì $A = 1 + \frac{1}{{\sqrt a }}$ nguyên, do đó $\frac{1}{{\sqrt a }}$ nguyên.

Để $\frac{1}{{\sqrt a }}$ nguyên thì $\sqrt a$ là ước của 1, và \(\sqrt a  > 0\) nên \(\sqrt a  = 1\). Suy ra $a = 1$.

Mà $a \ne 1$ nên không có giá trị của a để $A$ nguyên.

Đáp án a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

Dựa vào đề bài để lập hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Từ đó giải hệ được tạo thành bởi hai phương trình vừa lập.

Tính số học sinh giỏi và xuất sắc, từ đó tính số học sinh toàn trường.

a) Đúng

Vì trường trung học mua $878$ quyển vở bao gồm $x$ quyển vở loại thứ nhất và $y$ quyển vở loại thứ hai nên ta có: $x + y = 878$.

b) Sai

Vì giá bán mỗi quyển vở loại thứ nhất và loại thứ hai lần lượt là $7500$ và $12600$ đồng và tổng số tiền nhà trường đã dùng để mua $878$ quyển vở là $9073800$ đồng nên ta có phương trình: $7500x + 12600y = 9\,073\,800$

Suy ra $75x + 126y = 90\,738$.

c) Sai

Hệ phương trình là: $\{\begin{array}{l}x+y=878\\ 75x+126y=90738\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 878\\75x + 126y = 90\,738\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 878\\75x + 126y = 90\,738\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 878 - x\\75x + 126\left( {878 - x} \right) = 90\,738\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 878 - x\\ - 51x = - 19\,890\end{array} \right.\\\left\{$$\begin{array}{l}x = 390\\y = 878 - 390\end{array}$ \right.\\$\left\{ \begin{array}{l}x = 390\\y = 488\end{array} \right.$end{array}

Vậy $x = 390;y = 488$.

d) Sai

Gọi số học sinh xuất sắc là a, số học sinh giỏi là b (học sinh, $a,b \in {\mathbb{N}^*}$)

Vì học sinh xuất sắc được thưởng $3$ quyển vở loại thứ nhất, mỗi học sinh giỏi được thưởng 2 quyển vở loại thứ nhất nên ta có: $3a + 2b = 390$.

Vì học sinh xuất sắc được thưởng $4$ quyển vở loại thứ hai, mỗi học sinh giỏi được thưởng $2$ quyển vở loại thứ hai nên ta có: $4a + 2b = 488$.

Ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}3a+2b=390\\ 4a+2b=488\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b = 390\\4a + 2b = 488\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 98\\3.98 + 2b = 390\end{array} \right.\\$$\left\{ \begin{array}{l}a = 98\\b = 48\end{array} \right.$end{array}

Tổng số học sinh giỏi và xuất sắc là: $98 + 48 = 146$

Vì tổng số học sinh giỏi và xuất sắc chiếm $20\%$ số học sinh toàn trường nên số học sinh của trường là:

$146:20\% = 730$

Vậy tổng số học sinh của trường là $730$.

Đáp án a) Đ, b) S, c) S, d) S

Vì chuyến tham quan từ 7h00 đến 17h00, mỗi học sinh sẽ có chi phí vé vào cổng và bữa ăn trưa nên ta cần tính chi phí cho một học sinh đi tham quan.

Tổng chi phí nhà trường phải trả bao gồm chi phí cho $x$ học sinh tham gia và chi phí thuê xe một ngày.

Vì tổng kinh phí nhà trường dự trù là 20 triệu đồng nên tổng chi phí không được quá 20 triệu đồng. Từ đó ta lập được bất phương trình.

Giải bất phương trình để tìm x.

a) Đúng

Vì chuyến tham quan từ 7h00 đến 17h00, mỗi học sinh sẽ có chi phí vé vào cổng và bữa ăn trưa nên chi phí cho một học sinh đi tham quan là:

30 000 + 50 000 = 80 000 (đồng)

b) Sai

Tổng chi phí nhà trường phải trả bao gồm chi phí cho $x$ học sinh tham gia và chi phí thuê xe một ngày là:

80 000 $x$+ 5 000 000 (đồng)

c) Đúng

Vì tổng kinh phí nhà trường dự trù là 20 triệu đồng nên ta có bất phương trình:

$80\,000x + 5\,000\,000 \le 20\,000\,000$

d) Sai

Giải bất phương trình:

$80\,000x + 5\,000\,000 \le 20\,000\,000$

$80\,000x \le 15\,000\,000$ (cộng cả hai vế với $- 5\,000\,000$)

$x \le \frac{{15\,000\,000}}{{8\,000\,000}}$ (nhân cả hai vế với $\frac{1}{{80\,000}}$)

$x \le 187,5$

Vì số học sinh phải là số nguyên nên số học sinh tối đa là 187.

Trường có thể tổ chức cho tối đa 187 học sinh tham gia chuyến tham quan này.

Đáp án a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.

a) Chứng minh tam giác MNP vuông dựa vào định lí Pythagore đảo.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính góc NPM.

b) Tính số đo góc ở tâm NMP, từ đó suy ra số đo cung nhỏ NP.

d) Tam giác MNQ cân nên ta tính được $\widehat {MNQ}$, sử dụng tính chất hai góc phụ nhau để suy ra $\widehat {PNQ}$.

a) Đúng

Xét tam giác MNP có:

${13^2} = {12^2} + {5^2}$ hay $M{P^2} = M{N^2} + N{P^2}$

Suy ra tam giác MNP là tam giác vuông tại N (theo định lí Pythagore đảo)

Suy ra $MN \bot NP$ và $N \in \left( {M;MN} \right)$ nên NP là tiếp tuyến của $\left( {M;MN} \right)$.

b) Sai

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MNP, ta có:

$\sin NPM = \frac{{MN}}{{MP}} = \frac{5}{{13}}$ suy ra $\widehat {NPM} \approx 23^\circ$.

c) Đúng

Ta có: $\widehat {NMP} = 90^\circ - \widehat {NPM} \approx 90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$.

Vì $\widehat {NMP}$ là góc ở tâm khác góc bẹt nên $\overset\frown{NQ}$ là cung nhỏ, do đó sđ $\overset\frown{NQ}=\widehat{NMQ}\approx 67{}^\circ$.

d) Sai
Tam giác NMQ cân tại M (MN = MQ = bán kính) nên $\widehat {MNQ} = \widehat {MQN} = \frac{{180^\circ - \widehat {NMQ}}}{2} \approx \frac{{180^\circ - 67^\circ }}{2} \approx 57^\circ$.

Suy ra $\widehat {PNQ} = 90^\circ - \widehat {MNQ} \approx 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$.

Đáp án a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

Đưa phương trình về phương trình tích. Giải phương trình tích rồi tính tổng hai nghiệm.

Ta có:

$\begin{array}{l}x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)=0\\ \left(x+2\right)\left(x-5\right)=0\end{array}$$\begin{array}{l}x\left( {x - 5} \right) + 2\left( {x - 5} \right) = 0\\\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\end{array}$

$x + 2 = 0$ suy ra \(x =  - 2\).

$x - 5 = 0$ suy ra $x = 5$.

Suy ra tổng hai nghiệm là $- 2 + 5 = 3$.

Đáp án: 3

Sử dụng kiến thức của căn bậc hai để tính giá trị biểu thức.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {\frac{3}{5}}  - \sqrt {\frac{5}{3}}  + \frac{{\sqrt {60} }}{{15}}\\ = \frac{{\sqrt {3.5} }}{5} - \frac{{\sqrt {5.3} }}{3} + \frac{{\sqrt {4.15} }}{{15}}\\ = \frac{{\sqrt {15} }}{5} - \frac{{\sqrt {15} }}{3} + \frac{{2\sqrt {15} }}{{15}}\\ = \frac{{3\sqrt {15} }}{{15}} - \frac{{5\sqrt {15} }}{{15}} + \frac{{2\sqrt {15} }}{{15}}\\ = \frac{{3\sqrt {15}  - 5\sqrt {15}  + 2\sqrt {15} }}{{15}}\\ = 0\end{array}\)

Đáp án: 0

Sử dụng kiến thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$, giải phương trình để tìm x.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 6x + 9}  = 2\\\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  = 2\\\left| {x - 3} \right| = 2\end{array}\)

Suy ra $x - 3 = 2$ hoặc \(x - 3 =  - 2\).

+) Với $x - 3 = 2$ suy ra $x = 5$.

+) Với \(x - 3 =  - 2\) suy ra $x = 1$.

Vậy tổng các giá trị của x là: $5 + 1 = 6$.

Đáp án: 6

Dựa vào vị trí của các điểm để tính độ dài các đoạn thẳng.

Ta có:

$CM = BC - AM - AB$

$ND = BD - BN = BD - \left( {AN - AB} \right) = BD - AN + AB$

Suy ra $CM + ND = BC - AM - AB + \left( {BD - AN + AB} \right)$

$\begin{array}{l}=BC-AM-AB+BD-AN+AB\\ =BC+BD-\left(AM+AN\right)\end{array}$$\begin{array}{l} = BC - AM - AB + BD - AN + AB\\ = BC + BD - \left( {AM + AN} \right)\end{array}$

Mà $BC = BD = 5cm,AM = AN = 3cm$

Suy ra $CM + ND = 2.5 - 2.3 = 4\left( {cm} \right)$

Đáp án: 4

Dựa vào công thức tính diện tích hình quạt tròn: ${S_q} = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}}$.

Vì diện tích hình quạt tròn là $\frac{8}{3}\pi$ nên ta có: $\frac{{\pi .{R^2}.60}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{6} = \frac{8}{3}\pi$.

Suy ra ${R^2} = \frac{8}{3}\pi :\frac{\pi }{6} = 16$.

Do đó \(R = \sqrt {16}  = 4\left( m \right)\).

Vậy chiều dài của cần gạt nước là 4m.

Đáp án: 4

Sử dụng công thức mở rộng ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

\(\begin{array}{l}C = {\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha \\C = {\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha .1\\C = {\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)\\C = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^3} + 3{\sin ^4}\alpha .{\cos ^2}\alpha  + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^4}\alpha \\C = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^3} + 3{\sin ^4}\alpha .{\cos ^2}\alpha  + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^4}\alpha  + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^3}\\C = {\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)^3} = {1^3} = 1\end{array}\)

Đáp án: 1