Đề giữa học kì 2 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường THPT Sầm Sơn – Thanh Hóa

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ: $\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$ $(a > 0,a \ne 1)$.

$\int {{5^x}{\rm{d}}x = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C}$.

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Ta viết $\int {f(x)dx} = F(x) + C$.

${\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = f'(x)$ sai vì ${\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = f(x)$.

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa và hàm lượng giác:

$\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ $(\alpha \ne - 1)$; $\int {\sin xdx} = - \cos x + C$.

$\int {(\sin x + 4{x^3})dx} = - \cos x + {x^4} + C$.

Áp dụng tính chất của tích phân: $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx}$.

$\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f(x)dx} + \int\limits_0^1 {g(x)dx} = 3 + ( - 2) = 1$.

Áp dụng định nghĩa tích phân: $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(x)\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^b}\\{_a}\end{array}$} \right. = F(b) - F(a).

$\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F(2) - F(1) = 4 - ( - 2) = 6$.

Áp dụng tích chất tích phân: $\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k\int\limits_a^b {f(x)dx}$.

$\int\limits_1^3 {2f(x)dx} = 4 \Leftrightarrow 2\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 4 \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {f(x)dx} = 2$.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}$.

$S = \int\limits_{ - 1}^5 {\left| {f(x)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f(x)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_1^5 {\left| {f(x)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^1 {f(x){\rm{d}}x - } \int\limits_1^5 {f(x){\rm{d}}x}$.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}$.

$S = \int\limits_0^1 {\left| {3{x^2}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {3{x^2}{\rm{d}}x} = 3\int\limits_0^1 {{x^2}{\rm{d}}x}$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Một vecto pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow n = (A;B;C)$.

Khi đó, với số thực $k \ne 0$, $k\overrightarrow n = (kA;kB;kC)$ cũng là một vecto pháp tuyến của (P).

$\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;\,\, - 3;\,\,0} \right)$ là một vecto pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$.

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

$\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}x - y + \frac{1}{2}z = 0$ là phương trình tổng quát của một mặt phẳng.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).

Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

Mặt phẳng (ABC) có phương trình là $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1$.

Áp dụng các công thức nguyên hàm, tích phân cơ bản và tính chất của nguyên hàm.

a) Đúng. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{x^2} + 2} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} + 2x + C$.

b) Đúng. $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} + 2x + \sin x + C$.

c) Sai. $g\left( x \right) = {\left( {\int {g\left( x \right)dx} } \right)^\prime } = {\left( {\sin x + C} \right)^\prime } = \cos x$.

d) Sai. Tích phân $\int_{ - 2}^3 {({x^2} + 2)} dx\, = \,\frac{{65}}{3}$.

Áp dụng lí thuyết về phương trình tổng quát của mặt phẳng.

a) Sai. Vì $\overrightarrow n = \left( {2;\, - 1;\, - 2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của (P).

b) Đúng. (P) // (Q) vì 2 vectơ pháp tuyến cùng phương.

c) Sai. Điểm $I\left( {0;\,\frac{3}{2};\,0} \right)$ thuộc $\left( Q \right)$.

d) Đúng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P);$\left( Q \right)$ bằng khoảng cách từ điểm I thuộc (Q) đến mặt phẳng (P):

$d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)\, = \,d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 - \frac{3}{2} - 2.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{5}{6}$.

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ và hàm số lũy thừa và sử dụng định nghĩa tích phân để tính.

Ta có:

$\int\limits_1^2 {{\rm{(}}{{\rm{2}}^x}{\rm{ + }}{{\rm{x}}^2}{\rm{)d}}x} = \left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^2}\\{_1}\end{array}$} \right. = \left( {\frac{4}{{\ln 2}} + \frac{8}{3}} \right) - \left( {\frac{2}{{\ln 2}} + \frac{1}{3}} \right) = \frac{2}{{\ln 2}} + \frac{7}{3}.

$\Rightarrow a = 2;b = 7 \Rightarrow a + b = 9$.

Lập phương trình mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $BC$.

Mặt phẳng vuông góc với $BC$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \overrightarrow {BC} = \left( {1; - 2; - 5} \right)$.

Phương trình mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $BC$ là $1\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 1} \right) - 5\left( {z + 1} \right) = 0$ hay $x - 2y - 5z - 5 = 0$.

Vậy d = -5.

Đưa hình vẽ về dạng của hàm số $y = a\sqrt x$.

Chọn hệ trục $Oxy$ ở vị trí phù hợp, tìm a.

Từ đó áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân.

Đưa hình vẽ về dạng của hàm số $y = a\sqrt x$.

Chọn hệ trục $Oxy$ với $Ox$ đi qua chính giữa trục của mảnh đất (theo chiều của chiều cao), gốc tọa độ $O$ cách điểm chính giữa của đoạn $AB$ là $4$, khi đó ta có: ${y_B} = 4$, ${y_C} = 6$ nên $B(4;4)$, $C(9;6)$.

Do đó, dễ được: $a = 2$.

Vậy $S = 2\int\limits_4^9 {2\sqrt x {\rm{d}}x} = \frac{{152}}{3} \approx 50,7$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác.

Ta thấy $A,B$ nằm khác phía đối với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A\left( {1; - 3;2} \right)$ và song song với $\left( {Oxy} \right)$ nên $\left( P \right):z = 2$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ lên (P) $\Rightarrow H\left( { - 2;1;2} \right)$.

Gọi $K$ thuộc $\left( P \right)$ là điểm sao cho $AMNK$ là hình bình hành.

Gọi $B'$ là điểm đối xứng của $B$ qua $\left( {Oxy} \right)$ $\Rightarrow B'\left( { - 2;1;3} \right)$.

Ta có: $\left| {AM - BN} \right| = \left| {AM - B'N} \right| = \left| {KN - B'N} \right| \le KB'$ $\left( 1 \right)$

Mà $KB' = \sqrt {B'{H^2} + H{K^2}} \le \sqrt {B'{H^2} + {{\left( {HA + AK} \right)}^2}}$ $\left( 2 \right)$

Ta có: $B'H = \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} = 1$, $HA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}} = 5$.

$AK = MN = 1$ (vì $AMNK$ là hình bình hành)

Theo $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có: $\left| {AM - BN} \right| \le KB' \le \sqrt {{1^2} + {{\left( {5 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {37} \approx 6,08$.

Vậy giá trị lớn nhất của $\left| {AM - BN} \right|$ là $\sqrt {37} \approx 6,08$.

Áp dụng tính chất của tích phân.

Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2,$ Ta có: $\int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) + 2x} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {2f(x)dx} + \int\limits_0^1 {2xdx} \, = \,2\int\limits_0^1 {f(x)dx} + {x^2}\left| {_0^1} \right. = 2.2 + 1 = 5$.

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Tìm phương trình parabol.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Phương trình Parabol có dạng $y = a.{x^2}$ $\left( P \right)$.

$\left( P \right)$ đi qua điểm có tọa độ $\left( { - 6; - 18} \right)$ suy ra: $- 18 = a.{\left( { - 6} \right)^2} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}$

  $\Rightarrow \left( P \right):y = - \frac{1}{2}{x^2}$.

Từ hình vẽ ta có: $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}$.

Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng $AB:y = - \frac{1}{2}x_1^2$ là:

${S_1} = 2\int\limits_0^{{x_1}} {\left[ { - \frac{1}{2}{x^2} - \left( { - \frac{1}{2}x_1^2} \right)} \right]{\rm{d}}x}$ $\left. { = 2\left( { - \frac{1}{2}.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}x_1^2x} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \frac{2}{3}x_1^3$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng $CD$ $y = - \frac{1}{2}x_2^2$ là:

${S_2} = 2\int\limits_0^{{x_2}} {\left[ { - \frac{1}{2}{x^2} - \left( { - \frac{1}{2}x_2^2} \right)} \right]{\rm{d}}x}$ $\left. { = 2\left( { - \frac{1}{2}.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}x_2^2x} \right)} \right|_0^{{x_2}} = \frac{2}{3}x_2^3$.

Từ giả thiết suy ra ${S_2} = 2{S_1} \Leftrightarrow x_2^3 = 2x_1^3$ $\Leftrightarrow \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}$. Vậy $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}$.

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.

Tìm cặp vecto chỉ phương, từ đó suy ra vecto pháp tuyến của mặt phẳng quỹ đạo.

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ:

Ta có $OC = \sqrt {O{B^2} - B{C^2}} = 4$ suy ra $B\left( {3;4;0} \right)$.

Mặt phẳng chứa quỹ đạo đi qua $O\left( {0;0;0} \right)$ và nhận $\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)$, $\overrightarrow {OB} \left( {3;4;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Suy ra vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow k ;\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 4;3;0} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo của quả bóng là: $- 4\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - 0} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 4x - 3y = 0$.