Đề giữa kỳ 2 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường THPT Ngọc Lặc – Thanh Hóa

Dựa vào định nghĩa nguyên hàm.

$F'(x) = f(x),\,\forall x \in K$.

Áp dụng quy tắc nguyên hàm của hàm số lũy thừa: $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ $(\alpha \ne - 1)$.

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^3}dx} = \frac{1}{4}{x^4} + C$.

Áp dụng định nghĩa nguyên hàm.

Ta có:  $F'(x) = \left( {2\sin x + 3x} \right)' = 2\cos x + 3$

Áp dụng tính chất của tích phân: $\int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx}$.

$\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_3^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10 + ( - 1) = 9$.

Dựa vào định nghĩa tích phân.

${\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}} = \left. {f'(x)} \right|_{b}^{a} = f'(b) - f'(a)$ là sai vì ${\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}} = \left. {F(x)} \right|_{a}^{b} = F(b) - F(a)$.

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa và sử dụng định nghĩa tích phân để tính.

Ta có $I = \int\limits_0^2 {(2x + 1)dx} = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_0^2 = 4 + 2 = 6$.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx}$.

Dựa vào đồ thị, ta có $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.

$V = \pi{\int\limits_{a}^{b}{\left\lbrack {f(x)} \right\rbrack^{2}dx}}$.

Cho hàm số f(x), g(x) liên tục, không âm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx}$.

Thể tích của chén là: $V = \pi \int\limits_0^5 {{{\left( {\sqrt {2x} + 2} \right)}^2}} {\rm{d}}x$

$= \pi \left( {\frac{{40}}{3}\sqrt {10} + 45} \right) \approx 274$ (${\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$).

Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc mặt phẳng.

Ta có 0 – 2.2 + 0 – 4 = 0 nên tọa độ điểm N(0; 2; 0) thỏa mãn phương trình mặt phẳng. Vậy $N \in (\alpha)$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Một vecto pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow n = (A;B;C)$.

Khi đó, với số thực $k \ne 0$, $k\overrightarrow n = (kA;kB;kC)$ cũng là một vecto pháp tuyến của (P).

\(\overset{\rightarrow}{c} = \left( {2;\mspace{6mu} - 3;\mspace{6mu} 0} \right)\) là một vecto pháp tuyến của $(\alpha)$.

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (A;B;C)$ là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$

hay $Ax + By + Cz + D = 0$ với $D = - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0}$.

Ta có phương trình mặt phẳng là:

$\left( {x - 3} \right) - \left( {y + 1} \right) + 2(z - 4) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2z - 12 = 0$.

Áp dụng định nghĩa, tính chất và các công thức tính tích phân.

a) Đúng. Đúng theo định nghĩa: $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right)$.

b) Sai. $F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C$.

$F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + 1$. $F\left( 2 \right) = \frac{{23}}{3}$.

c) Đúng. $\int\limits_0^2 {kf\left( x \right)dx} = 2 \Leftrightarrow k.\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 2 \Leftrightarrow k.\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = 2$

$\Leftrightarrow k.\frac{{20}}{3} = 2 \Leftrightarrow k = \frac{3}{{10}}$.

d) Sai. $\int\limits_1^3 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^3 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} = 2 + 2\ln 3$.

$\Rightarrow a = 2,\,b = 3\, \Rightarrow 3a - 5b = - 9$.

a) Áp dụng ý nghĩa cơ học của đạo hàm.

b) Tìm s(t).

c) Tính $\int\limits_0^6 {v(t)dt}$.

d) $\int\limits_0^{35} {v(t)dt}$.

a) Đúng. Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm, ta có v(t) = s’(t).

b) Sai. Ta có v(t) = s’(t). Do đó s(t) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v(t).

$s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {5 + 3t} \right)dt} = \int {5dt} + \int {3t} dt = \frac{3}{2}{t^2} + 5t + C$.

Theo đề $s\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2}{.0^2} + 5.0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$.

Vậy $s\left( t \right) = \frac{3}{2}{t^2} + 5t$.

c) Sai. Ta có: $s = \int\limits_0^6 {v(t)dt} = \left. {\left( {\frac{3}{2}{t^2} + 5t} \right)} \right|_0^6 = \frac{3}{2}{.6^2} + 5.6 = 84$.

d) Đúng. Máy bay rời đường băng khi t = 35 giây nên $s = \int\limits_0^{35} {v(t)dt} = \left. {\left( {\frac{3}{2}{t^2} + 5t} \right)} \right|_0^{35} = 2012,5$.

Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường bằng làm tròn đến hàng đơn vị là 2013 m.

a) Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng, nếu thỏa mãn thì A thuộc (P).

c) Mặt phẳng đi qua ba điểm $A,B,M$ nhận vectơ ${\overrightarrow n _1} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right]$ làm vectơ pháp tuyến.

d) Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi tích vecto pháp tuyến của chúng bằng 0.

a) Đúng. Do $\left( P \right):3x - 2y + z + 1 = 0$ nên suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)$.

b) Sai. Thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$, ta được $3.1 - 2.2 - 3 + 1 = - 3 \ne 0 \Rightarrow A \notin \left( P \right)$.

c) Đúng. Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 2;\,2} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {1;\, - 3;\,7} \right)$.

Mặt phẳng đi qua ba điểm $A,B,M$ nhận vectơ ${\overrightarrow n _1} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right] = \left( { - 8;23;11} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

d) Sai. Vì $\overrightarrow n .{\overrightarrow n _1} = 3.8 - 2.( - 23) + 1.( - 11) \ne 0$ nên hai mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ và $\left( P \right)$ không vuông góc với nhau.

a) Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$.

b) Hai mặt phẳng song song có cùng vecto pháp tuyến.

c) Lập phương trình mặt phẳng đi qua trung điểm của $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB}$ làm vecto pháp tuyến.

d) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

$d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

a) Sai. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n (2;1; - 3)$.

b) Đúng. Mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $B$ và song song với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:

$2(x - 3) + (y - 2) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 3z - 5 = 0$.

c) Đúng. Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ đi qua trung điểm $I(2;4; - 3)$ của đoạn $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB} (2; - 4;8)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình:

$2(x - 2) - 4(y - 4) + 8(z + 3) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 4z + 18 = 0$.

d) Sai. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là: $\frac{{\left| {2.1 + 6 - 3.( - 7) - 14} \right|}}{{\sqrt {14} }} = \frac{{15}}{{\sqrt {14} }}$.

Tính thời gian từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳng.

Áp dụng công thức $s(t) = \int\limits_a^b {v(t)dt}$ để tính quãng đường ô tô chuyển động chậm dần đều.

Ta có $v(t) = 0 \Leftrightarrow - 2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5 \Rightarrow$ Thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là 5 giây. Vậy trong $8$ giây cuối cùng thì có 3 giây ô tô chuyển động với vận tốc 10 m/s và 5 giây chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -2t + 10 (m/s).

Khi đó quãng đường ô tô di chuyển là: $S = 3.10 + \int\limits_0^5 {\left( { - 2t + 10} \right)dt} = 30 + 25 = 55$ (m).

Áp dụng định nghĩa tính tích phân A, tìm 2024m rồi thay vào B.

Ta có: $\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x + 2024m} \right)dx} = 5 \Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 2024mx} \right)} \right|_0^1 = 5$

$\Leftrightarrow 2024m - \frac{1}{6} = 5 \Rightarrow 2024m = \frac{{31}}{6}$.

Thay $2024m = \frac{{31}}{6}$ vào $B$ ta được:

$B = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + \frac{{49}}{6}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + \frac{{49}}{6}x} \right)} \right|_1^2 = 6$.

Áp dụng công thức $\left[ {\sqrt {f(u)} } \right]' = \frac{{f(u).f'(u)}}{{2\sqrt {f(u)} }}$.

Ta có $f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\,\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1$

$\Leftrightarrow \int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}{\rm{d}}x} = \int {\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x}$

$\Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + C$.

Vì $f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2$ nên $C = 3$.

$\Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^2} - 1} \Rightarrow f\left( 1 \right) = 2\sqrt 6 \approx 4,9$.

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp, lập phương trình parabol và áp dụng công thức tính thể tích vật thể bằng tích phân.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, hình dạng khung trại là parabol có phương trình $y = f(x) = a{x^2} + bx + c$, vì đỉnh trại cao 3 m và bề ngang rộng 3 m nên parabol đi qua điểm $\left( {0;3} \right)$ và $\left( {\frac{3}{2};0} \right)$.

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\3 = c\\0 = a.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + c\end{array} \right. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = - \frac{4}{3}\\c = 3\end{array} \right.$.

Suy ra parabol có phương trình $y = f\left( x \right) = - \frac{4}{3}{x^2} + 3$.

Mỗi mặt phẳng vuông góc Ox tại điểm có hoành độ $x$, $0 \le x \le h$ cắt khối chót theo mặt cắt là hình chữ nhật có độ dài các cạnh lần lượt là 5 và $\,\left| {f\left( x \right)} \right|$, có diện tích $S\left( x \right) = 5.\left| {f\left( x \right)} \right|$ , với $- \frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}$.

Vậy thể tích phần không gian trong trại là  $V = \int\limits_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {5.\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = 5.\int\limits_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left| { - \frac{4}{3}{x^2} + 3} \right|dx} = 30$ $({m^3})$.

Do $\left( P \right)$ song song với giá của hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {1;\,1;\,0} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {1;\,2;\, - 3} \right)$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là  $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow u ;\,\overrightarrow v } \right]$. Lập phương trình $\left( P \right)$ đi qua $M\left( {2;\,3;\, - 1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow u ;\,\overrightarrow v } \right]$ làm vectơ pháp tuyến.

Do $\left( P \right)$ song song với giá của hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {1;\,1;\,0} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {1;\,2;\, - 3} \right)$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là  $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow u ;\,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 3;\,3;\,1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {2;\,3;\, - 1} \right)$ nên có phương trình:

$\left( P \right): - 3(x - 2) + 3(y - 3) + z + 1 = 0$

$\Leftrightarrow - 3x + 3y + z - 2 = 0 \Leftrightarrow 3x - 3y - z + 2 = 0$.

Vậy a – b + c = 5.

Gắn hình chóp cụt vào hệ trục $Oxyz$ và tìm tọa độ các điểm.

Lập phương trình $\left( {OACB} \right)$ đi qua O và nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]$ làm vectơ pháp tuyến.

Gắn hình chóp cụt vào hệ trục $Oxyz$ ta có: $O\left( {0;0;0} \right),A\left( {100;0;0} \right),B\left( {10;10;8} \right)$.

Do $\overrightarrow {OA} = \left( {100;0;0} \right),\,\,\overrightarrow {OB} = \left( {10;10;8} \right)$ nên $\vec n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0; - 800;1000} \right)$.

Suy ra mặt phẳng $\left( {OACB} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}\,} = \left( {0;4; - 5} \right)$.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( {OACB} \right)$ là $4y - 5z = 0$.

Do đó a = 0, c = -5, d = 0. Vậy $a + c + d = 0 - 5 + 0 = - 5$.