Đề cuối kỳ 1 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường THPT Lê Lợi – Quảng Trị

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Hàm số đồng biến trên $\left( {0\,;\, 1} \right)$ vì f'(x) > 0 trên $\left( {0\,;\, 1} \right)$.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Điểm cực đại của hàm số đã cho là $x = - 1$.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Đường tiệm cận đứng là x = 2, đường tiệm cận ngang là y = 1.

Dựa vào tiệm cận đứng và giao của đồ thị với trục tung.

Tiệm cận đứng của đồ thị là x = -1 nên loại đáp án C.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –2 nên loại B, D.

Lập bảng biến thiên, tìm khoảng mà S'(t) > 0.

$S'(t) = - 3{t^2} + 18t = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}t = 0\\t = 6\end{array}$ \right.

Vậy khoảng thời gian lâu nhất mà tốc độ sản xuất tăng là (0;6).

Khi đó $R = {a^2} + 2{b^2} = {0^2} + {2.6^2} = 72$.

Hai vecto bằng nhau có cùng độ dài và cùng hướng.

$\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{D^{\prime}C^{\prime}}$ vì hai vecto có cùng độ dài và cùng hướng.

Áp dụng quy tắc hình hộp.

Theo quy tắc hình hộp, ta có $\overset{\rightarrow}{DB'} = \overset{\rightarrow}{DA} + \overset{\rightarrow}{DC} + \overset{\rightarrow}{DD^{\prime}}$.

Đưa về hai vecto chung gốc.

$\left( {\overrightarrow {B'A'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = {60^o}$.

Áp dụng công thức tính đường chéo của hình hộp chữ nhật ba kích thước a, b, c:

$d = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$.

$AC' = \sqrt {A{B^2} + A{D^2} + AA{'^2}}$

$= \sqrt {A{B^2} + A'D{'^2} + AA{'^2}}$

$= \sqrt {{8^2} + {6^2} + {{\left( {2\sqrt {11} } \right)}^2}} = 12$.

Áp dụng quy tắc hình bình hành.

$\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {B'C'} - \overrightarrow {D'B'} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BD}$.

Áp dụng biểu thức các phép toán vecto.

Với cách chọn hệ trục toạ độ như đề bài thì ta có $A\left( {0;0;0} \right)$; $B\left( {{x_B};0; - 5} \right)$; $D\left( {0;{y_D}; - 8} \right)$.

Gọi $C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)$. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B};0; - 5} \right)$; $\overrightarrow {AD} = \left( {0;{y_D}; - 8} \right)$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \left( {{x_B};{y_D}; - 13} \right) \Rightarrow C\left( {{x_B};{y_D}; - 13} \right)$.

$\Rightarrow C$ thấp hơn vị trí $A$ là 13 cm.

Để tính khoảng biến thiên, ta lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên (nhóm chứa mẫu số liệu).

Khoảng biến thiên: R = 30 - 10 = 20.

Dựa vào tần số tích lũy của từng nhóm.

Vì $16 < \frac{{3n}}{4} = \frac{{3.30}}{4} = \frac{{90}}{4} = 22,5 < 25$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ 3 là $\left[ {15;20} \right)$.

Áp dụng công thức ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}$.

Gọi ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{30}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_5} \in [15;20)$; ${y_6}; \ldots ;{y_{17}} \in [20;25)$; ${y_{18}}; \ldots ;{y_{25}} \in [25;30)$; ${y_{26}};{y_{27}};{y_{28}} \in [30;35)$; ${y_{29}};{y_{30}} \in [35;40)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${y_8} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{{12}}(25 - 20) = \frac{{505}}{{24}}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${y_{23}} \in [25;30)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 25 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - (5 + 12)}}{8}(30 - 25) = \frac{{455}}{{16}}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác Bình là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{455}}{{16}} - \frac{{505}}{{24}} = \frac{{355}}{{48}} \approx 7,4$.

Áp dụng công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm.

Từ biểu đồ, ta có bảng thống kê sau:

Cỡ mẫu là $n = 2 + 4 + 7 + 5 = 18.$

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline x = \frac{{2.7,3 + 4.7,5 + 7.7,7 + 5.7,9}}{{18}} = \frac{{23}}{3}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${S^2} = \frac{1}{{18}}\left[ {2.{{\left( {7,3 - \frac{{23}}{3}} \right)}^2} + 4.{{\left( {7,5 - \frac{{23}}{3}} \right)}^2} + 7.{{\left( {7,7 - \frac{{23}}{3}} \right)}^2} + 5.{{\left( {7,9 - \frac{{23}}{3}} \right)}^2}} \right] = 0,03\left( 6 \right) \approx 0,04$.

Áp dụng công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

$\overline x = \frac{{22,5.6 + 27,5.6 + 32,5.4 + 37,5.1 + 42,5.1}}{{6 + 6 + 4 + 1 + 1}} = \frac{{85}}{3}$.

${s^2} = \frac{1}{{18}}\left( {6.22,{5^2} + 6.27,{5^2} + 4.32,{5^2} + 37,{5^2} + 42,{5^2}} \right) - {\left( {\frac{{85}}{3}} \right)^2} = 31,25$.

$s = \sqrt {31,25} \approx 5,6$.

Lập bảng biến thiên để khảo sát hàm số.

$f'(x) = 6{x^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Bảng biến thiên:

a) Đúng. Hàm số đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$.

b) Sai. Giá trị cực đại của hàm số là $x = 3$.

c) Đúng. Trên $\left( { - 1; + \infty } \right)$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 1$.

d) Đúng. $\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f(x) - \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f(x) = - 5 - 3 = - 8$.

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

a) Đúng. $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow j - \overrightarrow i + 2\overrightarrow k = ( - 1;1;2)$ mà $B\left( { - 1;1;2} \right)$.

b) Sai. $\overrightarrow {AC} = \left( {2 - 1;1 - 2;1 - 3} \right) = \left( {1; - 1; - 2} \right)$.

c) Đúng. $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1 - 1;1 - 2;2 - 3} \right) = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 6$.

d) Sai. Điểm $N(x;y;z)$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên $N(x;y;0)$.

$\overrightarrow {AN} = \left( {x - 1;y - 2; - 3} \right)$.

$A,B,N$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 2k\\y - 2 = - k\\ - 3 = - k\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}k = 3\\x = - 5\\y = - 1\end{array} \right.$

Khi đó $x + y + z = - 5 - 1 + 0 = - 6$.

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

a) Sai. Trung điểm của BC có tọa độ $\left( {\frac{{2 + 4}}{2};\frac{{5 - 3}}{2};\frac{{3 + 5}}{2}} \right) = \left( {3;1;4} \right)$.

b) Sai. Giả sử ta có ABCD là hình bình hành. Khi đó:

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}1 = 4 - {x_D}\\8 = - 3 - {y_D}\\1 = 5 - {z_D}\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 3\\{y_D} = 5\\{z_D} = 4\end{array} \right.$ \Rightarrow D(3;5;4).

c) Đúng. $\overrightarrow {AC} = (3;0;3) \Rightarrow - 2\overrightarrow {AC} = ( - 6;0; - 6)$.

$\overrightarrow {BM} = - 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}a - 2 = - 6\\b - 5 = 0\\c - 3 = - 6\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = 5\\c = - 3\end{array} \right.$ \Rightarrow a + b + c = - 2.

d) Sai. $N\left( {x;y;z} \right) \in Oy \Rightarrow N\left( {0;y;0} \right)$.

$\overrightarrow {AN} = ( - 1;y + 3; - 2)$, $\overrightarrow {BC} = (2; - 8;2)$.

AN vuông góc với BC khi $\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow - 1.2 - 8(y + 3) - 2.2 = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{{15}}{4}$.

Khi đó $3x - 4y + z = 3.0 - 4.\left( { - \frac{{15}}{4}} \right) + 0 = 15$.

Áp dụng công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

Mẫu số liệu nào có độ lệch chuẩn lớn hơn thì "rủi ro" hơn.

a) Đúng. Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {25;30} \right)$ là $\frac{{25 + 30}}{2} = 27,5$.

b) Đúng. $\overline {{x_A}} = \frac{{17,5.5 + 22,5.10 + 27,5.8 + 32,5.8 + 37,5.9}}{{5 + 10 + 8 + 8 + 9}} = 28,25$.

c) Sai. ${s_A}^2 = \frac{1}{{40}}\left( {5.17,{5^2} + 10.22,{5^2} + 8.27,{5^2} + 8.32,{5^2} + 9.37,{5^2}} \right) - 28,{25^2} = \frac{{731}}{{16}}$.

${s_A} = \frac{{\sqrt {731} }}{4} \approx 6,76$.

d) Sai. ${s_B} = \frac{{\sqrt {751} }}{4} > \frac{{\sqrt {731} }}{4} = {s_A}$ nên đầu tư vào lĩnh vực B rủi ro hơn.

Lập hàm số biểu diễn doanh thu theo giá thuê một căn hộ.

Tìm GTLN của hàm số bằng cách đạo hàm, lập bảng biến thiên.

Gọi $p$ là giá ( triệu đồng) thuê một căn hộ, $x$ là số căn hộ được thuê. Ta có $p = ax + b$.

Theo giả thiết thì đường thẳng $p(x)$ đi qua các điểm $\left( {80;4} \right);\left( {75;4,3} \right)$. Từ đó ta có:$p(x) = - \frac{3}{{50}}x + \frac{{44}}{5} \Rightarrow x = - \frac{{50}}{3}p + \frac{{440}}{3}$

Ta có hàm doanh thu $R(p) = px = - \frac{{50}}{3}{p^2} + \frac{{440}}{3}p$.

$R'(p) = - \frac{{100}}{3}p + \frac{{440}}{3} = 0 \Leftrightarrow p = 4,4$.

Lập bảng biến thiên.

Để doanh thu lớn nhất thì $R(p)$ lớn nhất. Từ BBT ta có $R(p)$ lớn nhất khi $p = 4,4$.

Như vậy, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là $4,4$ triệu đồng thì doanh thu là lớn nhất.

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

Ta có $\overrightarrow {OA} = 10\vec k \Rightarrow A(0;0;12)$.

Xét $\Delta OBH$ có $OH = OB \cdot \cos {60^o } = \frac{{17}}{2}$.

$OK = BH = OB \cdot \sin {60^o} = \frac{{17\sqrt 3 }}{2}$.

$\Rightarrow {\rm{ }}B\left( {\frac{{17\sqrt 3 }}{2};\frac{{17\sqrt 3 }}{2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{17\sqrt 3 }}{2};\frac{{17}}{2}; - 12} \right)$.

Vậy $P = b + c = \frac{{17}}{2} - 12 = - 3,5$.

Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${Q_1}$, ta thực hiện như sau:

Giả sử nhóm $\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)$ chứa tứ phân vị thứ nhất;

${n_m}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất;

$C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}$.

Khi đó  ${Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)$.

Tương tự, để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${Q_3}$, ta thực hiện như sau:

Giả sử nhóm $\left[ {{u_j};{u_{j + 1}}} \right)$ chứa tứ phân vị thứ ba;

${n_j}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba;

$C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{j - 1}}$.

Khi đó ${Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right)$.

Khoảng tứ phân vị: ${{\Delta }_{Q}}={{Q}_{3}}-{{Q}_{1}}$

Cỡ mẫu là $n = 56$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là $\frac{{{x_{14}} + {x_{15}}}}{2}$. Do ${x_{14}},{x_{15}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {12,5;15,5} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_1}$. Do đó, $p = 2;{a_2} = 12,5;{m_2} = 12;{m_1} = 3;{a_3} - {a_2} = 3$ và ta có ${Q_1} = 12,5 + \frac{{\frac{{56}}{4} - 3}}{{12}}.3 = 15,25$.

Với tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là $\frac{{{x_{42}} + {x_{43}}}}{2}$. Do ${x_{42}},{x_{43}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {18,5;21,5} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_3}$. Do đó, $p = 4;{a_4} = 18,5;{m_4} = 24;{m_1} + {m_2} + {m_3} = 3 + 12 + 15 = 30;{a_5} - {a_4} = 3$ và ta có ${Q_3} = 18,5 + \frac{{\frac{{3.56}}{4} - 30}}{{24}}.3 = 20$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 4,75$.

Áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ, gốc đặt tại điểm xuất phát, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía Bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây, trục $Oz$ hướng thẳng lên trời.

Chiếc Flycam thứ nhất có tọa độ $A\left( {100,200,50} \right)$;

Chiếc Flycam thứ hai có tọa độ $B\left( { - 300,\, - 200,100} \right)$.

Chiếc Flycam thứ ba có tọa độ $C\left( {100,\, - 150,50} \right)$.

Hai chiếc Flycam thứ nhất và thứ hai tạo với chiếc thứ ba một góc bằng $\alpha$. Nên $\widehat {ACB} = \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \alpha$.

$\overrightarrow {CA} = \left( {0;350;0} \right);\overrightarrow {CB} = \left( { - 400; - 50;50} \right)$

$\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = \frac{{0.\left( { - 400} \right) + 350.\left( { - 50} \right) + 0.50}}{{\sqrt {{0^2} + {{350}^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 400} \right)}^2} + {{\left( { - 50} \right)}^2} + {{50}^2}} }}$

Vậy $\alpha = \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) \approx 97,{1^ \circ }$.