Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 10

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng f’(x) < 0.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3;0) vì f’(x) < 0 trên (-3;0).

Tìm số nghiệm bội lẻ của phương trình y = f'(x).

$f'(x) = {(x - 1)^2}({x^2} - 5x + 6)$

$= {(x - 1)^2}(x - 2)(x - 3)$.

Phương trình f’(x) = 0 có hai nghiệm bội lẻ là x = 2 và x = 3 nên hàm số f(x) có hai điểm cực trị.

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Ta có $\lim_{x \to 1^+} y = -\infty$; $\lim_{x \to 1^-} x = +\infty$ nên ta có một tiệm cận đứng là $x=1$.

Mặt khác $\lim_{x \to +\infty} y = -1$; $\lim_{x \to -\infty} y = 1$ nên ta có hai tiệm cận ngang là $y=1$ và $y=-1$.

Vậy, đồ thị hàm số đã cho có tổng số TCĐ và TCN là 3.

Quan sát bảng biến thiên, tìm đạo hàm, xét các điểm cực trị và các giá trị của hàm số tại điểm đó, thay số vào f(x), f’(x) để tìm các hệ số của phương trình.

Ta có: $f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c$. Đồ thị đạt cực trị tại các điểm (0;1) và (-2;-3) nên f’(0) = 0, f’(-2) = 0.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-2;-3) và (0;1) nên f(-2) = -3, f(0) = 1.

Ta có hệ phương trình sau:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{f'(0) = 0}\\{f(0) = 1}\\{f'( - 2) = 0}\\{f( - 2) =  - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{c = 0}\\{d = 1}\\{12a - 4b = 0}\\{ - 8a + 4b + 1 =  - 3}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{c = 0}\\{d = 1}\\{a =  - 1}\\{b =  - 3}\end{array}} \right.$

Vậy hàm số cần tìm là: $y =  - {x^3} - 3{x^2} + 1$.

Áp dụng quy tắc ba điểm.

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overset{\rightarrow}{MN} + \overset{\rightarrow}{NP} = \overset{\rightarrow}{MP}$.

Trong không gian, cho hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0$. Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a$, $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b$. Khi đó, $\widehat {AOB}$ $\left( {{0^o} < \widehat {AOB} < {{180}^o}} \right)$ được gọi là góc giữa hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, kí hiệu là $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

$\left( {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BG} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BG} } \right) = \widehat {CBG} = {45^o}$.

$\overrightarrow a = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j + p\overrightarrow k = (m;n;p)$.

$\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow k = (2; - 3;4)$.

Điểm M’ đối xứng với M(a;b;c) qua mặt phẳng (Oxz) có tọa độ M’(a;-b;c).

Điểm M’ đối xứng với M(4;1;3) qua mặt phẳng (Oxz) có tọa độ M’(4;-1;3).

$\overrightarrow u - \overrightarrow v = ({x_u} - {x_v};{y_u} - {y_v};{z_u} - {z_v})$.

$\overrightarrow u - \overrightarrow v = (1 - 2;3 - 1; - 2 + 1) = ( - 1;2; - 1)$.

Hình chiếu của điểm M(a;b;c) lên mặt phẳng (Oyz) là điểm M’(0;b;c).

Ta có A’(0;2;3) suy ra $\overrightarrow {AA'} = (0 - 1;2 - 2;3 - 3) = ( - 1;0;0)$.

Lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên (chứa mẫu số liệu).

Khoảng biến thiên: $R = 90 - 65 = 25$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bởi công thức: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 9 - 3 = 6$.

Quan sát hình vẽ và xác định tọa độ các điểm.

Gọi K là hình chiếu của N trên (Oxy).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lí Pythagore để tính.

a) Sai. Điểm M không thuộc (Oxy) nên cao độ khác 0.

b) Sai. Điểm M có tung độ bằng 0 và điểm N có tung độ khác 0.

c) Đúng. $\alpha  = \left( {OM,(Oxy)} \right)$

$= \left( {OM,OH} \right) = \widehat {MOH}$.

Xét tam giác MHN vuông tại H:

$\sin \alpha  = \frac{{MH}}{{OM}} \Leftrightarrow OM = \frac{{MH}}{{\sin \alpha }} = \frac{h}{{\frac{1}{3}}} = 3h$.

d) Đúng. Gọi K là hình chiếu của N trên (Oxy).

$\beta  = \left( {ON,(Oxy)} \right) = \left( {ON,OK} \right) = \widehat {NOK}$.

Xét tam giác NOK vuông tại K:

$\sin \beta  = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Leftrightarrow \frac{h}{{ON}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Leftrightarrow ON = h\sqrt {10}$.

Xét tam giác MON vuông tại M:

$\sqrt {O{N^2} - O{M^2}}  = MN$

$\Leftrightarrow \sqrt {10{h^2} - 9{h^2}}  = 10 \Leftrightarrow h = 10$ (m).

Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiếu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

Phương sai:

- Công thức 1: ${S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{c_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{c_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{c_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]$.

- Công thức 2: ${S^2} = \frac{1}{n}\left( {{n_1}{c_1}^2 + {n_2}{c_2}^2 + ... + {n_k}{c_k}^2} \right) - {\overline x ^2}$.

Trong đó: $n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}$ là cỡ mẫu; $\overline x = \frac{1}{n}\left( {{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}} \right)$ là số trung bình.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}$.

a) Đúng. Số giờ nắng/ngày trung bình là:

$\overline x  = \frac{{1.5 + 2.4 + 3.2 + 4.7 + 5.12 + 6.0}}{{5 + 4 + 2 + 7 + 12}} = \frac{{107}}{{30}} \approx 3,57$.

b) Đúng. Khoảng biến thiên: R = 5,5 – 0,5 = 5.

c) Sai. Phương sai:

${s^2} = \frac{1}{{30}}\left( {{{5.1}^2} + {{4.2}^2} + {{2.3}^2} + {{7.4}^2} + {{12.5}^2}} \right) - {\left( {\frac{{107}}{{30}}} \right)^2} = \frac{{2081}}{{900}} \approx 2,3$.

d) Đúng. ${Q_1} = 1,5 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{4}.(2,5 - 1,5) = 2,125$.

${Q_3} = 4,5 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - (5 + 4 + 2 + 7)}}{{12}}.(5,5 - 4,5) = 4,875$.

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 4,875 - 2,125 = 2,75$.

Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Cô lập m, lập bảng biến thiên để xác định m sao cho hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm là của hai đồ thị trên là:

$2{x^3} - 3{x^2} + 2 = {x^3} - 6{x^2} + 9x + m \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} - 9x + 2 = m$ (*)

Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ (*) có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow$ (C): $y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 2$ cắt $d:y = m$ tại 3 điểm phân biệt.

Xét (C): $y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 2$.

Ta có $y' = 3{x^2} + 6x - 9$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = - 3 \vee x = 1$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow - 3 < m < 29$.

Do m nguyên nên $m \in \{ - 2; - 1;0;1;2;...,28\}$. Vậy có 31 giá trị của m thỏa mãn.

Lập hàm số biểu diễn diện tích hình chữ nhật theo x.

Sử dụng đạo hàm tìm GTLN của hàm số.

Theo hình vẽ, một cạnh của hình chữ nhật có chiều dài 2x (m, x > 0).

Gọi độ dài cạnh còn lại là y (m, y > 0).

Chu vi sân là $C = 2\pi x + 2y = 400$ (m).

Do đó $y = \frac{{400 - 2\pi x}}{2} = 200 - \pi x$ (m).

Vì $y > 0 \Leftrightarrow 200 - \pi x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{{200}}{\pi }$.

Diện tích sân hình chữ nhật là:

$S = 2xy = 2x(200 - x\pi ) = 400x - 2\pi {x^2}$ $\left( {{m^2}} \right)$.

$S' = 400 - 4\pi x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{100}}{\pi }$.

Ta có S(0) = 0, $S\left( {\frac{{100}}{\pi }} \right) \approx 6366$, $S\left( {\frac{{200}}{\pi }} \right) = 0$.

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là khoảng 6366 mét vuông.

Thay số vào công thức đã cho.

Ta có: $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}$, suy ra $\left| {\overrightarrow{F}} \right|=\left| m\overrightarrow{a} \right|=m\left| {\overrightarrow{a}} \right|=0,5.50=25$.

Vậy muốn truyền cho quả bóng khối lượng 0,5 (kg) một gia tốc 50  thì cần một lực có độ lớn bằng 25 (N).

Quan sát hình vẽ, xác định tọa độ các điểm A, B.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$.

Từ hình vẽ ta có A(6,7; 0; 0), B(6,7; 6,1; 1,55).

$\overrightarrow{AB}=(6,7-6,7;6,1-0;1,55-0)=(0;6,1;1,55)$.

$\Rightarrow a + b + c = 0 + 6,1 + 1,55 = 7,65$.

• $v\left( t \right) = h'\left( t \right)$.

• Xét hàm số $h\left( t \right)$ trên đoạn $\left[ {0;8} \right]$, lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

a) $v\left( t \right) = h'\left( t \right) = {t^2} - 8t + 12$.

b) Xét hàm số $h\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - 4{t^2} + 12t + 1$ trên đoạn $\left[ {0;8} \right]$.

Ta có:

$h'\left( t \right) = {t^2} - 8t + 12;h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 6$ hoặc $t = 2$.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( {0;2} \right)$ và $\left( {6;8} \right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2;6} \right)$.

Vậy chất điểm chuyển động lên trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 2 giây và từ 6 giây đến 8 giây, chất điểm chuyển động đi xuống trong khoảng thời gian từ 2 giây đến 6 giây.

a) Tính $\overrightarrow a - 2\overrightarrow b$ phụ thuộc tham số m sau đó giải từng điều kiện của tọa độ.

b) Tính $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ theo tham số m sau đó giải theo điều kiện đề bài để tìm m.

c) Tính $\left| {\overrightarrow a } \right|$ theo m sau đó giải theo điều kiện của đề để tìm m.

a) Ta có $\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b  = \left( {m - 2; - 1;0} \right)$. Để $\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b  = \left( {3; - 1;0} \right)$ thì $\{\begin{array}{l}m-2=3\\ -1=-1\\ 0=0\end{array}\iff m=5$$\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = 3\\ - 1 =  - 1\\0 = 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow m = 5.

b) Ta có $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = m + 6 + 18 = m + 24$. Để $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = 10$ thì $m + 24 = 10 \Leftrightarrow m =  - 14$

c) Ta có $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{m^2} + {3^3} + {6^2}}  = \sqrt {{m^2} + 45}$.

Để $\left| {\overrightarrow a } \right| = 9$ thì $\sqrt {{m^2} + 45}  = 9 \Leftrightarrow {m^2} + 45 = 81 \Leftrightarrow m =  \pm 6$.

Tính giá trị đại diện

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${S^2}$, được tính bởi công thức:

${S^2} = \frac{1}{n}[{n_1}{({c_1} - \overline x )^2} + {n_2}{({c_2} - \overline x )^2} + ... + {n_k}{({c_k} - \overline x )^2}]$

Trong đó: $n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}$ là cỡ mẫu

$\overline x  = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k})$ là số trung bình

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $S$, là căn bậc hai số học của phương sai.

Cỡ mẫu: n = 100

Số trung bình: $\overline x  = \frac{{13.19,25 + 45.19,75 + 24.20,25 + 12.20,75 + 6.21,25}}{{100}} = 20,015$

Phương sai: ${S^2} = \frac{{13.19,{{25}^2} + 45.19,{{75}^2} + 24.20,{{25}^2} + 12.20,{{75}^2} + 6.21,{{25}^2}}}{{100}} - 20,{015^2} \approx 0,28$

Độ lệch chuẩn: $\sigma  = \sqrt {0,28}  \approx 0,53$