Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 8

Hàm số đồng biến trên khoảng đồ thị đi lên từ trái sang.

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).

Xét dấu đạo hàm y’.

$y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Hàm số là hàm đa thức bậc ba với a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên (-1;1).

Cho hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo f’(x). Tìm các giá trị ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in [a;b]$ sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$. Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\max }\limits_{[a;b]} f(x)$, giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\min }\limits_{[a;b]} f(x)$.

Ta có: $f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x$.

Xét $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x =  - 1\\x = 0\\x = 1\end{array}$ \right.

Ta có f(-1) = -2; f(0) = -1; f(2) = 7.

Vậy M = 7, m = -2. Do đó M + 3m = 7 + 3(-2) = 1.

Dựa vào tiệm cận đứng và giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Tiệm cận đứng của đồ thị là x = 2 nên loại đáp án B.

Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm, giả sử hoành độ là ${x_1} < {x_2}$.

Quan sát đồ thị, ta thấy $- 1 < {x_1} < 0$ và $1 < {x_2} < 2$.

Do đó phương trình y = 0 có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn điều kiện trên.

Thấy chỉ có phương trình ${x^2} - x - 1 = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn.

Vậy đồ thị ở hình vẽ là của hàm số $y = \dfrac{x^{2} - x - 1}{x - 2}$.

Áp dụng quy tắc hình hộp.

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}\).

Vì O là trung điểm của AC’ nên \(\overrightarrow {AO}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right)\).

Tọa độ của điểm M là tọa độ $\overrightarrow{OM}$.

Tọa độ điểm M là (-1; 0; -2).

Với hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$, ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$.

$\overrightarrow {AB} = (4 - 3;2 + 2;3 - 1) = (1;4;2)$.

Áp dụng biểu thức tọa độ nhân vecto với một số: $\overrightarrow u = (a;b;c) \Rightarrow k\overrightarrow u = (ka;kb;kc)$.

$\overrightarrow a = 2\overrightarrow {AB} = \left( {2.1;2.3;2.2} \right) = \left( {2;6;4} \right)$.

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = {x_a}.{x_b} + {y_a}.{y_b} + {z_a}.{z_b}$.

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.2 - 2.( - 4) + 1.( - 2) = 8$.

Điểm A’ đối xứng với A(a;b;c) qua trục Oy có tọa độ (-a;b;-c).

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A, B: $AB = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}}$.

B đối xứng với A qua Oy nên B(5;2;-3).

$AB = \sqrt {{{(5 + 5)}^2} + {{(2 - 2)}^2} + {{( - 3 - 3)}^2}} = 2\sqrt {34}$.

Lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên (chứa mẫu số liệu).

R = 177 - 147 = 30.

+) Phương sai mẫu, kí hiệu là ${{s}^{2}}$, được tính bởi công thức:

$S^2=\frac{1}{n}\left(n_1 x_1^2+n_2 x_2^2+\ldots+n_k x_k^2\right)-\bar{x}$.

trong đó $\mathrm{n}=\mathrm{n}_1+\mathrm{n}_2+\ldots+\mathrm{n}_{\mathrm{k}}$ và $\bar{x}$ là số trung bình mẫu.

+) Độ lệch chuẩn, kí hiệu $s$, là căn bậc hai của phương sai mẫu: $s=\sqrt{{{s}^{2}}}$.

$\frac{{14.5 + 62 + 148.5 + 140 + 92.5 + 58.5}}{{30}} = \frac{{516}}{{30}} = 17,2$ 

$\bar z = \frac{{516}}{{30}} = 17.2$

${s^2} = \frac{1}{{30}}\left[ {1.14,{5^2} + 4.15,{5^2} + 9.16,{5^2} + 8.17,{5^2} + 5.18,{5^2} + 3.19,{5^2}} \right] - 17,{2^2} = \frac{{161}}{{100}}$.

$s = \frac{{\sqrt {161} }}{{100}} \approx 1,27$.

a) Với hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$, ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$.

b) Cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$, $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$. Độ dài vecto $\overrightarrow {AB}$ hay khoảng cách từ A đến B là: $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$.

c) Để tính góc $\alpha$ giữa hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, ta sử dụng công thức:

$\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{x_a}.{x_b} + {y_a}.{y_b} + {z_a}.{z_b}}}{{\sqrt {{x_a}^2 + {y_a}^2 + {z_a}^2} .\sqrt {{x_b}^2 + {y_b}^2 + {z_b}^2} }}$.

d) Áp dụng công thức ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A$.

a) Đúng. $\overrightarrow {AB}  = (4 - 5;2 - 1;3 - 3) = ( - 1;1;0)$, $\overrightarrow {AC}  = (5 - 5;0 - 1;3 - 3) = (0; - 1;0)$.

b) Sai. $AB = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}}  = \sqrt 2$, $AC = \sqrt {{0^2} + {{( - 1)}^2} + {0^2}}  = 1$.

c) Sai. $\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{ - 1.0 + 1.( - 1) + 0.0}}{{\sqrt 2 .1}} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {BAC} = {135^o}$.

d) Đúng. ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.\sqrt 2 .1.\sin {135^o} = \frac{1}{2}$.

Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiếu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${\Delta _Q}$, là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ và tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

a) Sai. Khoảng biến thiên: R = 90 – 10 = 80.

b) Đúng. Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{4} = 150$.

c) Sai. ${Q_3} = 50 + \frac{{\frac{{3.200}}{4} - (18 + 31 + 40 + 48)}}{{50}}.(60 - 50) = 52,6$.

d) Đúng. ${Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{200}}{4} - (18 + 31)}}{{40}}.(40 - 30) = 30,25$.

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 52,6 - 30,25 = 22,35 > 20$.

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên.

Ta có ${C^\prime }(t) = \frac{{0,15\left( {1 - {t^2}} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}},t \ge 0$.

Bảng biến thiên của hàm số $C(t)$ trên $(0; + \infty )$:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất bằng 0,08 mg/$c{m^3}$.

Dựa vào các điểm đồ thị đi qua, lập hệ phương trình, giải để tìm hệ số a, b, c, d của hàm số s(t). Từ đó suy ra hàm số v(t).

Ứng dụng đạo hàm, tìm GTLN của hàm số v(t).

$v(t) = s'(t) = 3a{t^2} + 2bt + c$.

Quan sát hình vẽ, thấy đồ thị hàm số s(t) đi qua các điểm có tọa độ (0;0), (2;12), (4;24) nên ta có s(0) = 0, s(2) = 12, s(4) = 24.

Mặt khác, hàm số đạt cực trị tại x = 4 nên s’(4) = 0.

Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}s(0) = 0\\s(2) = 12\\s(4) = 24\\s'(4) = 0\end{array} \right. \Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}a{.0^3} + b{.0^2} + c.0 + d = 0\\a{.2^3} + b{.2^2} + c.2 + d = 12\\a{.4^3} + b{.4^2} + c.4 + d = 24\\3a{.4^2} + 2b.4 + c = 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{4}\\b = \frac{9}{2}\\c = 0\\d = 0\end{array} \right.$

Suy ra $s(t) = - \frac{3}{4}{t^3} + \frac{9}{2}{t^2}$; $v(t) = - \frac{9}{4}{t^2} + 9t$.

Để tìm vận tốc tối đa thầy An đạt được, ta cần tìm GTLN của hàm số $v(t) = - \frac{9}{4}{t^2} + 9t$.

Ta có $v'(t) = 0 \Leftrightarrow - \frac{9}{2}t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 2$.

Bảng biến thiên:

Vậy tốc độ tối đa thầy An đạt được là 9 km/h.

Vì B, C, H thẳng hàng nên $\overset{\rightarrow}{BH} = t\overset{\rightarrow}{BC}$, từ đó biểu diễn tọa độ điểm H theo t.

Giải $\left. \overset{\rightarrow}{AH}\bot\overset{\rightarrow}{BC}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{AH} \cdot \overset{\rightarrow}{BC} = 0 \right.$ tìm t, từ đó suy ra tọa độ điểm H.

$\overset{\rightarrow}{BC} = (1; - 1;3)$, $\overset{\rightarrow}{BH}(x_{0};y_{0} - 2;z_{0})$.

Vì B, C, H thẳng hàng nên $\overset{\rightarrow}{BH} = t\overset{\rightarrow}{BC}$, $t \in R$. Ta có $\{\begin{array}{l}{x}_0=t\\ y_0-2=-t\\ z_0=3t\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x_{0} = t} \\ {y_{0} - 2 = - t} \\ {z_{0} = 3t} \end{array} \right.$ $\left( {t \in {\mathbb{R}}} \right)$.

$H(t;2 - t;3t) \in BC$. Khi đó: $\overset{\rightarrow}{AH} = (t - 2;2 - t;3t)$.

Mà H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC nên:

$\left. \overset{\rightarrow}{AH}\bot\overset{\rightarrow}{BC}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{AH} \cdot \overset{\rightarrow}{BC} = 0\Leftrightarrow t - 2 - 2 + t + 9t = 0\Leftrightarrow t = \dfrac{4}{11} \right.$.

$\left. \Rightarrow H\left( {\dfrac{4}{11};\dfrac{18}{11};\dfrac{12}{11}} \right)\Rightarrow x_{0} + y_{0} + z_{0} = \dfrac{34}{11} \approx 3,09 \right.$.

Gọi C(x; y; z) là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.

Giải phương trình $\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{BC}$ tìm tọa độ C.

Gọi C(x; y; z) là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.

$\overset{\rightarrow}{AB} = (100;50;5)$, $\overset{\rightarrow}{BC} = (x - 200;y - 100;z - 10)$.

Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{BC}$ cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ A đến B bằng thời gian bay từ B đến C nên $\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{BC}$.

Suy ra $\left. \overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{BC}\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {100 = x - 200} \\ {50 = y - 100} \\ {5 = z - 10} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {x = 300} \\ {y = 150} \\ {z = 15} \end{array} \right.$Rightarrow C(300;150;15) \right..

Tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là C(300; 150; 15).

Vậy x + y + z = 300 + 150 + 15 = 465.

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Xét sự biến thiên của hàm số.

- Vẽ đồ thị hàm số.

1) TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\}$.

2) Sự biến thiên:

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  - \infty$. Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - 2$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - 2$. Do đó, đường thẳng y = -2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đạo hàm: $y' = \frac{{10}}{{{{( - x + 2)}^2}}} > 0$, với mọi $x \ne 2$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$, $\left( {2; + \infty } \right)$.

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;3).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (-3;0).

- Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0;3), (-3;0), (4;-7) và (7;-4).

- Đồ thị hàm số nhận giao điểm (2;-2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị $y = \frac{{2x + 6}}{{ - x + 2}}$ như hình:

Áp dụng tính chất phân phối của vecto.

Để tính tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ trong không gian, ta áp dụng công thức:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Ta có $\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) . \overrightarrow {BC}$

$= \overrightarrow {AB}  . \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  . \left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \overrightarrow {AB}  . \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  . \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD}  . \overrightarrow {AB}$

$= a . a . \cos {120^ \circ } + a . a . \cos {60^ \circ } - a . a . \cos {60^ \circ }$

$=  - \frac{{{a^2}}}{2}$.

‒ Sử dụng công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:

${S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{c_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{c_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{c_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]$

$= \frac{1}{n}\left[ {{n_1}c_1^2 + {n_2}c_2^2 + ... + {n_k}c_k^2} \right] - {\overline x ^2}$.

‒ Sử dụng công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm: $S = \sqrt {{S^2}}$.

Ta có bảng sau:

Cỡ mẫu $n = 9 + 15 + 12 + 4 = 40$.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline x  = \frac{{9.4,95 + 15.5,05 + 12.5,15 + 4.5,25}}{{40}} = \frac{{2031}}{{400}} = 5,0775$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

${S^2} = \frac{1}{{40}}\left( {{{9.4,95}^2} + {{15.5,05}^2} + {{12.5,15}^2} + {{4.5,25}^2}} \right) - {5,0775^2} \approx 0,0085$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S = \sqrt {0,0085}  \approx 0,09$.