Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 6

Dựa vào đồ thị hàm số, chỉ ra sự biến thiên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên $(0;1)$.

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$.

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy giá trị lớn nhất của f(x) trên [-2;4] là f(-1) = 10.

Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của các đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -2 và tiệm cận ngang y = 3, suy ra tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận có tọa độ (-2;3).

Quan sát bảng xét dấu và nhận xét.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (2;3) vì trên khoảng đó, f’(x) > 0.

Nếu a // b thì (a,c) = (b,c).

$\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD'} } \right) = \left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {CD'} } \right) = {180^o} - \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CD'} } \right) = {180^o} - {45^o} = {135^o}$.

Hình chiếu vuông góc của điểm (x; y; z) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là (x; y; 0).

Hình chiếu vuông góc của điểm (3; 5; 2) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là (3; 5; 0).

$\overrightarrow a = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j + p\overrightarrow k = \left( {m;n;p} \right)$.

$\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k = \left( { - 1;2;3} \right)$.

$\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})$.

$\overrightarrow {AB} = (3 + 2; - 2 - 1;1 - 0) = (5; - 3;1)$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$, $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$, $C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)$.

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$.

Trọng tâm tam giác là $G\left( {\frac{{0 + 1 + 2}}{3};\frac{{0 + 2 + 4}}{3};\frac{{0 - 1 + 1}}{3}} \right) \Rightarrow G(1;2;0)$.

Lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên (chứa mẫu số liệu).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R = 7,546 - 5,901 = 1,645$.

Lập bảng tần số theo giá trị đại diện, tính số trung bình rồi tính phương sai.

Số trung bình: $\overline {\rm{x}} = \frac{{3.2,85 + 6.3,15 + 5.3,45 + 4.3,75 + 2.4,05}}{{20}} = 3,39$.

Phương sai: ${s^2} = \frac{{3.2,{{85}^2} + 6.3,{{15}^2} + 5.3,{{45}^2} + 4.3,{{75}^2} + 2.4,{{05}^2}}}{{20}} - 3,{39^2} = 0,1314$.

a) $\overrightarrow a = (x;y;z) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}}$.

b) Cho $\overrightarrow a ({x_a};{y_a};{z_a})$, $\overrightarrow b ({x_b};{y_b};{z_b})$ và số thực k.

+ $\overrightarrow a + \overrightarrow b = ({x_a} + {x_b};{y_a} + {y_b};{z_a} + {z_b})$.

+ $\overrightarrow a - \overrightarrow b = ({x_a} - {x_b};{y_a} - {y_b};{z_a} - {z_b})$.

+ $k\overrightarrow a = (k{x_a};k{y_a};k{z_a})$.

c) Nếu $\overrightarrow a$ cùng phương với $\overrightarrow b$ thì $\overrightarrow a = k\overrightarrow b$.

d) $\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{x_a}.{x_b} + {y_a}.{y_b} + {z_a}.{z_b}}}{{\sqrt {{x_a}^2 + {y_a}^2 + {z_a}^2} .\sqrt {{x_b}^2 + {y_b}^2 + {z_b}^2} }}$.

a) Đúng. $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6$.

b) Sai. $\overrightarrow u = \left( { - 2.( - 2) + 3.2; - 2.1 + 3.( - 1); - 2.1 + 3.1} \right) = \left( {10; - 5;1} \right)$.

c) Sai. $\overrightarrow c$ cùng phương với $\overrightarrow b$ khi $\overrightarrow c = k\overrightarrow b \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x = 2k\\1 = - k\\y = k\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}k = - 1\\x = - 2\\y = - 1\end{array} \right.$ \Rightarrow x + y = - 3.

d) Đúng. $\cos \varphi = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 2.2 + 1.( - 1) + 1.1}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = - \frac{2}{3}$.

Lập bảng tần số ghép nhóm từ biểu đồ. Áp dụng công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Đúng. Số thửa ruộng được khảo sát là: n = 3 + 4 + 6 + 5 + 5 + 2 = 25.

b) Đúng. Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu như sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là: R = 6,7 – 5,5 = 1,2 (tấn/ha).

c) Sai. Ta có:

Cỡ mẫu n = 25.

Gọi ${x_1};...;{x_{25}}$ là mẫu số liệu gốc về năng suất của một số thửa ruộng được khảo sát được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2} \in$ [5,7; 5,9). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 5,7 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 3}}{4}\left( {5,9 - 5,7} \right) = 5,8625$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{19}} + {x_{20}}}}{2} \in$ [6,3; 6,5). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 6,3 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - \left( {3 + 4 + 6 + 5} \right)}}{5}\left( {6,5 - 6,3} \right) = 6,33$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 6,33 - 5,8625 = 0,4675$.

d) Đúng. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

$\overline x = \frac{{3.5,6 + 4.5,8 + 6.6,2 + 5.6,4 + 2.6,6}}{{25}} = 6,088$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${S^2} = \frac{1}{{25}}\left[ {3.{{\left( {5,6} \right)}^2} + 4.{{\left( {5,8} \right)}^2} + 6.{{\left( {6,0} \right)}^2} + 5.{{\left( {6,2} \right)}^2} + 5.{{\left( {6,4} \right)}^2} + 2.{{\left( {6,6} \right)}^2}} \right] - {\left( {6,088} \right)^2} = 0,086656$.

Tìm 4 điểm đồ thị đi qua, thay tọa độ vào hàm số, giải hệ tìm các hệ số a, b, c, d.

Do đồ thị đi qua 4 điểm (-1; 0), (0; 4), (1; 2), (2; 0) nên ta có hệ phương trình:

$\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {- a + b - c + d = 0} \\ \begin{array}{l} {d = 4} \\ {a + b + c + d = 2} \\ {8a + 4b + 2c + d = 0} \end{array} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {a = 1} \\ {b = - 3} \\ {c = 0} \\ {d = 4} \end{array} \right.$ \right.. Suy ra T = 11.

Lập hàm số biểu diễn lợi nhuận của doanh nghiệp theo x.

Tìm x sao cho hàm số đạt GTLN bằng cách sử dụng đạo hàm.

Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí.

Lợi nhuận khi bán x chiếc máy tính bảng là:

$L(x) = x.p(x) - x.c(x)$

$= x.\left( {4000 - 10x} \right) - x.\left( {{x^2} - 70x + 400 + \frac{{1000}}{x}} \right)$

$= 4000x - 10{x^2} - {x^3} + 70{x^2} - 400x - 1000$

$= - {x^3} + 60{x^2} + 3600x - 1000$.

Ta có $L'(x) = - 3{x^2} + 120x + 3600 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 60\\x = - 20\end{array}$ \right.

Xét trên đoạn [1;200], ta có:

L(1) = 2659; L(60) = 215000; L(200) = -4881000.

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi doanh nghiệp bán 60 máy tính.

Áp dụng tính chất trọng tâm của vecto và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.

Theo giả thiết ta có O.ABC là hình chóp đều với OA = OB = OC = 60 và góc tạo bởi mỗi đường thẳng OA, OB, OC với (ABC) là $30^{o}$.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì $OG\bot(ABC)$ và $\widehat{OAG} = \widehat{OBG} = \widehat{OCG} = 30^{o}$.

Gọi T là trọng lượng của đèn tròn thì $T = \left| {\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{OB} + \overset{\rightarrow}{OC}} \right| = \left| {3\overset{\rightarrow}{OG}} \right| = 3OG$.

Trong tam giác OAG vuông tại G, ta có:

$OG = OA\sin\widehat{OAG} = 60\sin 30^{o} = 30$.

Vậy trọng lượng của đèn là T = 3.30 = 90 (N).

Áp dụng định nghĩa vecto bằng nhau.

Giả sử căn phòng hình hộp chữ nhật được mô phỏng như hình vẽ.

Khi đó ta có B'(6; 8; 3) và O'(0; 0; 3).

Gọi I(x; y; z) là điểm chính giữa trần nhà của phòng học.

Vì O'A'B'C' là hình chữ nhật nên $\overset{\rightarrow}{O^{\prime}I} = \overset{\rightarrow}{IB^{\prime}}$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{O'I} = \left( {x - 0;y - 0;z - 3} \right)$), $\overset{\rightarrow}{IB'} = \left( {6 - x;8 - y;3 - z} \right)$ nên:

$\left. \overset{\rightarrow}{O^{\prime}I} = \overset{\rightarrow}{IB^{\prime}}\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {x - 0 = 6 - x} \\ {y - 0 = 8 - y} \\ {z - 3 = 3 - z} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {x = 3} \\ {y = 4} \\ {z = 3} \end{array} \right.$ \right.

Vậy tọa độ điểm treo đèn là I(3; 4; 3) $\Rightarrow$ x + y + z = 3 + 4 + 3 = 10.

a) Tìm tập xác định, xét dấu đạo hàm.

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $y = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}$ trên $\left( { - 1;1} \right]$.

a) Tập xác định: $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  - 2$ hoặc $x = 0$.

Ta có bảng biến thiên:

b) Đặt $x = \cos \alpha$, ta có $M = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}},x \in \left( { - 1;1} \right]$.

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\min M = \mathop {\min }\limits_{\left( { - 1;1} \right]} \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} = 0$ và $\max M = \mathop {\max }\limits_{\left( { - 1;1} \right]} \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} = y\left( 1 \right) = \frac{1}{2}$.

a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính:

Nếu $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$ thì $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$.

b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính:

Nếu $\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)$ là hai vectơ khác $\overrightarrow 0$ thì $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{xx' + yy' + zz'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} }}$.

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5$;

$\overrightarrow {AC} \left( { - 2;3;6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + {6^2}}  = 7$.

$\overrightarrow {BC}  = ( - 5;7;6) \Rightarrow BC = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {7^2} + {6^2}}  = \sqrt {110}$.

Chu vi tam giác ABC là: $5 + 7 + \sqrt {110}  = 12 + \sqrt {110}$.

b) $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3.\left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right).3 + 0.6}}{{5.7}} = \frac{{ - 18}}{{35}}$.

$\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) \approx 121^o$.

Vậy $\widehat {BAC} = 121^o$.

‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: $R = {a_{m + 1}} - {a_1}$.

‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Tứ phân vị thứ $k$ được xác định như sau: ${Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)$

trong đó:

• $n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}$ là cỡ mẫu;

• $\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ $k$;

• ${n_m}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ $k$;

• $C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}$.

‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1}$.

a) Bảng tần số ghép nhóm:

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: $R = 100 - 60 = 40$ (g).

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{80}}$ là mẫu số liệu gốc gồm cân nặng của 80 con tôm càng xanh 5 tháng tuổi theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{20}} + {x_{21}}} \right) \in \left[ {70;80} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} = 70 + \frac{{\frac{{1.80}}{4} - 10}}{{20}}\left( {80 - 70} \right) = 75$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{60}} + {x_{61}}} \right) \in \left[ {90;100} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_3} = 90 + \frac{{\frac{{3.80}}{4} - \left( {10 + 20 + 30} \right)}}{{20}}\left( {100 - 90} \right) = 90$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 90 - 75 = 15$ (g).