Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025 - 2026 trường THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng nếu hiệu của hai số hạng liên tiếp là một số không đổi $d = {u_{n + 1}} - {u_n}$ (với $d$ là công sai).

Dãy số ở đáp án D là cấp số cộng với công sai d = 3.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm nếu ${u_{n + 1}} < {u_n}$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$.

Xét dãy số ở đáp án B, mỗi số hạng sau đều nhỏ hơn số hạng liền trước nó, do đó đây là dãy số giảm.

Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) khi đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải trên khoảng đó.

Quan sát đồ thị, thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

Kiểm tra tính chất của hàm số $y = \cos x$: tập xác định, tính chẵn/lẻ, chu kỳ và tập giá trị.

A. Đúng: Tập xác định của hàm số $y = \cos x$ là $D = \mathbb{R}$.

B. Sai: Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn vì $\cos \left( { - x} \right) = \cos x$, không phải hàm số lẻ.

C. Đúng: Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$.

D. Đúng: Tập giá trị của hàm số là $\left[ { - 1;1} \right]$.

Sử dụng công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác:

$\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Ta có: $$\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi$$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Nhóm số liệu $\left[ {a;b} \right)$ chứa tất cả các giá trị $x$ sao cho $a \le x < b$.

Học sinh có chiều cao 170 cm ứng với x = 170. Do đó, học sinh có chiều cao 170 cm được xếp vào nhóm [170; 175).

Trong cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, công bội $q$ được tính theo công thức: $q = \frac{{{u_{{\rm{n}} + 1}}}}{{{u_{\rm{n}}}}}$.

Thay ${u_1} = 2$ và ${u_2} = 6$ vào công thức: $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{6}{2} = 3$.

Phương pháp giải: Hàm số $y = \cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}$ xác định khi và chỉ khi mẫu số $\sin x \ne 0$.

Tập xác định của hàm số $y = \cot x$ là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho cosin:

$\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]$.

Áp dụng trực tiếp công thức lượng giác cơ bản, mệnh đề đúng là phương án B.

Số đo của góc lượng giác $\left( {Ou,Ov} \right)$ xác định hướng quay từ tia đầu $Ou$ đến tia cuối $Ov$:

Quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ mang dấu dương (+).

Quay theo chiều cùng chiều kim đồng hồ mang dấu âm (-).

Hình vẽ thể hiện góc quay xuất phát từ tia $Ou$ đến tia $Ov$ theo chiều cùng chiều kim đồng hồ (chiều âm) một góc đúng bằng độ lớn góc hình học $\widehat {uOv} = {40^o}$.

Do đó, số đo góc lượng giác $\left( {Ou,Ov} \right) = - {40^o}$.

Tính cỡ mẫu.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ ứng với giá trị nằm ở vị trí thứ $\frac{{3n}}{4}$.

Lập bảng tần số tích lũy để xác định nhóm chứa ${Q_3}$.

Cỡ mẫu $n = 8 + 22 + 35 + 15 = 80$.

${Q_3}$ là số liệu thứ $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.80}}{4} = 60$.

Tần số tích lũy $c{f_i}$ của từng nhóm:

Nhóm 1 $\left[ {2;3,5} \right)$: $c{f_1} = 8$.

Nhóm 2 $\left[ {3,5;5} \right)$: $c{f_2} = 8 + 22 = 30$.

Nhóm 3 $\left[ {5;6,5} \right)$: $c{f_3} = 30 + 35 = 65$.

Vì $30 < 60 \le 65$ nên giá trị ở vị trí thứ $60$ thuộc nhóm $\left[ {5;6,5} \right)$.

Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {a;b} \right)$ được tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút: ${x_i} = \frac{{a + b}}{2}$.

Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {20;40} \right)$ là: $x = \frac{{20 + 40}}{2} = 30$.

Dãy số được cho bởi dạng truy hồi ${u_1} = 2$, ${u_{n + 1}} = - 3{u_n}$.

Đây là một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và công bội $q = - 3$.

Số hạng tổng quát: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$.

a) Đúng. ${u_8} = {u_1}.{q^7} = 2.{\left( { - 3} \right)^7} = - 4374$.

b) Sai. Xét vài số hạng đầu: ${u_1} = 2$, ${u_2} = - 6$, ${u_3} = 18$, ${u_4} = - 54$.

Các số hạng đan dấu nên dãy số không tăng cũng không giảm.

c) Sai. ${u_2} = {u_1}.q = 2.\left( { - 3} \right) = - 6$.

d) Đúng. Theo định nghĩa cấp số nhân, từ ${u_{n + 1}} = - 3{u_n}$ ta có tỉ số $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = - 3$ với mọi $n \ge 1$. Do đó công bội $q = - 3$.

Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, hệ thức biến đổi và xét dấu theo góc phần tư II ($\frac{\pi }{2} < a < \pi$):

${\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1 \Leftrightarrow \cos a = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}a}$ (vì trong góc phần tư II, $\cos a < 0$).

$\sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) = \cos a$.

$\sin 2a = 2\sin a\cos a$.

$\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$.

Vì $\frac{\pi }{2} < a < \pi$ nên $\cos a < 0$.

$\cos a = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} = - \frac{3}{5}$.

a) Đúng. Ta có $\sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) = \cos a = - \frac{3}{5} < 0$.

b) Sai. $\cos a = - \frac{3}{5}$.

c) Đúng. $\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2.\left( {\frac{4}{5}} \right).\left( { - \frac{3}{5}} \right) = - \frac{{24}}{{25}}$.

d) Đúng. $\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos a\cos \frac{\pi }{6} - \sin a\sin \frac{\pi }{6}$

$= \left( { - \frac{3}{5}} \right) \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( {\frac{4}{5}} \right) \cdot \frac{1}{2} = - \frac{{4 + 3\sqrt 3 }}{{10}}$.

Sử dụng tập giá trị của hàm số lượng giác: $- 1 \le \sin \alpha \le 1$.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = 4\sin \frac{{\pi \left( {t - 60} \right)}}{{178}} + 10$.

Vì $- 1 \le \sin \frac{{\pi \left( {t - 60} \right)}}{{178}} \le 1$ nên: $y \le 4 . 1 + 10 = 14$.

Vậy $m = 14$.

Xác định giá trị đại diện ${x_i} = \frac{{{a_i} + {b_i}}}{2}$ cho từng nhóm $\left[ {{a_i};{b_i}} \right)$.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức $\bar x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + \ldots + {n_k}{x_k}}}{N}$ với $N$ là tổng số học sinh.

Cỡ mẫu N = 4 + 13 + 38 + 27 + 14 + 4 = 100.

Thời gian trung bình hoàn thành bài kiểm tra:

$\bar x = \frac{{4.34 + 13.36 + 38.38 + 27.40 + 14.42 + 4.44}}{{100}} \approx 38,9$.

Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn.

Vì có 5 cánh hoa xếp đều quanh tâm O, các tâm I tạo thành một ngũ giác đều. Góc giữa hai tâm liên tiếp là $\frac{{{{360}^o}}}{5} = {72^o}$.

Điểm giao M nằm chính giữa hai tâm I liên tiếp, do đó: $\widehat {IOM} = \frac{{{{72}^o}}}{2} = {36^o}$.

Xét tam giác OIM:

$IM = \sqrt {O{I^2} + O{M^2} - 2.OI.OM.\cos \widehat {IOM}}$

$= \sqrt {{{45}^2} + {{40}^2} - 2.45.40.\cos {{36}^o}} \approx 26,69$ (cm).

$\cos \widehat {OIM} = \frac{{O{I^2} + I{M^2} - O{M^2}}}{{2.OI.IM}} = \frac{{{{45}^2} + {a^2} - {{40}^2}}}{{2.45.a}} \approx 0,47$.

Do đó $\widehat {OIM} \approx 61,{74^o}$.

Xét đường tròn tâm I, góc ở tâm của cung MM’ lớn là:

$\alpha = {360^o} - 2.61,{74^o} = 236,{52^o}$.

Độ dài cung MM’ lớn là: $L = \frac{{\pi .26,69.236,{{52}^o}}}{{{{180}^o}}} \approx 110,16$ (cm).

Chiều dài dây kim tuyến cần mua là $5L \approx 550,8$ (cm) hay khoảng 5,51 (m).

Xác định số ngày để dành tiền từ 25/2/2025 đến 2/3/2025. Số tiền tiết kiệm mỗi ngày lập thành một cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = a$ và công bội $q = 3$.

Tổng số tiền tiết kiệm sau $n$ ngày là tổng của cấp số nhân: ${S_n} = {u_1}.\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}$.

Tèo để dành tiền 25/2/2025 đến 2/3/2025, tổng cộng trong vòng 6 ngày.

Số tiền để dành ở ngày đầu tiên là ${u_1} = a$.

Các ngày tiếp theo, mỗi ngày gấp 3 lần ngày hôm trước $\Rightarrow q = 3$.

Tổng số tiền Tèo để dành được sau 6 ngày là:

${S_6} = a.\frac{{{3^6} - 1}}{{3 - 1}} = a.\frac{{729 - 1}}{2} = 364a$.

Ta có: $364a = 546000 \Leftrightarrow a = \frac{{546000}}{{364}} = 1500$.

Nếu cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$ và công sai d thì số hạng tổng quát ${u_n}$ của nó được xác định theo công thức: ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$.

a) Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng trên.

-2,3;8;13… lập thành CSC với ${u_1} = - 2,d = 5$.

${u_n} = - 2 + \left( {n - 1} \right)5 = 5n - 7$.

b) Số $68$ là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên.

${u_n} = 68 \Leftrightarrow 5n - 7 = 68 \Leftrightarrow n = 15$.

Vậy 68 là số hạng thứ 15 của CSC trên.

Công thức nghiệm của phương trình cosx = m:

TH1: $\left| m \right| > 1$: Phương trình vô nghiệm.

TH2: $\left| m \right| \le 1$: $\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - a + k2\pi \end{array}$ \right. $(k \in \mathbb{Z})$.

Nếu m không thể biểu diễn được dưới dạng cos của các góc đặc biệt thì:

$\cos x = m \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = \arccos m + k2\pi \\x = - \arccos m + k2\pi \end{array}$ \right. $(k \in \mathbb{Z})$.

$2\cos \left( {x - {{30}^0}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x - {{30}^0}} \right) = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {x - {{30}^o}} \right) = \cos {120^o}$

$\Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x - {30^o} = {120^o} + k{360^o}\\x - {30^o} = - {120^o} + k{360^o}\end{array}$ \right.

$\Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = {150^o} + k{360^o}\\x = - {90^o} + k{360^o}\end{array}$ \right.,k \in \mathbb{Z}.

Giải phương trình $x = 2{\rm{cos}}\left( {3t - \frac{\pi }{4}} \right) = 0$.

$x = 2{\rm{cos}}\left( {3t - \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {3t - \frac{\pi }{4}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 3t - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}$.

$0 < t = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{3} \le 2025 \Leftrightarrow - \frac{3}{4} < k \le 1932,98$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$k \in \left\{ {0;1;2;...;1932} \right\}$.

Vậy 2025 giây đầu tiên vật đi qua vị trí cân bằng 1933 lần.

Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

$n = 44 \Rightarrow {Q_2}$ thuộc nhóm 3.

${Q_2} = 4 + \frac{{\frac{{44}}{2} - \left( {1 + 5} \right)}}{{22}}.2 \approx 5,45$.

Vậy $50{\rm{\% }}$ học sinh trong lớp có điểm từ 5,45 trở lên.