Đề GK1 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường TH&THCS Phúc Sơn 1 – Bắc Ninh

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ là hệ thức dạng $ax + by = c$, trong đó $a,b,c$ là các số đã biết

và $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$ (tức là $a^{2} + b^{2} \neq 0$).

Phương án B có $a = 0$ và $b = 0$ ($0x - 0y = 5$), nên đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng.

- Ngoài ra, ta có thể thay tọa độ $(x;y)$ của từng đáp án vào hệ phương trình $\{\begin{array}{l}2x-y=-5\\ x-y=-3\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2x - y = - 5} \\ {x - y = - 3} \end{array} \right.$.

Cặp số nào thỏa mãn cả hai phương trình thì đó là nghiệm.

Thay $x = - 2,y = 1$ vào hệ:$\{\begin{array}{l}2(-2)-1=-5\text{(d}\acute{\text{u}}\text{ng)}\\ -2-1=-3\text{(d}\acute{\text{u}}\text{ng)}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2( - 2) - 1 = - 5\quad\text{(dúng)}} \\ {- 2 - 1 = - 3\quad\text{(dúng)}} \end{array} \right.$

Vậy $( - 2;\, 1)$ là một cặp nghiệm của hệ phương trình.

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ là hệ gồm hai phương trình dạng bậc nhất hai ẩn (không chứa số mũ lớn hơn $1$ hay tích các ẩn).

Các phương án A và D chứa $y^{2},x^{2}$ không phải bậc nhất.

Phương án B chứa $0x + 0y = - 0,4$ không phải phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương án C gồm hai phương trình đều có dạng $ax + by = c$ với hệ số không đồng thời bằng $0$.

Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {a_{1}x + b_{1}y = c_{1}} \\ {a_{2}x + b_{2}y = c_{2}} \end{array} \right.$ ($a_{2},b_{2},c_{2} \neq 0$).

Hệ có nghiệm duy nhất khi $\dfrac{a_{1}}{a_{2}} \neq \dfrac{b_{1}}{b_{2}}$.

Xét phương án A: $\dfrac{a_{1}}{a_{2}} = \dfrac{3}{1} = 3$ và $\dfrac{b_{1}}{b_{2}} = \dfrac{- 2}{- 4} = \dfrac{1}{2}$.

Vì $\dfrac{3}{1} \neq \dfrac{1}{2}$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với $\sin$ góc đối hoặc nhân với $\cos$ góc kề.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh huyền $BC = a$, cạnh góc vuông $AC = b$, góc đối của $AC$ là góc $B$.

Do đó: $b = a \cdot \sin B$.

Chuyển phương trình về dạng tổng quát $ax + by = c$ để xác định các hệ số $a, b, c$.

Ta có: $x - y = - 5$

Hay $1.x + ( - 1).y = - 5$

Vậy các hệ số là $a = 1; b = - 1; c = - 5$.

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu là tất cả các mẫu thức phải khác $0$.

Điều kiện xác định của phương trình là:

$x + 2 \neq 0$ và $x - 3 \neq 0$

Hay $x \neq - 2$ và $x \neq 3$

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Ta có hình vẽ sau:

Gọi chiều cao của cột đèn là $AB$ (m) ($AB > 0$)$$

Khi đó, bóng của cột đèn trên mặt đất là $AC = 7,5$ m và góc tạo bởi các tia nắng mặt trời với mặt đất là $\widehat{ACB} = 42{^\circ}$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\tan\widehat{ACB} = \dfrac{AB}{AC}$ (tỉ số lượng giác)

Hay $\tan 42{^\circ} = \dfrac{AB}{7,5}$

Suy ra $AB = \tan 42{^\circ}.7,5 \approx 6,75$ (m)

Vậy chiều cao của cột đèn khoảng 6,75 m.

Thay $x = 2$ vào từng phương trình ở các đáp án, phương trình nào cho vế trái bằng $0$ (thỏa mãn) thì $x = 2$ là nghiệm.

Thay $x = 2$ vào phương trình $x\left( {x\, - \, 2} \right)$ ta thấy:

VT = $x\left( {x\, - \, 2} \right) = 0.(0 - 2) = 0$ = VP

Vậy $x\, = \, 2$ là nghiệm của phương trình $x\left( {x\, - \, 2} \right)\, = \, 0.$

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Ta có: $\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ x+2y=5\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2x - y = 5} \\ {x + 2y = 5} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}4x-2y=10\text{ (1)}\\ x+2y=5\text{ (2)}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {4x - 2y = 10\text{~~~(1)}} \\ {x + 2y = 5\text{~~~~~~~(2)}} \end{array} \right.$

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

$\begin{array}{l}(4x-2y)+(x+2y)=10+5\\ 4x-2y+x+2y=15\\ 5x=15\end{array}$$\begin{array}{l} {(4x - 2y) + (x + 2y) = 10 + 5} \\ {4x - 2y + x + 2y = 15} \\ {5x = 15} \end{array}$

$x = 3$

Thay $x = 3$ vào phương trình (2) ta được:

$3 + 2y = 5$

$\begin{array}{l}2y=2\\ y=1\end{array}$$\begin{array}{l} {2y = 2} \\ {y = 1} \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x;y) = (3;1)$.

Giải hệ phương trình tìm nghiệm $(x_{0};y_{0})$.

Thay $x_{0},y_{0}$ vào biểu thức $x_{0} - 2025y_{0}$ để tính giá trị.

Ta có $\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ x+y=2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2x - y = 1} \\ {x + y = 2} \end{array} \right.$

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

$\begin{array}{l}(2x-y)+(x+y)=1+2\\ 3x=3\\ x=1\end{array}$$\begin{array}{l} {(2x - y) + (x + y) = 1 + 2} \\ {3x = 3} \\ {x = 1} \end{array}$

Thay $x = 1$ vào phương trình thứ hai ta được:

$\begin{array}{l}1+y=2\\ y=1\end{array}$$\begin{array}{l} {1 + y = 2} \\ {y = 1} \end{array}$

Suy ra $(x_{0};\, y_{0}) = (1;1)$

Khi đó, $x_{0} - 2025y_{0} = 1 - 2025.1 = - 2024$

Sử dụng tính chất đường tròn: Bất kỳ đường thẳng nào đi qua tâm đều là trục đối xứng của đường tròn, do đó đường tròn có vô số trục đối xứng.

Khẳng định D "Đường tròn có duy nhất một trục đối xứng" là phát biểu sai.

So sánh khoảng cách giữa hai tâm $d = O_{1}O_{2}$ với tổng hai bán kính $R_{1} + R_{2}$

Ta có $R_{1} = 4\text{~cm},R_{2} = 10\text{~cm}$ suy ra $R_{1} + R_{2} = 14\text{~cm}$.

Vì $O_{1}O_{2} = 14\text{~cm} = R_{1} + R_{2}$ nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

Áp dụng tính chất của bất đẳng thức (nhân/chia hai vế cho số âm thì phải đổi chiều bất đẳng thức).

Ta có: $a < b$

$- 3a > - 3b$

$6 - 3a > 6 - 3b$

Do đó khẳng định $6 - 3a < 6 - 3b$ là sai

Trong tam giác vuông, $\cos$ của một góc nhọn bằng tỷ số giữa cạnh kề và cạnh huyền

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác $MNP$ vuông tại $M$, ta có:

$\cos N = \dfrac{MN}{NP}$

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với $\tan$ góc đối hoặc nhân với $\cot$ góc kề.

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AB = AC.\tan C.$

Nếu hai góc phụ nhau (có tổng bằng $90^{{^\circ}}$) thì $\sin$ góc này bằng $\cos$ góc kia, $\tan$ góc này bằng $\cot$ góc kia.

Phương án B, khẳng định $\sin B = \cos B$ là sai, chỉ đúng khi $\widehat{B} = 45{^\circ}$.

Áp dụng định lý về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau ($\alpha + \beta = 90^{{^\circ}}$).

$\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau ta có:

$\sin\alpha = \cos\beta$ và $\cos\alpha = \sin\beta$

Trong tam giác $AHB$ vuông tại $H$, tính tỉ số $\dfrac{HA}{BA}$ đối với góc $B = \alpha$.

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác $AHB$ vuông tại $H$ ta có:

$\sin B = \dfrac{HA}{BA}$ hay $\sin\alpha = \dfrac{HA}{BA}$

Áp dụng định nghĩa tỉ số lượng giác $\sin$ bằng tỉ số cạnh đối trên cạnh huyền.

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\sin B = \dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}$

1)

a) Giải phương trình tích $A \cdot B = 0$

$A = 0$ hoặc $B = 0$.

b) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình thu được và đối chiếu với ĐKXĐ.

2) Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng.

1)

a) $\left( {5 - x} \right)\left( {3x + 12} \right) = 0$

$5 - x = 0$ hoặc $3x + 12 = 0$

+) $5 - x = 0$

$x = 5$

+) $3x + 12 = 0$

$3x = - 12$

$x = - 4$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 5$ và $x = - 4$

b) $\dfrac{16}{x^{2} - 4} + \dfrac{x + 2}{x - 2} = \dfrac{x - 2}{x + 2}$ ĐKXĐ $x \neq - 2$ và $x \neq 2$

$\dfrac{16}{(x - 2)(x + 2)} + \dfrac{{(x + 2)}^{2}}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{{(x - 2)}^{2}}{(x + 2)(x - 2)}$

$16 + x^{2} + 4x + 4 = x^{2} - 4x + 4$

$8x = - 16$

$x = - 2$ (không thỏa mãn đk)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2) Ta có: $\{\begin{array}{l}x+3y=-1(1)\\ 2x-3y=7(2)\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + 3y = - 1\ \ (1)} \\ {2x - 3y = 7\ \ (2)} \end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình ta được $3x = 6$ hay $x = 2$

thế vào $x = 2$ vào phương trình (1) của hệ ta được $2 + 3y = - 1$ hay $3y = - 3$

suy ra $y = - 1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(x;y) = \left( {2; - 1)} \right.$.

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Bước 2: Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ các dữ kiện của bài toán.

Bước 3: Giải hệ phương trình và kết luận.

Gọi số học sinh 2 lớp 9A và 9B lần lượt là $x; y$ (học sinh) ($0 < x, y < 80; x,y \in {\mathbb{Z}}$)

Vì tổng số học sinh của 2 lớp là 80 học sinh nên ta có PT: $~x + y = 80$ (1)

Số sách lớp 9A quyên góp được là $2x$ (quyển )

Số sách lớp 9B quyên góp được là $3x$ (quyển )

Theo bài ra ta có PT: $2x + 3y = 198$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+y=80\\ 2x+3y=198\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 80} \\ {2x + 3y = 198} \end{array} \right.$

Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm là

\(\left\{ \begin{array}{l} {x = 42} \\ {y = 38\mspace{6mu}} \end{array} \right.\)

Nhận thấy x = 42; y = 38 đều thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy số HS của 2 lớp 9A, 9B lần lượt là 42; 38 học sinh

a) Sử dụng tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng $90^{{^\circ}}$ và các hệ thức lượng/tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

b) Chứng minh tam giác bằng nhau để chứng minh hai tích cùng bằng $AH^{2}$.

a) Ta có $\bigtriangleup ABC$ vuông tại A nên $\widehat{C} + \widehat{B} = 90^{0}$ hay $37^{0} + \widehat{B} = 90^{0}$ suy ra $\widehat{B} = 53^{0}$

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC ta được:

$AB = 16.\sin 37^{0} \approx 9,63(cm)$

$AC = 16.\sin 53^{0} \approx 12,78(cm)$

Vậy $\widehat{B} = 53^{0}$; $AB \approx 9,63$ cm; $AC \approx 12,78$ cm.

b) Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AEH$ ta có:

$\widehat{AHB} = \widehat{AEH} = 90{^\circ}$

$\widehat{BAH}$ chung

Do đó $\Delta AHB \backsim \Delta AEH$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{AB}{AH} = \dfrac{AH}{AE}$ (hai cạnh tương ứng)

hay $AB.AE = AH^{2}$ (1)

Xét $\Delta AHC$ và $\Delta AFH$ ta có:

$\widehat{AHC} = \widehat{AFH} = 90{^\circ}$

$\widehat{CAH}$ chung

Do đó $\Delta AHC \backsim \Delta AFH$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{AC}{AH} = \dfrac{AH}{AF}$ (hai cạnh tương ứng)

hay $AC.AF = AH^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $AE.AB = AF.AC$ (đpcm)

Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dựa trên định luật bảo toàn nguyên tố (số nguyên tử của mỗi nguyên tố ở hai vế phải bằng nhau).

Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Fe và O ta có

$\{\begin{array}{c}3x=2y\\ 4x+2=3y\end{array}$$\left\{ \begin{matrix} {3x = 2y} \\ {4x + 2 = 3y} \end{matrix} \right.$ hay $\{\begin{array}{c}3x-2y=0\\ 4x-3y=-2\end{array}$$\left\{ \begin{matrix} {3x - 2y = 0} \\ {4x - 3y = - 2} \end{matrix} \right.$ ;

Giải hệ phương trình ta tìm được: $\{\begin{array}{c}x=4\\ y=6\end{array}$$\left\{ \begin{matrix} {x = 4} \\ {y = 6} \end{matrix} \right.$

Vậy ta có phương trình cân bằng: 4Fe₃O₄ + O₂ $\rightarrow$ 6Fe₂O₃