Đề giữa kỳ 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Quang Trung – Gia Lai

Dựa vào lí thuyết về vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Trong không gian, hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

Dựa vào các khái niệm cơ bản về điểm, đường thẳng, mặt phẳng.

$I \in (ABCD)$ vì $I \in AC$. Do đó khẳng định ở đáp án C sai.

Áp dụng định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ.

Hàm số $y = f(x)$ có tập xác đinh là $\mathbb{R}$. $f(x)$ là hàm số chẵn nếu $f\left( {- x} \right) = f(x),\forall x \in {\mathbb{R}}$.

Dựa vào định nghĩa hai mặt phẳng song song.

Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

Quan sát hình vẽ.

Chóp tứ giác là chóp có đáy hình tứ giác. Hình biểu diễn ở đáp án D.

Hàm số $y = \tan x$, $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kỳ $\pi$.

Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kỳ $\pi$.

Hoành độ của điểm M là cos của góc lượng giác $(OA,OM)$.

${x_M} = \cos {120^o} = - \frac{1}{2}$.

sđ $(OA,OC) = \widehat{AOC} + k.360^o$.

$- {200^o} = {160^o} - {360^o}$ nên $- {200^o}$ không phải số đo góc lượng giác $(OA,OC)$.

Dựa vào định nghĩa, điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng.

Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung thì a // (P).

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Dựa vào công thức giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.

$\cos\left( {\pi - x} \right) = -\cos x$.

Cách xác định một mặt phẳng.

Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất. Vậy chỉ có 1 mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng a và b.

Áp dụng các công thức biến đổi lượng giác.

a) Sai. Vì $\pi < x < \frac{{3\pi }}{2}$ (góc phần tư thứ III) nên $\cos x < 0$.

$\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x = 1 + {\left( {\frac{5}{{12}}} \right)^2} = 1 + \frac{{25}}{{144}} = \frac{{169}}{{144}}$.

$\Rightarrow {\cos ^2}x = \frac{{144}}{{169}} \Rightarrow \cos x = - \frac{{12}}{{13}}$ do $\cos x < 0$.

b) Sai.

Gọi tòa nhà có chân là H và mặt phẳng thẳng đứng đi qua các điểm.

Vị trí quan sát A cách tòa nhà 5 m và cao 1 m so với mặt đất. Hạ đường vuông góc từ A đến trục thẳng đứng của tòa nhà tại điểm K. Khi đó AK = 5 m.

Chiều cao tòa nhà là 19 m, do đó khoảng cách từ K đến nóc tòa nhà (chân cột ăng-ten C) là: KC = 19 - 1 = 18 m.

Đỉnh cột ăng-ten là B, ta có $BC = 3 \Rightarrow KB = KC + BC = 18 + 3 = 21$ m.

Gọi $\beta = \widehat {CAK}$ và $\gamma = \widehat {BAK}$. Góc nhìn cột ăng-ten là $\alpha = \widehat {BAC} = \gamma - \beta$.

Ta có: $\tan \beta = \frac{{KC}}{{AK}} = \frac{{18}}{5}$, $\tan \gamma = \frac{{KB}}{{AK}} = \frac{{21}}{5}$

Áp dụng công thức:

$\tan \alpha = \tan (\gamma - \beta ) = \frac{{\tan \gamma - \tan \beta }}{{1 + \tan \gamma .\tan \beta }}$

$= \frac{{\frac{{21}}{5} - \frac{{18}}{5}}}{{1 + \frac{{21}}{5}.\frac{{18}}{5}}} = \frac{{15}}{{403}}$.

c) Đúng. $\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1$

$= 2 \cdot \frac{{144}}{{169}} - 1 = \frac{{288}}{{169}} - 1 = \frac{{119}}{{169}}$.

d) Đúng. $\tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan x - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan x \cdot \tan \frac{\pi }{4}}}$

$= \frac{{\frac{5}{{12}} - 1}}{{1 + \frac{5}{{12}} \cdot 1}} = \frac{{ - \frac{7}{{12}}}}{{\frac{{17}}{{12}}}} = - \frac{7}{{17}}$.

Áp dụng lí thuyết về quan hệ song song trong không gian.

b) Sai. Áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song cho hai đường thẳng BC và AD, giao tuyến của hai mặt  phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng đi qua S và song song với BC và AD.

d) Đúng. Vì ABCD là hình thoi nên BC // AD, suy ra BC // (SAD).

a) Đúng. Gọi P là trung điểm của SD. Khi đó, MP là đường trung bình của tam giác SAD, suy ra MP // AD // NC và $MP = \frac{{AD}}{2} = \frac{{BC}}{2} = NC$.

Vậy MNCP là hình bình hành, suy ra MN // CP. Mà CP thuộc mặt phẳng (SCD) nên MN // (SCD).

c) Đúng. Vì BM cắt MN tại M, mà MN // (SCD) (cmt) nên BM cắt (SCD).

Dựa vào tập giá trị của hàm cos để tìm GTNN.

Mực nước thấp nhất khi h đạt GTNN, khi đó:

$\cos \left( {\frac{\pi }{6}t + 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{6}t + 1 = \pi + k2\pi$

$\Leftrightarrow \frac{t}{6} + \frac{1}{\pi } = 1 + 2k \Leftrightarrow t = - \frac{6}{\pi } + 6 + 12k$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Mà $0 \le t < 24 \Leftrightarrow 0 \le - \frac{6}{\pi } + 6 + 12k < 24 \Leftrightarrow - 0,34 \le k < 1,66$.

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên k = 0 hoặc k = 1.

Thời điểm muộn nhất mà mực nước trong kênh thấp nhất là:

$t = - \frac{6}{\pi } + 6 + 12.1 \approx 16$ (giờ).

Áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song, tính chất trọng tâm, đường trung bình của tam giác.

Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, ta tìm một điểm thuộc cả đường thẳng và mặt phẳng đó.

Vì AD // BC nên giao tuyến của hai mặt phẳng (MAD) và (SBC) là đường thẳng MP // AD // BC (P thuộc SC).

Vì MP // BC nên theo định lí Thales ta có $\frac{{SM}}{{MB}} = \frac{{SP}}{{PC}} = 1$ và P cũng là trung điểm của SC.

Xét trong (SCD), ta có SN cắt DP tại K’, do đó $\left\{ \begin{array}{l}K' \in SN\\K' \in DP \subset (MAD)\end{array} \right.$

Suy ra K’ là giao của SN và (MAD), hay K’ trùng K.

Có DP và SN là hai đường trung tuyến của tam giác SCD và chúng giao nhau tại K. Do đó K là trọng tâm của tam giác SCD. Suy ra SK = 2KN. Vậy x = 2.

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

$\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin (a + b) + \sin (a - b)} \right]$.

Ta có $\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$

$= \frac{1}{2}\left[ {\sin 2x + \sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)} \right]$

$= \frac{1}{2}\left[ {\frac{3}{8} + ( - 1)} \right] = - \frac{5}{{16}} \approx - 0,3$.

Áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song.

Vì AB // CD và I là giao điểm của (SAB) và (IDC) nên giao tuyến của (SAB) và (IDC) là đường thẳng x đi qua I và song song với AB, CD.

Theo đề bài, J thuộc x và J thuộc SB nên J là giao điểm của SB và x.

Theo định lí Thales, vì IJ // AB nên $\frac{{IS}}{{AI}} = \frac{{SJ}}{{JB}} = 1$ hay J là trung điểm của SB.

Khi đó IJ là đường trung bình của tam giác SAB nên $IJ = \frac{{AB}}{2} = CD$.

Vậy k = 0,5.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

$\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}$} \right. $(k \in \mathbb{Z})$.

Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, chứng minh hai đường thẳng a, b cắt nhau thuộc (P) cùng song song với (Q).

 Ta có:

+ $\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}IJ\subset ̸(BCD)\\ IJ\mathrm{/}\mathrm{/}BC\end{array}\\ BC\subset (BCD)\end{array}\Rightarrow IJ\mathrm{/}\mathrm{/}(BCD)$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}IJ\not \subset (BCD)\\IJ//BC\end{array}\\{BC \subset (BCD)}\end{array}} \right.$ \Rightarrow IJ//(BCD) (1)

+ $\{\begin{array}{l}IK\subset ̸(BCD)\\ IK\mathrm{/}\mathrm{/}BD\\ BD\subset (BCD)\end{array}\Rightarrow IK\mathrm{/}\mathrm{/}(BCD)$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{IK\not \subset (BCD)}\\{IK//BD}\\{BD \subset (BCD)}\end{array}} \right.$ \Rightarrow IK//(BCD) (2)

+ $IJ,IK$ là hai đường thẳng cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (BCD) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $(IJK)//(BCD)$.

Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, tìm một điểm cùng thuộc đường thẳng và mặt phẳng đó.

Gọi $J = BC \cap AI$, $K = SC \cap GJ$, $H = SD \cap KI$.

Khi đó $H \in SD$ và $H \in KI$, $KI \subset (AGI)$.

Vậy $H = SD \cap (AGI)$.