Đề giữa học kỳ 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Nguyễn Du – Thái Bình

Dựa vào tập giá trị của hàm số y = sinx.

$- 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le - \sin x \le 1 \Leftrightarrow 1 \le \sin x \le 3$.

Xét xem tia cuối của góc $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ mấy, từ đó kết luận dấu của các giá trị lượng giác.

Tia cuối của góc $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ IV.

Khi đó $\cos\alpha > 0$ và $\sin\alpha < 0$. Suy ra $\tan\alpha < 0$ và $\cot\alpha < 0$.

Tìm 2 điểm thuộc cả 2 mặt phẳng, đường thẳng đi qua 2 điểm đó là giao tuyến.

Gọi O là tâm hình bình hành, khi đó O thuộc AC và MN.

Có S thuộc (SMN) và (SAC), O thuộc (SMN) và (SAC) nên SO là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Đường thẳng song song với mặt phẳng nếu đường thẳng đó song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng.

MN là đường trung bình của tam giác SBD nên MN // SD. Do đó MN // (SAD).

Thay n = 5 vào công thức tổng quát.

${u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{7}{4}$.

Tìm ĐKXĐ của hàm số.

ĐKXĐ: $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Vậy $D = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ k\pi \middle| k \in {\mathbb{Z}} \right\}$.

Tìm điểm cùng thuộc đường thẳng và mặt phẳng.

Gọi E là giao điểm của AD và BC.

Vì E thuộc AD nên E thuộc (AMD), mà E thuộc BC, do đó E là giao điểm của BC và (AMD).

Áp dụng quan hệ giữa các giá trị lượng giác của góc lượng giác.

$P = \frac{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + {\tan ^2}\alpha = 1 + 2{\tan ^2}\alpha$

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ${u_n} = {u_1} + (n - 1).d$.

$\{\begin{array}{l}{u}_2=u_1+(2-1)\mathrm{.}d\\ u_4=u_1+(4-1)\mathrm{.}d\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3=u_1+d\\ 7=u_1+3d\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + (2 - 1).d\\{u_4} = {u_1} + (4 - 1).d\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}3 = {u_1} + d\\7 = {u_1} + 3d\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.$

Vậy ${u_{15}} = {u_1} + (15 - 1).d = 1 + (15 - 1).2 = 29$.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

$2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array}$ \right. $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$.

${u_5} = {u_1}.{q^{5 - 1}} \Leftrightarrow - 162 = - 2.{q^{5 - 1}} \Leftrightarrow q = 3$.

$\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

$\cot (3x - 1) = - \sqrt 3 \Leftrightarrow 3x - 1 = - \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$.

$\{\begin{array}{l}{u}_1-u_3+u_5=15\\ u_1+u_6=27\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1-u_1-2d+u_1+4d=15\\ u_1+u_1+5d=27\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15\\{u_1} + {u_6} = 27\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_1} - 2d + {u_1} + 4d = 15\\{u_1} + {u_1} + 5d = 27\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 15\\2{u_1} + 5d = 27\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\d = - 3\end{array} \right.$

a) Sai. $d = - 3$.

b) Đúng. ${u_1} = 21$.

c) Đúng. ${u_{11}} = {u_1} + 11d = 21 + 10( - 3) = - 9$.

d) Đúng. ${u_{2024}} = {u_1} + 2023d = 21 + 2023( - 3) = - 6048$.

Tính các giá trị lượng giác của góc $\dfrac{\pi}{3}$.

a) Sai. $\cos \alpha = \frac{1}{2}$.

b) Đúng. $\tan \alpha = \sqrt 3$.

c) Sai. $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

d) Sai. $\cot \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Để tìm giao tuyến của (P) và (Q), tìm hai điểm A, B sao cho chúng thuộc cả hai mặt phẳng (P), (Q).

Khi đó đường thẳng AB là giao tuyến của (P) và (Q).

Ta có: $E = AB \cap CD \Rightarrow E \in AB,AB \subset (ABCD) \Rightarrow E \in (ABCD)$.

Tương tự: $F = AC \cap BD \Rightarrow F \in AC,AC \subset (ABCD) \Rightarrow F \in (ABCD)$. Vậy $EF \subset (ABCD)$.

Dễ thấy A là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$, $B$ cũng là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$.

Suy ra $AB = (SAB) \cap (ABCD)$.

Dễ thấy S là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.

Ta có:

$\{\begin{array}{l}E\in AB,AB\subset (SAB)\\ E\in CD,CD\subset (SCD)\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{E \in AB,AB \subset (SAB)}\\{E \in CD,CD \subset (SCD)}\end{array}} \right.$ $\Rightarrow E \in (SAB) \cap (SCD)$.

Vậy $SE = (SAB) \cap (SCD)$.

Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$:

Dễ thấy S là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.

Ta có:

$\{\begin{array}{l}F\in AC,AC\subset (SAC)\\ F\in BD,BD\subset (SBD)\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{F \in AC,AC \subset (SAC)}\\{F \in BD,BD \subset (SBD)}\end{array}} \right.$ $\Rightarrow F \in (SAC) \cap (SBD)$.

Vậy $SF = (SAC) \cap (SBD)$.

Dễ thấy S là điểm chung của hai mặt phẳng $(SEF)$ và $(SAD)$.

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $G = EF \cap AD$.

Ta có:

$\{\begin{array}{l}G\in EF,EF\subset (SEF)\\ G\in AD,AD\subset (SAD)\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{G \in EF,EF \subset (SEF)}\\{G \in AD,AD \subset (SAD)}\end{array}} \right.$ $\Rightarrow G \in (SEF) \cap (SAD)$.

Vậy $SG = (SEF) \cap (SAD)$.

a) Đúng.

b) Đúng.

c) Sai.

d) Đúng.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình sinx = m.

a) Đúng. $\sin x = - \frac{1}{2}\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \pi - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{\pi }{6} + k\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k\pi }\end{array}$} \right.}\end{array} $(k \in \mathbb{Z})$.

b) Sai. Phương trình có nghiệm âm lớn nhất là $x = - \frac{\pi }{6}$.

c) Sai. Số nghiệm thuộc khoảng $( - \pi ;\pi )$ là 4 nghiệm: $x = - \frac{\pi }{6};x = \frac{\pi }{6};x = \frac{{5\pi }}{6};x = \frac{{7\pi }}{6}$.

d) Sai. Vì $\sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}$ nên $\sin 2x = {\rm{\;}} - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$.

Áp dụng công thức nghiệm cơ bản của phương trình sinx = m.

Do $\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right) \ge - 1$

$\Rightarrow d(t) \le 3.( - 1) + 12 = 9$ với mọi $x$.

Vậy thành phố $A$ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi: $\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] = - 1$ với $t \in \mathbb{Z}$ và $0 < t \le 365$.

Khi đó $\frac{\pi }{{182}}(t - 80) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow t - 80 = 182\left( { - \frac{1}{2} + 2k} \right) \Leftrightarrow t = 364k - 11$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Mặt khác, $0 < 364k - 11 \le 365$

$\Leftrightarrow \frac{{11}}{{364}} < k \le \frac{{376}}{{364}} \Leftrightarrow k = 1$ (do $k$ nguyên).

Vậy thành phố $A$ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất (9 giờ) khi $t = 353$, tức là vào ngày thứ 353 trong năm.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$.

$\{\begin{array}{l}{u}_4=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+3d=10\\ u_1+3d+u_1+5d=26\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+3d=10\\ 2u_1+8d=26\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=3\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\2{u_1} + 8d = 26\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.$

Vậy $P = {u_1} + d = 1 + 3 = 4$.

Đổi đơn vị góc và áp dụng công thức tính độ dài cung.

Bán kính đường tròn là $R = \frac{60}{2} = 30$ (cm).

Ta có: $\widehat{AOB} = 150^o = \frac{150\pi}{180} \, \text{rad} = \frac{5\pi}{6}\;rad$.

Suy ra độ dài cung nhỏ AB là:

$l_{\overline{AB}} = R . \overline{AOB} = 30 . \frac{5\pi}{6} = 25\pi \approx 78,5$ (cm).

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình cosx = m.

$(2\cos 2x + 5)({\sin ^2}x - {\cos ^2}x) = 0$

$\Leftrightarrow (2\cos 2x + 5)( - \cos 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}\cos 2x =  - \frac{5}{2}\\\cos 2x = 0\end{array}$ \right. \Leftrightarrow \left[ $\begin{array}{l}\cos 2x =  - \frac{5}{2}\\\cos 2x = 0\end{array}$ \right.

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Các nghiệm của phương trình thuộc khoảng $(0;2\pi )$ là: $x = \frac{\pi }{4}$, $x = \frac{{3\pi }}{4}$, $x = \frac{{5\pi }}{4}$, $x = \frac{{7\pi }}{4}$.

Tổng các nghiệm là: $S = \frac{\pi }{4} + \frac{{3\pi }}{4} + \frac{{5\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} = 4\pi$. Suy ra $\alpha  = 4$.

Vậy $P = 25\alpha  + 23 = 25.4 + 23 = 123$.

Áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song.

$2\overrightarrow {MB}  = 5\overrightarrow {MS}  \Rightarrow MS = \frac{2}{5}MB \Rightarrow MS = \frac{2}{3}SB$.

Có IK là đường trung bình tam giác BCD nên IK // BD.

Ta có $\{\begin{array}{l}IK\mathrm{/}\mathrm{/}BD\\ (SBD)\cap (SIK)=S\\ BD\subset (SBD),IK\subset (SIK)\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}IK//BD\\(SBD) \cap (SIK) = S\\BD \subset (SBD),IK \subset (SIK)\end{array} \right.$ suy ra giao tuyến của (SBD) và (SIK) là đường thẳng Sx song song với BD.

Có M thuộc SB suy ra M thuộc (SBD).

Xét trong mặt phẳng (SBD): Gọi Sx cắt DM tại F’.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}F' \in DM\\F' \in Sx \subset (SIK)\end{array} \right.$, suy ra F’ là giao điểm của DM và (SIK).

Do đó F’ trùng F.

Xét tam giác MBD có FS // BD: $\frac{{MF}}{{FD}} = \frac{{MS}}{{SB}} = \frac{2}{3}$ (định lí Thalès).

Vậy $P = 10a + b = 10.2 + 3 = 23$.

Cho một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$.

Đặt ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}$.

Khi đó : ${S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}$ hoặc ${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d$.

Cách trồng $465$ cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với số ${u_n}$ là số cây ở hàng thứ $n$ và ${u_1} = 1$ và công sai $d = 1$.

Tổng số cây trồng được là:

${S_n} = 465 \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 465$

$\Leftrightarrow {n^2} + n - 930 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}n = 30\\n = - 31\left( l \right)\end{array}$ \right..

Như vậy số hàng cây trong khu vườn là $30$.