Đề giữa kỳ 1 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường THPT Núi Thành – Đà Nẵng

Tìm vị trí mũi tên đổi chiều đi xuống rồi đi lên (từ âm sang dương của f’(x)).

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (3; -4).

Dựa vào các điểm đường tiệm cận đi qua để tìm phương trình đường tiệm cận đó.

Đường tiệm cận xiên dạng y = ax + b đi qua 2 điểm (0; 1) và (-1; 0).

Ta có hệ $\{\begin{array}{l}1=a.0+b\\ 0=a\mathrm{.}(-1)+b\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}1 = a.0 + b\\0 = a.( - 1) + b\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.$.

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số trên là đường thẳng có phương trình y = x + 1.

Với hàm số phân thức $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ ($c \ne 0,ad - bc \ne 0$), đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - \frac{d}{c}$.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 2.

Nếu tồn tại khoảng $(a;b) \subset D$ chứa ${x_0}$ sao cho $f(x) < f({x_0})$ với mọi $x \in (a;b)\backslash \{ {x_0}\}$ thì ${x_0}$ được gọi là một điểm cực đại, $f({x_0})$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số y = f(x), kí hiệu là ${y_{CD}}$.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 4.

Đồ thị hàm số hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,$ $\left( {ad - bc \ne 0,c \ne 0} \right)$ có tiệm cận đứng là $x = - \frac{d}{c}$, tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$.

Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số trên là đường thẳng có phương trình lần lượt là x = 1, y = 1.

Dựa vào hình dạng và tiệm cận đứng của đồ thị.

Loại đáp án B, D vì hình dáng đồ thị là đồ thị của hàm số dạng $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}$ $(a,m \ne 0)$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2 nên hàm số đó là $y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}}$.

Hàm số nghịch biến thì đồ thị đi từ trên xuống dưới từ trái sang.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-1; 1).

Đường thẳng $y = {y_0}$ gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}$.

Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y = 2 và y = -2.

Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số.

Hình vẽ có hình dạng của đồ thị hàm đa thức bậc ba với hệ số của ${x^3}$ lớn hơn 0 (do nhánh cuối của đồ thị đi lên từ trái sang).

Vậy đồ thị trên là của hàm số $y = {x^3} - 3x$.

Hàm số đồng biến trên khoảng mà f’(x) > 0.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Đường thẳng y = ax + b $(a \ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - ( - x)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{x + 2}} = 0$, do đó tiệm cận xiên là đường thẳng y = -x.

Quan sát bảng biến thiên.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [0; 3] là -4.

Ứng dụng đạo hàm, khảo sát đồ thị hàm số.

a) Đúng. ĐKXĐ: $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$. Vậy $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

b) Sai. Tiệm cận ngang của đồ thị (C) có phương trình $y = \frac{{ - 1}}{1} = 1$.

c) Sai. $y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0$ với mọi $x \in D$. Do đó, hàm số f(x) nghịch biến trên từng khoảng $( - \infty ;1)$ và $(1; + \infty )$.

d) Đúng. (C) có tiệm cận đứng là x = 1, tiệm cận ngang là y = -1; cắt trục tung tại (0; -2), cắt trục hoành tại (2; 0); nghịch biến trên từng khoảng $( - \infty ;1)$ và $(1; + \infty )$. Đồ thị (C) chính là đường cong như hình vẽ.

Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số.

a) Đúng. $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x$.

b) Sai. $f\left( 0 \right) = {0^3} - {3.0^2} - 2 = - 2$. Vậy đồ thị cắt trục Oy tại (0; -2).

c) Sai. $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}$ \right..

Ta có $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x > 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x < 0\\x > 2\end{array}$ \right.. Do đó, hàm số f(x) đồng biến trên từng khoảng $( - \infty ;0)$ và $(2; + \infty )$.

d) Đúng.

Hoành độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là ${x_0}$ nếu $y''({x_0}) = 0$.

$y' = 6{x^2} + 2mx - 5$; $y'' = 12x + 2m$.

$y'' = 0 \Leftrightarrow 12x + 2m = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{m}{6}$.

Theo đề bài, hoành độ tâm đối xứng bằng 2, do đó $- \frac{m}{6} = 2 \Leftrightarrow m = - 12$.

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên để xác định các điểm cực trị.

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

$y' = 1 - \frac{9}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y = 1\\x = - 4 \Rightarrow y = - 11\end{array}$ \right..

Bảng biến thiên:

Vậy A(-4; 11), B(2; 1). Ta có $2{x_1} + 3{y_2} = 2.( - 4) + 3.1 = - 5$.

Đặt HE = x. Lập hàm số f(x) biểu diễn độ dài AE + BF. Tìm x để f(x) nhỏ nhất, từ đó tính AE.

Đặt HE = x, với x > 0.

Ta có: $HE + KF = 10 \Rightarrow KF = 10 - x$ (với $x \in \left( {0;10} \right)$).

Khi đó:

$AE = \sqrt {A{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {{4^2} + {x^2}} = \sqrt {16 + {x^2}}$;

$BF = \sqrt {B{K^2} + F{K^2}} = \sqrt {36 + {{\left( {10 - x} \right)}^2}}$.

Vì EF không đổi nên tổng quãng đường ngắn nhất khi f(x) = AE + BF nhỏ nhất.

$f(x) = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{{(10 - x)}^2} + 36}$

$= \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{x^2} - 20x + 136}$.

Xét trên khoảng (0; 10):

$f'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} + \frac{{x - 10}}{{\sqrt {{x^2} - 20x + 136} }} = 0$

$\Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} - 20x + 136} = (10 - x)\sqrt {{x^2} + 16}$.

Cả hai vế đều dương, bình phương hai vế được:

${x^2}({x^2} - 20x + 136) = {(10 - x)^2}({x^2} + 16)$

$\Leftrightarrow {x^2} + 16x - 80 = 0 \Leftrightarrow x = 4$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, f(x) đạt GTNN tại x = 4.

Độ dài AE khi quãng đường ngắn nhất là:

$AE = \sqrt {{4^2} + 16} = 4\sqrt 2 \approx 5,66$ (km).

Đường thẳng y = ax + b $(a \ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$.

$\frac{{{x^2} - 5x + 7}}{{x - 3}} = x - 2 + \frac{1}{{x - 3}}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (x - 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 3}} = 0$ nên tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng y = x – 2.

Do đó a = 1, b = -2. Vậy 3.1 – 5.(-2) = 13.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y' = 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0 \Rightarrow y = - 2}\\{x = - 2 \Rightarrow y = 2}\end{array}$} \right..

Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$; ghịch biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 2$, ; đạt cực tiểu tại $x = 0$, ${y_{CT}} = - 2$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số.

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {2x} \right)}}{x}$ liên tục và xác định trên đoạn [1; 3].

$$f'(x) = \frac{{[\ln (2x)]'.x - \ln (2x).x'}}{{{x^2}}} = \frac{{1 - \ln (2x)}}{{{x^2}}}$$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - \ln (2x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{e}{2} \in {\rm{[}}1;3]$.

Ta có: $f(1) = \ln 2$; $f\left( {\frac{e}{2}} \right) = \frac{2}{e}$; $f(3) = \frac{{\ln 6}}{3}$.

Vậy GTNN của của hàm số $f(x) = \frac{{\ln \left( {2x} \right)}}{x}$ trên đoạn [1; 3] là $\frac{{\ln 6}}{3}$ tại x = 3.

Tìm khoảng h’(t) < 0.

$h'(t) = 6{t^2} - 54t + 108$.

Khinh khí cầu giảm dần độ cao

$\Leftrightarrow h'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 6{t^2} - 54t + 108 < 0$

$\Leftrightarrow {t^2} - 9t + 18 < 0 \Leftrightarrow 3 < t < 6$.

Kết hợp ĐK $t \in \left[ {0;8} \right]$, ta được $t \in (3;6)$.

Vậy khinh khí cầu giảm dần độ cao trong khoảng thời gian từ phút thứ 3 đến phút thứ 6.