Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 2

Quan sát bảng xét dấu và nhận xét.

Trên khoảng (0;1), f’(x) mang dấu âm nên f(x) nghịch biến trên (0;1).

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Hàm số đạt cực đại tại x = 3.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [0; 3] là y = 2 tại x = 0.

Đường thẳng $y = {y_0}$ gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} + \infty } f(x) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } f(x) = {y_0}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 3}}{{5x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{3}{x}}}{{5 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{5}$ nên đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận ngang là $y = \frac{1}{5}$.

Đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (x - 3)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x - 3 + \frac{5}{{x - 2}} - (x - 3)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{x - 2}} = 0$.

Vây y = x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại ${x_0}$ khi $f'({x_0}) = 0$ và f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua ${x_0}$.

Quan sát đồ thị y = f’(x) ta thấy f’(x) < 0 trên (1;2) và f’(x) > 0 trên $(2; + \infty )$ nên x = 2 là cực tiểu của hàm số f(x).

Dựa vào khái niệm vecto bằng nhau, vecto đối nhau, quy tắc ba điểm.

Ta có $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DB}$.

Sử dụng tính chất trọng tâm của tứ diện.

Vì G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0$.

$\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})$.

$\overrightarrow {AB} = (4 - 1; - 3 + 1;1 - 2) = (3; - 2; - 1)$.

Sử dụng công thức tính tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b = {x_a}.{x_b} + {y_a}.{y_b} + {z_a}.{z_b}$.

Ta có: $\overrightarrow u .\overrightarrow v = 3.2 + 0.1 + 1.0 = 6$.

Hình chiếu của điểm M(a; b; c) lên mặt phẳng (Oxz) là điểm M’(a; 0; c).

Ta có A’(2; 0; 4) suy ra:

$\overrightarrow {AA'}  = (2 - 2;0 - 3;4 - 4) = (0; - 3;0)$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên chứa dữ liệu.

R = 30 – 10 = 20.

Lập bảng biến thiên và nhận xét.

Tập xác định: D = R.

Ta có $f'(x) = 2x.{e^{{x^2} - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Bảng biến thiên:

a) Sai. Hàm số nghịch biến trên (-1;0) và đồng biến trên (0;1).

b) Đúng. Hàm số nghịch biến trên (-3;-2).

c) Sai. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

d) Sai. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng 0. Thay x = 0 vào hàm số ta được:

$f(0) = {e^{{0^2} - 1}} = {e^{ - 1}} = \frac{1}{e}$.

Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là $\frac{1}{e}$.

Dựa vào khái niệm vecto, vecto bằng nhau, cách tính độ dài vecto, tính chất trung điểm.

a) Đúng. Vì SA = SB = SC = SD = 2a nên các vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c ,\overrightarrow d$ đều có độ dài bằng 2a.

b) Sai. $\overrightarrow {AC}$, $\overrightarrow {BD}$ không cùng phương vì giá của chúng không song song với nhau.

c) Đúng. Vì O là giao hai đường chéo AC, BD của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC, BD.

Khi đó $2\overrightarrow {SO} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \Leftrightarrow \overrightarrow {SO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow d } \right)$.

d) Sai. Từ câu c) ta có $\overrightarrow b + \overrightarrow d = 2\overrightarrow {SO}$ suy ra $\left| {\overrightarrow b + \overrightarrow d } \right| = 2\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = 2.SO = 2\sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)}^2}} = 2\sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 2 AB}}{2}} \right)}^2}} = 2\sqrt {{{(2a)}^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 2 a}}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt {14}$.

Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto, nhân vecto với một số, tích vô hướng của hai vecto.

a) Đúng. $\overrightarrow {AB} = ( - 1 - 3;3 - 1;2 + 2) = ( - 4;2;4)$.

b) Sai. $\overrightarrow {AC} = ( - 6 - 3;3 - 1;6 + 2) = ( - 9;2;8)$.

Ta có $\frac{{ - 9}}{{ - 4}} \ne \frac{2}{2} \ne \frac{8}{4}$ nên $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương. Vậy A, B, C không thẳng hàng.

c) Đúng. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{3-1-6}{3}=-\frac{4}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{1+3+3}{3}=\frac{7}{3}\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{-2+2+6}{3}=2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{3 - 1 - 6}}{3} = - \frac{4}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{1 + 3 + 3}}{3} = \frac{7}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{ - 2 + 2 + 6}}{3} = 2\end{array} \right.$.

Vậy G $\left( { - \frac{4}{3};\frac{7}{3};2} \right)$.

d) Sai. ABCE là hình bình hành khi $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC} \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} - 6 - {x_E} = - 4\\3 - {y_E} = 2\\6 - {z_E} = 4\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 2\\{y_E} = 1\\{z_E} = 2\end{array} \right.$.

Vậy E(-2;1;2).

a) ${x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}$ với i = 1, 2,…, k là giá trị đại diện cho nhóm $\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)$.

b) Số trung bình: $\bar x{\rm{\;}} = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$.

c) Phương sai: ${s^2} = \frac{{m{{({x_1} - \bar x)}^2} + ... + {m_k}{{({x_k} - \bar x)}^2}}}{n}$.

d) Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}}$.

a) Đúng. Giá trị đại diện của nhóm thứ hai là $\frac{{22 + 25}}{2} = 23,5$.

b) Sai. Nhiệt độ trung bình của 55 ngày là:

$\overline x = \frac{{5.20,5 + 7.23,5 + 8.26,5 + 16.29,5 + 12.32,5 + 7.35,5}}{{55}} = 28,9$ (độ C).

c) Đúng. Phương sai của mẫu số liệu trên là:

${s^2} = \frac{$$\begin{array}{l}5.{(20,5 - 28,9)^2} + 7.{(23,5 - 28,9)^2} + 8.{(26,5 - 28,9)^2}\\ + 16.{(29,5 - 28,9)^2} + 12.{(32,5 - 28,9)^2} + 7.{(35,5 - 28,9)^2}\end{array}$}{{55}} = 19,44.

d) Sai. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là $s = \sqrt {19,44} = 4,4$.

Thay x = 0,4 vào hàm số p(x) và tính kết quả.

Giá bán mỗi sản phẩm là p(x) = 1000 - 25x (triệu đồng).

Doanh thu khi bán được x sản phẩm là $A\left( x \right) = x\left( {1000-25x} \right) = 1000x - 25{x^2}$ (triệu đồng).

Doanh thu khi bán được 5 sản phẩm là $A\left( 5 \right) = 1000.5 - {25.5^2} = 4375$ (triệu đồng).

Tìm giá trị lớn nhất của f’(t) trên [0;25].

$f'(t) = 90t - 3{t^2}$ là tốc độ truyền bệnh (người/ngày).

Ta có $f''(t) = 90 - 6t = 0 \Leftrightarrow t = 15$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy tốc độ truyền bệnh lớn nhất là 675 người/ngày vào ngày thứ 15.

Xét dấu ac dựa vào tung độ của tiệm cận ngang.

Xét dấu cd dựa vào hoành độ của tiệm cận đứng.

Xét dấu bd dựa vào giao của đồ thị với trục tung.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $\frac{b}{d} < 0$ hay $bd < 0$. Vậy i) đúng.

Tiệm cận đứng \(x =  - \frac{d}{c}\) có hoành độ âm nên \(x =  - \frac{d}{c} < 0\) hay $cd > 0$. Vậy ii) đúng.

Tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$ có tung độ dương nên $y = \frac{a}{c} > 0$ hay $ac > 0$. Vậy iii) đúng.

Vì $\{\begin{array}{l}bd<0\\ cd>0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}bd < 0\\cd > 0\end{array} \right.$ suy ra $bc < 0$. Vậy iv) sai.

Vì $\{\begin{array}{l}bc<0\\ ac>0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}bc < 0\\ac > 0\end{array} \right.$ suy ra $ab < 0$. Vậy v) đúng.

Vì $\{\begin{array}{l}bd<0\\ ab<0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}bd < 0\\ab < 0\end{array} \right.$ suy ra $ad > 0$. Vậy vi) sai.

Vậy chỉ có iv) và vi) sai.

Sử dụng quy tắc tổng hợp lực.

Giả sử các lực $\overrightarrow {{F_1}}$, $\overrightarrow {{F_2}}$, $\overrightarrow {{F_3}}$ ​ cùng tác động vào vật đặt tại điểm O.

Lấy các điểm A, B, C sao cho $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {{F_1}}$, $\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {{F_2}}$, $\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {{F_3}}$.

Dựng các hình bình hành OADB và OCED như hình vẽ.

Hợp lực tác động vào vật là $\overrightarrow F  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OE}$ (quy tắc hình bình hành).

Xét hình bình hành OADB:

$O{D^2} = O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB.\cos \widehat {AOB}$

$= {9^2} + {4^2} + 2.9.4.\cos {110^o} = 97 + 72\cos {110^o}$.

Vì $\overrightarrow {{F_3}}$ vuông góc với các lực $\overrightarrow {{F_1}}$, $\overrightarrow {{F_2}}$ nên OC vuông góc với OA và OB.

Khi đó, OC vuông góc với mặt phẳng (OADB), suy ra OC vuông góc với OD.

Suy ra OCED là hình chữ nhật.

$OE = \sqrt {O{C^2} + C{E^2}}  = \sqrt {O{C^2} + O{D^2}}  = \sqrt {{7^2} + {{\left( {97 + 72\cos {{110}^o}} \right)}}}  \approx 11$.

Vậy độ lớn hợp lực $\overrightarrow F  = \overrightarrow {OE}$ bằng 11 N.

Chọn hệ trục tọa độ, tìm tọa độ hai chiếc máy bay dựa vào hệ trục đó rồi tính khoảng cách.

Công thức tính khoảng cách: $AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với góc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía Bắc, trục Oy hướng về phía Tây, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilomet.

Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ (20; 10; 0,7).
Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ (-25; -30; 1).
Do đó khoảng cách giữa hai chiếc máy bay là:

$\sqrt {{{(20 + 25)}^2} + {{(10 + 30)}^2} + {{(0,7 - 1)}^2}}  \approx 60$ (km).

Lưu ý: Đối với tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian, trong công thức ta có thể lấy tọa độ điểm đầu trừ điểm cuối hoặc tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu (vì bình phương hiệu hai tọa độ là không đổi).

Công thức: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}$.

Cỡ mẫu: n = 20 + 35 + 60 + 55 + 30 = 200.

Gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{200}}$ là mẫu số liệu gốc được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Do $\frac{n}{4} = 50$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2} \in [8,8;9,1)$.

${Q_1} = 8,8 + \frac{{\frac{{200}}{4} - 20}}{{35}}(9,1 - 8,8) = \frac{{317}}{{35}}$.

Do $\frac{{3n}}{4} = 150$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{150}} + {x_{151}}}}{2} \in [9,4;9,7)$.

${Q_3} = 9,4 + \frac{{\frac{{3.200}}{4} - (20 + 35 + 60)}}{{55}}(9,7 - 9,4) = \frac{{211}}{{22}}$.

Vậy ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{211}}{{22}} - \frac{{317}}{{35}} \approx 0,53$.