Đề giữa học kì 1 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường Đông Thành – Vĩnh Long

Tính $a(3) = s''(3)$.

$a(t) = s''(t) = 6t - 6 \Rightarrow a(3) = 12$.

Quan sát hình dạng của đồ thị hàm số.

Đường cong có dạng đồ thị của hàm số bậc ba. Mà $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$ nên hệ số của ${x^3}$ lớn hơn 0.

Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số.

$D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}3\}$.

$f'\left( x \right) = \frac{{ - 8}}{{{{(x - 3)}^2}}} < 0$ với mọi $x \in D$.

Do đó hàm số nghịch biến trên [0; 2].

Vậy $M = f(0) = \frac{1}{3}$, $m = f(2) = - 5$.

Quan sát hình vẽ.

Giá trị cực tiểu của hàm số là y = -1.

Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $f'\left( x \right)$ mang dấu âm.

Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Quan sát hình vẽ.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$ là -2.

Tính đạo hàm, khảo sát hàm số.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$ nên hệ số của ${x^3}$ lớn hơn 0. Loại đáp án A, D.

Xét đáp án B: $y' = {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array}$ \right..

$y( - 1) = 1$; $y(3) = - \frac{{29}}{3}$ (trùng với bảng biến thiên).

Hàm số đồng biến khi đồ thị đi từ dưới lên trên.

Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {1\,;\, + \infty } \right)$.

Quan sát bảng biến thiên.

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ là đường thẳng có phương trình $y = \frac{a}{c}$.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{1 - 2x}}{{x + 3}}$ là đường thẳng có phương trình $y = - 2$.

Dựa vào các điểm đồ thị đi qua.

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên hàm số đó là $y = \frac{x}{{2x + 1}}$.

Quan sát hình vẽ.

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình x = 2.

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên.

$y = \frac{{{x^2} - x + 7}}{{x + 1}} = x - 2 + \frac{9}{{x + 1}}$ với $x \ne - 1$.

a) Đúng. Đường tiệm cận xiên là y = x – 2, hay đường thẳng y = ax – 2 với a = 1.

b) Sai. $y' = 1 - \frac{9}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 2\\x = - 4\end{array}$ \right..

Bảng biến thiên:

Theo bảng biến thiên, tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu là: -9 + 3 = -6.

c) Đúng. Theo bảng biến thiên, giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ là -9.

d) Sai. Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận xiên.

Tính đạo hàm, khảo sát hàm số.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ có:

- Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}1\}$.

- Giao trục Ox tại (-1; 0), giao trục Oy tại (0; -1).

- Tiệm cận đứng: x = 1, tiệm cận ngang y = 1.

- Đạo hàm: $y' = - \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0$ với mọi $x \in D$. Do đó, hàm số nghịch biến trên tập xác định.

- Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận x = 1 và y = 1, hay điểm I(1; 1).

a) Đúng.

b) Đúng.

c) Đúng.

d) Sai.

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên khảo sát hàm số.

Tập xác định: $D = [0; + \infty )$.

Xét trên tập xác định: $C'(t) = \frac{{1 - {t^2}}}{{{{({t^2} + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 1$.

Bảng biến thiên:

Theo bảng biến thiên, au khi tiêm thuốc thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất bằng 0,5 (mg/l).

Gọi x là số máy móc công ty cần sử dụng. Lập hàm số biểu diễn tổng chi phí hoạt động. Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, tìm x để hàm số đạt GTNN.

Gọi x là số máy móc công ty cần sử dụng ($x \in {\mathbb{N}^*}$).

Chi phí thiết lập x máy: 200x (nghìn đồng).

Năng suất của x máy trong 1 giờ: 30x (quả bóng/giờ).

Thời gian hoàn thành 8000 quả bóng: $\frac{{8000}}{{30x}} = \frac{{800}}{{3x}}$ (giờ).

Chi phí người giám sát: $192.\frac{{800}}{{3x}} = \frac{{51200}}{x}$ (nghìn đồng).

Tổng chi phí hoạt động: $f\left( x \right) = 200x + \frac{{51200}}{x}$ với $x \in \left( {0; + \infty } \right)$.

Xét $x \in \left( {0; + \infty } \right)$: $f'\left( x \right) = 200 - \frac{{51200}}{{{x^2}}} = 0$

$\Leftrightarrow 200{x^2} = 51200 \Leftrightarrow x = 16$.

Bảng biến thiên:

Vậy, để chi phí hoạt động thấp nhất, công ty cần sử dụng 16 máy.

Tìm GTLN của hàm số $h\left( t \right) = 5 + 39,2t - 4,9{t^2}$ trên ${\rm{[}}0; + \infty )$.

Hàm số độ cao của vật thể: $h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 39,2t + 5$ với $t \ge 0$.

Xét trên ${\rm{[}}0; + \infty )$: $h'(t) = - 9,8t + 39,2 = 0 \Leftrightarrow t = 4$.

Bảng biến thiên:

Vậy vật đạt độ cao lớn nhất bằng 83,4 mét.

Gọi x (dm) là chiều rộng của đáy bể. Biểu diễn diện tích của bể theo x, từ đó lập hàm chi phí. Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và tìm GTNN của hàm số.

Gọi x (dm) là chiều rộng của đáy bể (x > 0).

Chiều dài đáy bể: 3x (dm).

Chiều cao bể: $h = \frac{V}{{3{x^2}}} = \frac{{1152}}{{3{x^2}}} = \frac{{384}}{{{x^2}}}$ (dm).

Diện tích đáy và 4 mặt bên:

$S(x) = 3{x^2} + 2xh + 2.3xh$

$= 3{x^2} + 8xh = 3{x^2} + \frac{{3072}}{x}$ ${\rm{(d}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$.

Đổi đơn vị: $S(x) = \frac{{3{x^2} + \frac{{3072}}{x}}}{{100}}$ ${\rm{(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$.

Chi phí thuê nhân công:

$f(x) = 0,4.\frac{{3{x^2} + \frac{{3072}}{x}}}{{100}} = \frac{3}{{250}}{x^2} + \frac{{3072}}{{250x}}$ với $x \in (0; + \infty )$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 6{x^3} - 3072 = 0 \Leftrightarrow x = 8$.

Vậy chi phí thấp nhất ông A phải trả là 2,30 triệu đồng.

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

$y' = {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array}$ \right..

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 3} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( { - 3; - 1} \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 3$, giá trị cực đại ${y_{{\rm{CD}}}} = - 4$; hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$, giá trị cực tiểu ${y_{{\rm{CT}}}} = - \frac{{16}}{3}$.

Ứng dụng đạo hàm để tìm min, max.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Xét trên đoạn [-4; 0]: $y' = 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array}$ \right..

Ta có: y(-4) = 227, y(-1) = 2, y(0) = 3.

Vậy trên đoạn [-4; 0], hàm số đạt GTLN là 227, đạt GTNN là 2.

Đường thẳng $x = {x_0}$ gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty$.

Đường thẳng $y = {y_0}$ gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}$.

Nhẩm nhanh: Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ $(c \ne 0)$ có tiệm cận đứng là $x = - \frac{d}{c}$, tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3x - 2}}{{x + 2}} = - \infty \Rightarrow x = - 2$ là đường tiệm cận đứng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - \frac{2}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 3 \Rightarrow y = 3$ là đường tiệm cận ngang.