Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 1

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Quan sát bảng biến thiên thấy y’ > 0 trên khoảng (-7;-4) nên hàm số đồng biến trên khoảng (-7;-4).

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Hàm số không có giá trị lớn nhất vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty$.

$x = {x_0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{4 - {x^2}}} = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{1}{{4 - {x^2}}} = + \infty$ nên đồ thị hàm số f(x) có hai tiệm cận đứng là x = 2 và x = -2.

Đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x + 2 - \frac{1}{{x - 1}} - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0$.

Hàm số f(x) đạt cực trị tại ${x_0}$ khi $f'({x_0}) = 0$ và f’(x) đổi dấu khi qua ${x_0}$ (hay ${x_0}$ là nghiệm bội lẻ của $f'(x) = 0$).

$f'(x) = (x - 4){(x + 1)^2} = 0$ khi x = 4 hoặc x = -1.

Vì f’(x) chỉ đổi dấu khi qua x = 4 (hay x = 4 là nghiệm bội lẻ của $f'(x) = 0$) nên hàm số f(x) chỉ có 1 cực trị là x = 4.

Dựa vào quy tắc ba điểm đối với hiệu của hai vecto.

Ta có $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB}$.

Sử dụng tính chất trung điểm.

C sai vì $\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB}$ do hai vecto này ngược hướng.

Tọa độ của vecto $\overrightarrow {OA}$ là tọa độ của A.

$\overrightarrow {OA} = (1;2;3)$.

Công thức tính góc giữa hai vecto trong không gian: $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$.

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{2.( - 1) + 1.0 + 0.( - 2)}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{ - 2}}{5}$.

Hình chiếu của điểm M(a;b;c) lên mặt phẳng (Oyz) là điểm M’(0;b;c).

Ta có A’(0;2;3) suy ra $\overrightarrow {AA'} = (0 - 1;2 - 2;3 - 3) = ( - 1;0;0)$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên chứa dữ liệu.

R = 300 – 50 = 250.

Lập bảng biến thiên và nhận xét.

Tập xác định: D = R.

Ta có $f'(x) = 3{x^2} - 12x - 15 = 0 \Leftrightarrow$ x = 5 hoặc x = -1.

Bảng biến thiên:

a) Đúng. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng 0. Thay x = 0 vào hàm số ta được:

$f(0) = {0^3} - {6.0^2} - 15.0 + 20 = 20$.

Vậy đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 20.

b) Sai. Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ; - 1)$ và $(5; + \infty )$. Dấu “ $\cap$ ” là sai.

c) Đúng. Giá trị cực đại của hàm số là y = 28 tại x = -1.

d) Đúng. Có $f( - 4) = f(5) = - 80$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $( - 4; + \infty )$ bằng –80.

Dựa vào khái niệm vecto, vecto bằng nhau, cách tính độ dài vecto, tính độ dài đường chéo hình hộp.

a) Đúng. $\overrightarrow {BA'}  = \overrightarrow {CD'}$ vì chúng cùng hướng và cùng độ dài.

b) Sai. Ta có:

$\left| {\overrightarrow {BA'} } \right| = BA' = \sqrt {B{A^2} + BB{'^2}}  = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = \sqrt {20}$.

$\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = \sqrt {B{C^2} + B{A^2}}  = \sqrt {{3^2} + {2^2}}  = \sqrt {13}$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {BA'} } \right| \ne \left| {\overrightarrow {BD} } \right|$.

c) Đúng. Số đỉnh của hình hộp là 8.

Mỗi vecto khác $\overrightarrow 0$ được tạo thành từ 2 điểm phân biệt trong 8 điểm đỉnh.

Mỗi 2 điểm lại tạo thành 2 vecto khác nhau (cùng độ dài, ngược hướng).

Vậy có $A_8^2$ vecto được tạo thành.

d) Sai. $\left| {\overrightarrow {BD'} } \right| = \sqrt {B{A^2} + B{C^2} + BB{'^2}}  = \sqrt {4 + 9 + 16}  = \sqrt {29}$.

Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto, nhân vecto với một số, tích vô hướng của hai vecto.

a) Đúng. $\overrightarrow a + \overrightarrow b = (1 + 3;2 + 1; - 3 + 5) = (4;3;2)$.

b) Sai. $2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b = (2.1 - 3.3;2.2 - 3.1;2.( - 3) - 3.5) = ( - 7;1; - 21)$.

c) Sai. $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.3 + 2.1 - 3.5 = - 10$.

d) Đúng. $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 10}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 3)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {5^2}} }} = - \frac{{\sqrt {10} }}{7}$.

a) ${x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}$ với i = 1, 2,…, k là giá trị đại diện cho nhóm $\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)$.

b) Số trung bình: $\bar x{\rm{\;}} = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$.

c) Phương sai: ${s^2} = \frac{{m{{({x_1} - \bar x)}^2} + ... + {m_k}{{({x_k} - \bar x)}^2}}}{n}$.

d) Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}}$.

a) Đúng. Giá trị đại diện của nhóm thứ nhất là $\frac{{0 + 10}}{2} = 5$.

b) Sai. Thời gian trung bình dùng Facebook của mỗi bạn trong lớp 12C là:

$\overline x = \frac{{5.15 + 15.10 + 25.5 + 35.2}}{{15 + 10 + 5 + 2}} = 13,125$ (phút).

c) Sai. Phương sai của mẫu số liệu trên là:

${s^2} = \frac{{15.{{(5 - 13,125)}^2} + 10.{{(15 - 13,125)}^2} + 5.{{(25 - 13,125)}^2} + 2.{{(35 - 13,125)}^2}}}{{15 + 10 + 5 + 2}} = \frac{{5375}}{{64}} \approx 84$.

d) Sai. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là $s = \frac{{5\sqrt {215} }}{8} \approx 9,16$.

Thay x = 0,4 vào hàm số f(x) và tính kết quả.

Theo bảng biến thiên, giá thành của bể cá là f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0,4.

Ta có $f(0,4) = 2.0,6\left( {0,4 + \frac{{0,16}}{{0,4}}} \right).700000 + 1000000.0,4.\frac{{0,16}}{{0,4}} = 832000$ (đồng).

Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là 832 nghìn đồng.

Lập hàm số biểu diễn diện tích mảnh đất và tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

Gọi chiều dài mỗi mặt rào vuông góc với bờ là x (mét, x > 0).

Chiều dài mặt rào song song với bờ là 2y (mét, y > 0).

Chi phí mua rào vuông góc với bờ là 40000.3x = 120000x (đồng).

Chi phí mua rào song song với bờ là 50000.2y = 100000y (đồng).

Tồng chi phí bác nông dân có thể bỏ ra là 60000000 đồng nên ta có:

$120000x + 100000y = 60000000 \Leftrightarrow 6x + 5y = 3000 \Leftrightarrow y = 600 - \frac{6}{5}x$.

Điều kiện: $y > 0 \Leftrightarrow 600 - \frac{6}{5}x > 0 \Leftrightarrow x < 500$.

Diện tích khu đất rào được là:

$S = 2xy = 2x\left( {600 - \frac{6}{5}x} \right) = 1200x - \frac{{12}}{5}{x^2}$.

Xét hàm số $f(x) = 1200x - \frac{{12}}{5}{x^2}$ với $x \in (0;500)$.

$f'(x) = 1200 - \frac{{24}}{5}x = 0 \Leftrightarrow x = 250 \in (0;500)$.

Ta có: $f(0) = 0$; $f(250) = 150000$; $f(500) = 0$.

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = 1200x - \frac{{12}}{5}{x^2}$ với $x \in (0;500)$ là 150000 (${m^2}$).

Vậy diện tích lớn nhất của khu đất rào được là 150 nghìn ${m^2}$.

Xét dấu ac dựa vào tung độ của tiệm cận ngang.

Xét dấu cd dựa vào hoành độ của tiệm cận đứng.

Xét dấu bd dựa vào giao của đồ thị với trục tung.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $\frac{b}{d} < 0$ hay $bd < 0$. Vậy i) đúng.

Tiệm cận đứng $x = - \frac{d}{c}$ có hoành độ dương nên $x = - \frac{d}{c} > 0$ hay $cd < 0$. Vậy ii) sai.

Tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$ có tung độ dương nên $y = \frac{a}{c} > 0$ hay $ac > 0$. Vậy iii) đúng.

Vì $\{\begin{array}{l}bd<0\\ cd<0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}bd < 0\\cd < 0\end{array} \right.$ suy ra $bc > 0$. Vậy iv) đúng.

Vì $\{\begin{array}{l}bc>0\\ ac>0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}bc > 0\\ac > 0\end{array} \right.$ suy ra $ab > 0$. Vậy v) sai.

Vì $\{\begin{array}{l}bd<0\\ ab>0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}bd < 0\\ab > 0\end{array} \right.$ suy ra $ad < 0$. Vậy vi) đúng.

Vậy chỉ có ii) và vi) sai.

Sử dụng quy tắc tổng hợp lực, định lý cos trong tam giác.

Vẽ $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {{F_1}}$, $\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {{F_2}}$, $\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {{F_3}}$.

Vẽ hình bình hành OADB và hình bình hành ODEC.

Hợp lực tác động vào vật là $\overrightarrow F = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OE}$ (quy tắc hình bình hành).

Xét hình bình hành OADB:

$OD = \sqrt {O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB.\cos AOB}  = \sqrt {{7^2} + {{15}^2} + 2.15.7.\cos {{120}^o}}  = 13$.

Ta có: $\overrightarrow {CO} .\overrightarrow {CE}  =  - \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD}$

$=  - \overrightarrow {OC} .\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) =  - \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OB}$

$=  - OC.OA.\cos \widehat {AOC} - OC.OB.\cos \widehat {BOC}$

$=  - 12.15.\cos {120^o} - 12.7.\cos {120^o} = 132$ (sử dụng định lý cos trong tam giác AOC và BOC).

Khi đó $\cos \widehat {OCE} = \cos \left( {\overrightarrow {CO} ,\overrightarrow {CE} } \right)$

$= \frac{{\overrightarrow {CO} .\overrightarrow {CE} }}{{\left| {\overrightarrow {CO} } \right|.\left| {\overrightarrow {CE} } \right|}} = \frac{{132}}{{12.13}} = \frac{{11}}{{13}}$.

Sử dụng định lý cos trong tam giác OEC có:

$OE = \sqrt {C{O^2} + C{E^2} - 2.CO.CE.\cos \widehat {OCE}}$

$= \sqrt {{{12}^2} + {{13}^2} - 2.12.13.\frac{{11}}{{13}}}  = 7$.

Vậy độ lớn hợp lực $\overrightarrow F = \overrightarrow {OE}$ bằng 7 N.

Tìm tọa độ A, C dựa vào khoảng cách của chúng đến các mặt phẳng tọa độ.

Tìm B dựa vào lý thuyết vecto cùng phương.

Ta có: A(1,5; 1; -0,5) và C(1; 3; 2), suy ra $\overrightarrow {AC}  = ( - 0,5;2;2,5)$.

Vì B thuộc mặt phẳng (Oxy) nên $B({x_B};{y_B};0)$.

$\overrightarrow {BC}  = (1 - {x_B};3 - {y_B};2 - 0) = (1 - {x_B};3 - {y_B};2)$.

Vì A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C nên $\overrightarrow {AC}  = k\overrightarrow {BC}$

hay $\{\begin{array}{l}k(1-x_B)=-0,5\\ k(3-y_B)=2\\ 2k=2,5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}k=\frac{5}{4}\\ x_B=\frac{7}{5}\\ y_B=\frac{7}{5}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}k(1 - {x_B}) =  - 0,5\\k(3 - {y_B}) = 2\\2k = 2,5\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}k = \frac{5}{4}\\{x_B} = \frac{7}{5}\\{y_B} = \frac{7}{5}\end{array} \right.$.

Vậy $a = \frac{7}{5}$ suy ra 5a = 7.

Công thức: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}$.

Cỡ mẫu: n = 4 + 6 + 15 + 12 + 3 = 40.

Do $\frac{n}{4} = 10$ nên ${Q_1} = 60$.

Do $\frac{{3n}}{4} = 30$ nên nhóm chứa ${Q_3}$ là [90;120).

${Q_3} = 90 + \frac{{\frac{{3.40}}{4} - (4 + 6 + 15)}}{{12}}(120 - 90) = 102,5$.

Vậy ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 102,5 - 60 = 42,5$.