Đề giữa kì 1 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường Nguyễn Bỉnh Khiêm – Hà Nội

Hàm số đồng biến trên khoảng đồ thị đi lên từ trái sang hoặc y' > 0.

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;3).

Quan sát đồ thị.

Hàm số đạt cực đại tại x = -1.

Quan sát đồ thị.

Từ quý I năm 2021 đến quý III năm 2022, lợi nhuận trước thuế theo quý của công ty X đạt giá trị lớn nhất bằng 270 tỷ đồng.

Sử dụng khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Cho hàm số $y = f(x)$.

Đường thẳng $y = y_{0}$ là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong những điều kiện sau:

$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}y = y_{0}$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}y = y_{0}$.

Đường thằng $x = x_{0}$ là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} +}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} +}y = - \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} -}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} -}y = - \infty$.

Đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$ có đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là $x = 1$, $y = 2$.

Thay x = -2 vào hàm số, nếu y = -3 thì đó là hàm số của đồ thị trong hình.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (-2;-3) nên thay x = -2 lần lượt vào các hàm số, chỉ có hàm số $y = -x^3 - 3x^2 + 1$ cho kết quả y = -3.

Vậy đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y = -x^3 - 3x^2 + 1$.

Dựa vào các đường tiệm cận và tính đơn điệu của hàm số.

Quan sát bảng biến thiên, thấy đồ thị có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 1. Ta loại đáp án B.

Xét đáp án A: $y' = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0$, $\forall x \ne 1$.

Xét đáp án C: $y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0$, $\forall x \ne 1$.

Xét đáp án D: $y' = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0$, $\forall x \ne 1$.

Ta thấy chỉ có hàm số ở đáp án A đồng biến trên từng khoảng xác định (như bảng biến thiên).

Vậy hàm số cần tìm là $y = \frac{2x - 3}{x - 1}$.

Lập bảng xét dấu.

Bảng xét dấu:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.

Giá trị cực tiểu là f(-2).

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ đạt cực trị tại điểm mà qua đó đạo hàm đổi dấu.

f'(x) đổi dấu khi qua x = 0 và x = 1, mà hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.

Lập bảng xét dấu đạo hàm.

$y' = \frac{{(2x - 1)(x - 1) - ({x^2} - x + 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}}$

$= \frac{{2{x^2} - 3x + 1 - {x^2} + x - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{(x - 1)}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 2$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2).

Tìm t sao cho hàm số v' đạt GTLN trên đoạn [0;12].

$v = s' = - \frac{3}{2}{t^2} + 18t$;

$v' = - 3t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 6$.

Xét đoạn [0;12], ta có:

$v(0) = 0$, $v(6) = 54$, $v(12) = 0$.

Vậy vận tốc của chất điểm đạt GTLN tại t = 6.

Sử dụng khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Cho hàm số $y = f(x)$.

Đường thẳng $y = y_{0}$ là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong những điều kiện sau:

$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}y = y_{0}$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}y = y_{0}$.

Đường thằng $x = x_{0}$ là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} +}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} +}y = - \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} -}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} -}y = - \infty$.

Quan sát bảng biến thiên, thấy đồ thị có hai tiệm cận ngang là y = 2 và y = 3, tiệm cận đứng là x = 0.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và ngang là 3.

Tìm số nghiệm của phương trình y = 0.

$y = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 3 = 0$ (vô nghiệm vì ${x^2} + 3x + 3 > 0$ với mọi x).

Vậy đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Quan sát đồ thị và trả lời.

Dựa vào các điểm đồ thị đi qua và cực trị của hàm số để tìm hệ số a, b, c, d.

a) Đúng. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

b) Sai. Hàm số đã cho nghịch biến trên (1; 3) và đồng biến trên $(3; + \infty )$.

c) Sai. Hàm số không có giá trị lớn nhất trên $(0; + \infty )$.

d) Đúng. Đồ thị đi qua các điểm (0; 1), (1; 5), (3; 1) và có điểm cực trị là (1;5) nên ta có hệ:

$\{\begin{array}{l}1=a{.0}^3+b{.0}^2+c.0+d\\ 5=a{.1}^3+b{.1}^2+c.1+d\\ 1=a{.3}^3+b{.3}^2+c.3+d\\ 0=3a{.1}^2+2b.1+c\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=-6\\ c=9\\ d=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}1 = a{.0^3} + b{.0^2} + c.0 + d\\5 = a{.1^3} + b{.1^2} + c.1 + d\\1 = a{.3^3} + b{.3^2} + c.3 + d\\0 = 3a{.1^2} + 2b.1 + c\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 6\\c = 9\\d = 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow a + b + c + d = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$.

a) Tính S(6).

b) Tìm S’(x).

c) Dựa vào $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S(x)$ và sự biến thiên của hàm S(x).

d) Dựa vào sự biến thiên của hàm S’(x) để kết luận.

a) Đúng. $S(6) = 200\left( {5 - \frac{9}{{6 + 2}}} \right) = 775$.

b) Đúng. $S'(x) = 200\left[ { - \frac{{ - 9}}{{{{(x + 2)}^2}}}} \right] = \frac{{1800}}{{{{(x + 2)}^2}}}$.

c) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {200\left( {5 - \frac{9}{{x + 2}}} \right)} \right] = 1000$.

Mặt khác, vì S’(x) > 0 với mọi $x \ge 1$ nên S(x) tăng nhưng luôn bé hơn 1000. Do đó, số sản phẩm không thể vượt quá 1000.

d) Đúng. Tốc độ tăng trưởng là $S'(x) = \frac{{1800}}{{{{(x + 2)}^2}}}$.

Vì $S''\left( x \right) = - \frac{{3600}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}} < 0$ với mọi $x \ge 1$ nên S’(x) là hàm giảm theo thời gian, tức là doanh số tăng trưởng chậm dần.

a) Áp dụng công thức tính đạo hàm.

b) Ứng dụng đạo hàm, lập BBT hoặc dựa vào đặc điểm nhận dạng của đồ thị để xác định điểm cực trị.

c) Tìm tiệm cận xiên của đồ thị.

d) Gọi các điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là (x; y). Biểu diễn y theo x. Tìm điều kiện để x, y nguyên.

a) Sai. $y' = \frac{{(2x + 1)(x + 2) - ({x^2} + x + 7)}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x - 5}}{{{{(x + 2)}^2}}}$.

b) Đúng. $y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 1\\x = - 5\end{array}$ \right..

Ta có y(1) = 3 và y(-5) = -9, như vậy được hai điểm A(-5; -9) và B(1; 3).

Vì hệ số của ${x^2}$ và hệ số của $x$ ở mẫu cùng dấu nên A là điểm cực đại và B là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

c) Đúng. $y = \frac{{{x^2} + x + 7}}{{x + 2}} = x - 1 + \frac{9}{{x + 2}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{9}{{x + 2}} = 0$ nên đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

d) Sai. Các điểm có tọa độ (x; y) (với x, y là các số nguyên) thuộc đồ thị khi và chỉ khi $x \in \mathbb{Z}$ và $\frac{9}{{x + 2}} \in \mathbb{Z}$, hay (x + 2) là các ước nguyên của 9, hay $x \in \{ \pm 1; \pm 3; \pm 9\}$.

Do đó đồ thị hàm số đi qua 6 điểm có tọa độ nguyên.

Doanh thu = Giá bán 1 sản phẩm . Số sản phẩm bán ra.

Chi phí = Chi phí trung bình mỗi sản phẩm . Số sản phẩm được sản xuất.

Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí.

Ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN của hàm lợi nhuận.

a) Đúng. Doanh thu: $F(x) = x.p(x)$

$= x(1400 - 7,5x) = 1400x - 7,5{x^2}$.

b) Đúng. Chi phí: $C(x) = x\bar C(x)$

$= x\left( {{x^2} - 6x + 140 + \frac{{750}}{x}} \right)$

$= {x^3} - 6{x^2} + 140x + 750$.

c) Đúng. Lợi nhuận: $P(x) = F(x) - C(x)$

$= (1400x - 7,5{x^2}) - ({x^3} - 6{x^2} + 140x + 750)$

$= - {x^3} - 1,5{x^2} + 1260x - 750$.

d) Đúng. Xét trên đoạn [1; 186]:

$P'(x) = - 3{x^2} - 3x + 1260 = 0 \Leftrightarrow x = 20$.

P(1) = 507,5; P(20) = 15 850; P(186) = -6 253 140.

Vậy lợi nhuận lớn nhất mà doanh nghiệp thu được là 15 850 (USD).

Tìm m sao cho y' < 0 trên tập xác định.

Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

$y' = \frac{{m . 2 - 2025 . 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{2m - 2025}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$.

Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định:

$y' < 0 \Leftrightarrow 2m - 2025 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{2025}}{2} = 1012,5$.

Vì m là số nguyên dương nên $m \in \left\{ {1,2,3, \ldots ,1012} \right\}$.

Vậy có 1012 số nguyên dương m thỏa mãn.

Đặt $DP = x$ ($0 \le x \le 1$) và $BQ = y$ ($0 \le y \le 1$).

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, tính $PQ = PM + MQ$.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác $PCQ$ vuông tại $C$, tính $PQ$ theo $x$.

Ứng dụng đạo hàm, tìm $DP = x$ sao cho $PQ$ đạt GTNN.

Đặt $DP = x$ ($0 \le x \le 1$) và $BQ = y$ ($0 \le y \le 1$).

Khi đó: $PC = 1 - x$ và $QC = 1 - y$.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:

Tiếp tuyến $PD$ và $PM$ xuất phát từ $P$ nên $PM = PD = x$.

Tiếp tuyến $QB$ và $QM$ xuất phát từ $Q$ nên $QM = QB = y$.

Suy ra: $PQ = PM + MQ = x + y$.

Xét tam giác $PCQ$ vuông tại $C$, áp dụng định lý Pythagore:

$P{Q^2} = P{C^2} + Q{C^2}$

$\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {1 - y} \right)^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = 1 - 2x + {x^2} + 1 - 2y + {y^2}$

$2xy = 2 - 2x - 2y \Leftrightarrow xy + x + y = 1$

$\Leftrightarrow y\left( {x + 1} \right) = 1 - x \Leftrightarrow y = \frac{{1 - x}}{{x + 1}}$.

Ta có $PQ = x + y = x + \frac{{1 - x}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}$ trên $\left[ {0;1} \right]$:

$f{\rm{'}}\left( x \right) = \frac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 + \sqrt 2$ (do $0 \le x \le 1$).

Ta có $f(0) = f(1) = 1$; $f(\sqrt 2 - 1) = 2\sqrt 2 - 2$.

Vậy PQ nhỏ nhất bằng $2\sqrt 2 - 2$ tại $x = DP = \sqrt 2 - 1 \approx 0,41$.

Đường thằng $x = x_{0}$ là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} +}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} +}y = - \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} -}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} -}y = - \infty$.

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) là y = ax + b nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - ( ax + b )} \right] =0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - ( ax + b )} \right] =0$.

Áp dụng biểu thức tính góc giữa hai vecto trên mặt phẳng tọa độ:

$\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}$.

Đồ thị hàm số $y = - 2x + 1 + \frac{2}{{x - 2}}$ có tiệm cận đứng là x = 2 và tiệm cận xiên là y = -2x + 1, hay 2x + y – 1 = 0.

Vecto pháp tuyến của hai đường tiệm cận trên lần lượt là $\overrightarrow u = (1;0)$ và $\overrightarrow v = (2;1)$.

$\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

${\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \frac{1}{4} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{1}{2}$ (vì $\alpha$ là góc nhọn).

Ứng dụng đạo hàm, tìm hai điểm cực trị của đồ thị hàm số, từ đó tính diện tích tam giác.

$y' = 3{x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\x = 4 \Rightarrow y = - 30\end{array}$ \right..

Hai điểm cực trị của đồ thị là A(0; 2) và B(4; -30).

A thuộc trục Oy và OA = 2.

$d\left( {B,Oy} \right) = \left| {{x_B}} \right| = 4$.

${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}.OA.d(B,Oy) = \frac{1}{2}.2.4 = 4$.

Đặt độ dài đoạn BM = x (km) với $0 \le x \le 7$.

Tính tổng thời gian di chuyển t(x). Lập bảng biến thiên, tìm x để t(x) nhỏ nhất.

Đặt độ dài đoạn BM = x (km) với $0 \le x \le 7$.

Khoảng cách chèo thuyền:

$AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = \sqrt {{5^2} + {x^2}} = \sqrt {{x^2} + 25}$ (km).

Khoảng cách đi bộ: $MC = BC - BM = 7 - x$ (km).

Tổng thời gian di chuyển: $t\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - x}}{6}$ (giờ).

Đạo hàm: $t{\rm{'}}\left( x \right) = \frac{x}{{4\sqrt {{x^2} + 25} }} - \frac{1}{6}$.

Xét trên đoạn [0; 7]:

$t'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{4\sqrt {{x^2} + 25} }} = \frac{1}{6}$

$\Leftrightarrow 6x = 4\sqrt {{x^2} + 25} \Leftrightarrow 3x = 2\sqrt {{x^2} + 25}$

$\Leftrightarrow 9{x^2} = 4\left( {{x^2} + 25} \right) \Leftrightarrow {x^2} = 20$

$\Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 \approx 4,47$ (km).

Khoảng cách từ M đến B để người đó đến kho nhanh nhất là $BM = 2\sqrt 5 \approx 4,47$ km.

Từ thể tích và điều kiện chiều cao h của hình trụ, tìm điều kiện bán kính hình cầu.

Chi phí để làm bể phụ thuộc vào diện tích toàn bộ bề mặt ngoài của bể, từ đó tìm r sao cho diện tích bề mặt nhỏ nhất.

Thể tích toàn bộ bể gồm 1 hình trụ (chiều cao h, bán kính r) và 1 hình cầu bán kính r:

$V = \pi {r^2}h + \frac{4}{3}\pi {r^3} = 9\pi \Leftrightarrow {r^2}h + \frac{4}{3}{r^3} = 9$

$\Leftrightarrow h = \frac{{9 - \frac{4}{3}{r^3}}}{{{r^2}}} = \frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r$.

Ta có $$h \ge 2 \Leftrightarrow \frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r \ge 2$$

$$\Leftrightarrow \frac{{27 - 4{r^3} - 6{r^2}}}{{3{r^2}}} \ge 0$$

$$\Leftrightarrow 4{r^3} + 6{r^2} - 27 \le 0$$

$$\Leftrightarrow (2r - 3)(2{r^2} + 6r + 9) \le 0$$ (*)

Vì $$2{r^2} + 6r + 9 = 2{\left( {r + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{9}{2} > 0$$ với mọi r nên (*) xảy ra khi  $2r - 3 \le 0 \Leftrightarrow r \le 1,5$.

Chi phí làm bể tỉ lệ thuận với diện tích bề mặt ngoài:

$S(r) = 2\pi rh + 4\pi {r^2} = 2\pi r\left( {\frac{9}{{{r^2}}} - \frac{4}{3}r} \right) + 4\pi {r^2}$

$= \frac{{18\pi }}{r} - \frac{{8\pi {r^2}}}{3} + 4\pi {r^2} = \frac{{18\pi }}{r} + \frac{{4\pi {r^2}}}{3}$.

$S'(r) = - \frac{{18\pi }}{{{r^2}}} + \frac{{8\pi r}}{3} = \pi \left( {\frac{{8{r^3} - 54}}{{3{r^2}}}} \right)$.

$S'(r) = 0 \Leftrightarrow 8{r^3} - 54 = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{6,75}} \approx 1,89 \notin \left( {0;1,5} \right]$.

Xét trên nửa khoảng $\left( {0;1,5} \right]$, $S'(r) < 0$ nên hàm số $S(r)$ nghịch biến trên $\left( {0;1,5} \right]$, hay $S(r)$ đạt GTNN tại $r = 1,5$.