Đề giữa kỳ 1 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên

Áp dụng công thức hiệu của hai vecto và định nghĩa hai vecto bằng nhau.

$\overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {A'C'} + \overrightarrow {CD}$

$= \overrightarrow {A'C'} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {AD}$.

Áp dụng tính chất trung điểm của vecto.

$\left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {SO} } \right| = 2SO = 2\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

Lập bảng xét dấu của đạo hàm.

$y' = - {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 2\\x = 0\end{array}$ \right.

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số đồng biến trên (0;2).

Quan sát bảng biến thiên.

Hàm số đồng biến trên $\left( {- 7; - 4} \right)$ và $\left( {- 4;4} \right)$.

$\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k = (a;b;c)$.

$\overrightarrow u = - 2\overrightarrow j + \overrightarrow i + 3\overrightarrow k = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k = (1; - 2;3)$.

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].

Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].

$f'(x) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Ta có $f( - 3) = - 16$; $f( - 1) = 4$; $f(1) = 0$; $f(3) = 20$.

Vậy GTNN trên đoạn [-3;3] là -16.

Với hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$, ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$.

$\overrightarrow {AB} = \left( {1 - \frac{1}{2};\frac{8}{3} + \frac{1}{3};\frac{3}{2} - 5} \right) = \left( {\frac{1}{2};3; - \frac{7}{2}} \right)$.

Tọa độ của điểm $M$ là tọa độ $\overset{\rightarrow}{OM}$.

Tọa độ điểm M là $\left( {- 1;0; - 2} \right)$.

Dựa vào định nghĩa hai vecto ngược hướng.

$\overset{\rightarrow}{AA'},\overset{\rightarrow}{C'C}$ là hai vecto ngược hướng.

Tìm nghiệm $x_0$ của phương trình y'' = 0.

Tâm đối xứng của đồ thị là $(x_0;f(x_0))$.

$y' = {x^2} + 2x - 3$; $y'' = 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$.

Tại $x = - 1$ thì $y = \frac{{14}}{3}$.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $\left( { - 1;\frac{{14}}{3}} \right)$.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị.

Đồ thị có tiệm cận đứng x = 2 và tiệm cận ngang y = 1. Tâm đối xứng của đồ thị là (2;1).

Quan sát đồ thị.

Đồ thị có 2 đường tiệm cận gồm 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận xiên.

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên khảo sát hàm số.

$y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array}$ \right. \Leftrightarrow \left[ $\begin{array}{l}y\left( { - 1} \right) = 3\\y\left( 1 \right) =  - 1\end{array}$ \right.

Ta có bảng biến thiên:

a) Đúng. Từ BBT ta có: Điểm cực tiểu của hàm số là x = 1.

b) Sai. A(-1; 3), B(1; -1), C(-1; 2).

$\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5$,  $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = 1$.

$\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} \sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} }}$

$= \frac{{2.0 + \left( { - 4} \right)\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

$\sin \widehat {BAC} = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\widehat {BAC}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC}$ $= \frac{1}{2}.2\sqrt 5 .1.\frac{{\sqrt 5 }}{5} = 1$.

c) Sai. Từ BBT ta có hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1).

d) Đúng. ${x_1}.{x_2} = 1.( - 1) =  - 1$.

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm số.

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta thấy: $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\\x = 4\end{array}$ \right.

$f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1;4} \right)$.

$f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$.

Ta có bảng biến thiên:

a) Đúng. Quan sát bảng biến thiên, thấy y = f(x) đạt GTLN là f(1).

b) Sai. Hàm số y = f(x) có ba cực trị.

c) Sai. Khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ chứa khoảng hàm số y = f(x) nghịch biến.

d) Đúng. Quan sát bảng biến thiên, thấy f(1) > f(2) > f(4).

Áp dụng công thức v = s', a = v'.

Ta có $v = s' = - 3{t^2} + 18t + 1$; $a = v' = - 6t + 18$.

a) Đúng. Vận tốc trung bình của chuyển động trong t = 2 (s) đầu tiên bằng:

$\frac{{S\left( 2 \right) - S\left( 0 \right)}}{2} = 15$ (m/s).

b) Sai. Quãng đường đi được sau khi xuất phát 1 (s) là s(1) = 19 (m).

c) Đúng. a(2) = 6 $\left( {m/{s^2}} \right)$, a(4) = -6 $\left( {m/{s^2}} \right)$.

d) Đúng. $v = - 3{t^2} + 18t + 1 = - 3{t^2} + 18t - 27 + 28$

$= 28 - 3{\left( {t - 3} \right)^2} \le 28$.

Dấu bằng xảy ra khi t = 3 (s).

Trong không gian, cho hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0$. Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a$, $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b$. Khi đó, $\widehat {AOB}$ $\left( {{0^o} < \widehat {AOB} < {{180}^o}} \right)$ được gọi là góc giữa hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, kí hiệu là $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Để tính tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ trong không gian, ta áp dụng công thức:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

a) Sai. Vì $\overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {BC}$ nên  $\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} = BD.BC.\cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 2a\sqrt 2 .2a.\cos 45^\circ = 4{a^2}$.

b) Đúng. Vì $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$ nên ta có $\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD'}$ theo quy tắc hình hộp.

c) Đúng. Gọi $I = AC \cap BD$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ADC$ nên $DG = \frac{2}{3}DI = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}DB = \frac{1}{3}DB \Rightarrow BG = \frac{2}{3}BD$.

Ta có $\overrightarrow {GO} = \overrightarrow {BO} - \overrightarrow {BG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC'} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD'} - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)$ $= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}$.

d) Sai. Ta thấy $\overrightarrow {DA'} = \overrightarrow {CB'}$ nên góc $\left( {\overrightarrow {DA'} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CB'} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 180^\circ - \widehat {ACB'}$.

Vì $AC,\,\,B'C,\,\,AB'$ là đường chéo của các hình vuông bằng nhau nên $AC = B'C = AB'$

$\Rightarrow \Delta ACB'$ đều $\Rightarrow \widehat {ACB'} = 60^\circ$. Vậy $\left( {\overrightarrow {A'D} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 180^\circ - \widehat {ACB'} = 120^\circ$.

Tìm tập hợp các điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thỏa mãn đẳng thức $M{B^2} + M{C^2} = 44$. Đây là phương trình của một mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ và bán kính $R$.

Khoảng cách ngắn nhất từ điểm $A$ cố định đến điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ được tính bằng công thức: $A{M_{{\rm{min}}}} = \left| {IA - R} \right|$.

Gọi tọa độ điểm $M$ là $M\left( {x;y;z} \right)$.

Ta có:

$M{B^2} = {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} - 8x + 16 + {y^2} + {z^2}$.

$M{C^2} = {x^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} - 12y + 36 + {z^2}$.

Theo đề bài: $M{B^2} + M{C^2} = 44$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 8x - 12y + 52 = 44$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 8x - 12y + 8 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 6y + 4 = 0$.

Đây là phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {2;3;0} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {0^2} - 4} = 3$.

Khoảng cách từ vệ tinh $A\left( {0;0;8} \right)$ đến tâm $I\left( {2;3;0} \right)$ là:

$IA = \sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 8} \right)}^2}} = \sqrt {77}$.

Khoảng cách ngắn nhất giữa hai vệ tinh $A$ và $M$ là:

$A{M_{{\rm{min}}}} = IA - R = \sqrt {77} - 3 \approx 8,77496 - 3 \approx 5,77$ (nghìn km).

Biến đổi $y = f\left( x \right) = \frac{x}{m} + \frac{b}{m} + \frac{c}{{mx}}$ để xác định tiệm cận xiên $y = \frac{1}{m}x + \frac{b}{m}$. Hệ số góc tiệm cận xiên là $\frac{1}{m}$.

Từ hệ số góc bằng $\frac{1}{3} \Rightarrow m = 3$

Thay $m = 3$ và tọa độ hai điểm $A\left( { - 1;1} \right)$, $B\left( {3;1} \right)$ vào hàm số để tìm $b$ và $c$, từ đó tính $f\left( 2 \right)$.

Ta có $y = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{mx}} = \frac{1}{m}x + \frac{b}{m} + \frac{c}{{mx}}$.

Tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng $y = \frac{1}{m}x + \frac{b}{m}$.

Hệ số góc của tiệm cận xiên bằng $\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{m} = \frac{1}{3} \Rightarrow m = 3$.

Hàm số trở thành $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{3x}}$.

Do $\left( C \right)$ đi qua $A\left( { - 1;1} \right) \Leftrightarrow \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} + b\left( { - 1} \right) + c}}{{3\left( { - 1} \right)}} = 1$

$\Leftrightarrow 1 - b + c = - 3 \Leftrightarrow - b + c = - 4$ (1).

Do $\left( C \right)$ đi qua $B\left( {3;1} \right) \Leftrightarrow \frac{{{3^2} + b.3 + c}}{{3.3}} = 1$

$\Leftrightarrow 9 + 3b + c = 9 \Leftrightarrow 3b + c = 0$ (1).

Từ (1) và (2), ta được $b = 1$, $c = - 3$.

Suy ra hàm số là $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{3x}}$.

Vậy $f\left( 2 \right) = \frac{{{2^2} + 2 - 3}}{{3 \cdot 2}} = \frac{3}{6} = 0,5$.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số $g\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} - 7x$ trên $\left[ {0;2} \right]$ bằng cách lập bảng biến thiên.

Xác định $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right)$, từ đó suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) + m = 1 \Rightarrow m$.

Xét $g\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} - 7x$ trên $\left[ {0;2} \right]$.

Ta có $g{\rm{'}}\left( x \right) = 3{x^2} - 4x - 7$.

Cho $g{\rm{'}}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1 \notin \left[ {0;2} \right]}\\{x = \frac{7}{3} \notin \left[ {0;2} \right]}\end{array}$} \right..

Do đó, $g{\rm{'}}\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {0;2} \right)$, suy ra $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ {0;2} \right]$.

Giá trị lớn nhất của $g\left( x \right)$ trên $\left[ {0;2} \right]$ đạt được tại $x = 0$: $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = 0$.

Do $f\left( x \right) = g\left( x \right) + m$, nên:

$\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) + m = 0 + m = m$.

Theo đề bài $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow m = 1$.

Tìm hàm tổng chi phí $T\left( x \right) = x.C\left( x \right)$.

Hàm lợi nhuận $L\left( x \right) = f\left( x \right) - T\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {0;200} \right]$.

Tính đạo hàm $L{\rm{'}}\left( x \right)$, lập bảng biến thiên để xác định $x$ cho lợi nhuận lớn nhất.

Tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là:

$T\left( x \right) = x.C\left( x \right) = x\left( {1000 + x + \frac{{25000}}{x}} \right)$

$= {x^2} + 1000x + 25000$ (đồng).

Hàm lợi nhuận thu được khi bán $x$ sản phẩm là:

$L\left( x \right) = f\left( x \right) - T\left( x \right)$

$= \left( {{x^3} - 1550{x^2} + 128500x + 30000} \right) - \left( {{x^2} + 1000x + 25000} \right)$

$= {x^3} - 1551{x^2} + 127500x + 5000$ với $x \in \left( {0;200} \right]$.

Xét đạo hàm: $L{\rm{'}}\left( x \right) = 3{x^2} - 3102x + 127500$.

Cho $L{\rm{'}}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1034x + 42500 = 0$

$$\Leftrightarrow \left[$$$\begin{array}{l}x \approx 42,89 \in \left( {0;200} \right]\\x \approx 991,12 \notin \left( {0;200} \right]\end{array}$ \right..

Lập bảng biến thiên trên $\left( {0;200} \right]$, được kết quả:

Trên $\left( {0;42,89} \right)$, $L{\rm{'}}\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow L\left( x \right)$ đồng biến.

Trên $\left( {42,89;200} \right]$, $L{\rm{'}}\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow L\left( x \right)$ nghịch biến.

Mà $x$ là số nguyên nên ta xét $x = 42$ và $x = 43$.

Do $L(43) > L(42)$ nên ông A cần sản xuất 43 sản phẩm để đạt lợi nhuận lớn nhất.

Tính $y{\rm{'}}$, cho $y{\rm{'}} = 0$ để tìm hoành độ các điểm cực trị.

Lập bảng biến thiên xác định điểm cực tiểu $M\left( {a;b} \right)$.

Dựa vào mối liên hệ $a + b = 1$ để giải tìm $m$.

Ta có $y = {x^3} - 3{x^2} + m$.

$y{\rm{'}} = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)$.

$y{\rm{'}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}$} \right..

Vì hệ số $a = 1 > 0$ nên đồ thị đạt cực đại tại $x = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$.

Do đó, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là:

$M\left( {2;y\left( 2 \right)} \right) = M\left( {2;{2^3} - 3 . {2^2} + m} \right)$

$= M\left( {2;m - 4} \right)$.

Theo đề bài $M\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow a = 2$ và $b = m - 4$.

Mà $a + b = 1 \Leftrightarrow 2 + \left( {m - 4} \right) = 1$

$\Leftrightarrow m - 2 = 1 \Leftrightarrow m = 3$.

Gọi $x$ (cm) là độ dài cạnh hình vuông nhỏ bị cắt bỏ ở bốn góc ($0 < x < 6$).

Xác định các kích thước của hình hộp chữ nhật không nắp.

Viết công thức thể tích $V\left( x \right)$, dùng đạo hàm để tìm ${V_{{\rm{max}}}}$.

Gọi $x$ (cm) là độ dài cạnh của hình vuông cắt bỏ ở mỗi góc ($0 < x < 6$).

Kích thước đáy của cái hộp là hình vuông có cạnh $12 - 2x$ (cm).

Chiều cao của cái hộp là $x$ (cm).

Thể tích của cái hộp là:

$V\left( x \right) = x{\left( {12 - 2x} \right)^2}$

$= 4x{\left( {6 - x} \right)^2}$ $\left( {0 < x < 6} \right)$.

$V{\rm{'}}\left( x \right) = 4\left( {3{x^2} - 24x + 36} \right)$

$= 12\left( {{x^2} - 8x + 12} \right)$.

$V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array}$ \right..

Lập bảng biến thiên trên $\left( {0;6} \right)$ suy ra $V\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 2$.

Khi đó ${V_{{\rm{max}}}} = V\left( 2 \right) = 4.2.{\left( {6 - 2} \right)^2} = 8.16 = 128$ ${\rm{(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}$.