Đề giữa học kỳ 1 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường THPT Hiệp Hòa 2 – Bắc Giang

Đồ thị hàm số nghịch biến trên khoảng đồ thị đi lên từ trái sang hay y' < 0.

Hàm số nghịch biến trên $\left( {0;1} \right)$.

Dựa vào tiệm cận đứng và giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Tiệm cận đứng của đồ thị là x = 2 nên loại đáp án B.

Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm, giả sử hoành độ là ${x_1} < {x_2}$.

Quan sát đồ thị, ta thấy $- 1 < {x_1} < 0$ và $1 < {x_2} < 2$.

Do đó phương trình y = 0 có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn điều kiện trên.

Thấy chỉ có phương trình ${x^2} - x - 1 = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn.

Vậy đồ thị ở hình vẽ là của hàm số $y = \dfrac{x^{2} - x - 1}{x - 2}$.

Quan sát đồ thị.

M + m = 3 + (-2) = 1.

Áp dụng quy tắc hiệu, quy tắc ba điểm, khái niệm hai vecto bằng nhau.

$\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB}$.

Áp dụng công thức tính tích vô hướng $\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)$.

$\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 3.4.\cos {60^o} = 6$.

Sử dụng khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Cho hàm số $y = f(x)$.

Đường thẳng $y = y_{0}$ là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong những điều kiện sau:

$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}y = y_{0}$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}y = y_{0}$.

Đường thằng $x = x_{0}$ là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} +}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} +}y = - \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} -}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} -}y = - \infty$.

Quan sát BBT ta thấy đồ thị có đường tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 0.

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 2.

Xét dấu đạo hàm y'.

$y' = \frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0$, $\forall x \ne - 1$.

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( {- \infty; - 1} \right)$ và $\left( {- 1; + \infty} \right)$.

Quan sát đồ thị.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 3.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - \frac{d}{c}$.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x + 2}{x - 1}$ là đường thẳng x = 1.

Áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, khái niệm hai vecto bằng nhau.

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AB'}$;

$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AD'}$;

Mà $\overrightarrow {AB'} \ne \overrightarrow {AD'}$ nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} \ne \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'}$.

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].

Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].

$f'(x) = 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array}$ \right.

Ta có $f( - 2) = 8$, $f( - 1) = 15$, $f(2) = - 12$.

Vậy GTLN của hàm số trên [-2;2] là 15.

Số điểm cực trị của hàm số f(x) là số nghiệm của phương trình f’(x) hoặc điểm mà tại đó f’(x) không tồn tại và qua đó f’(x) đổi dấu.

Đối với f’(x) là hàm đa thức, số điểm cực trị của f(x) là số nghiệm bội lẻ của f’(x).

Các nghiệm đó là x = 2, x = -1, x = 1.

Do đó hàm số có 3 điểm cực trị.

Nếu s = s(t) là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì v = s’(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a(t) = v’(t) = s’’(t).

a) Đúng. $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^2} - 4t + 20$.

$v\left( 3 \right) = {3^2} - 4 . 3 + 20 = 17$ (m/s).

b) Đúng. $a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 2t - 4$.

$a\left( {10} \right) = 2.10 - 4 = 16$ $\left( {m/{s^2}} \right)$.

c) Sai. $v\left( t \right) = {t^2} - 4t + 20 > 0$ với mọi t không âm.

Do đó, quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên là:

$s\left( 5 \right) - s\left( 0 \right) = \frac{{290}}{3} - 5 = \frac{{275}}{3}$ (m).

d) Đúng. Đồ thị hàm vận tốc $v\left( t \right) = {t^2} - 4t + 20$ là một parabol có bề lõm hướng lên, tọa độ đỉnh là $t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2 . 1}} = 2$ (thỏa mãn $t \ge 0$).

Giá trị nhỏ nhất của vận tốc đạt được tại đỉnh $t = 2$:

$v\left( 2 \right) = {2^2} - 4 . 2 + 20 = 16$ (m/s).

Tính đạo hàm, khảo sát hàm số.

a) Đúng. $y = \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x - 3}} = - x - 6 - \frac{{14}}{{x - 3}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - ( - x - 6)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 14}}{{x - 3}} = 0$ nên đường thẳng $y = - x - 6$ là tiệm cận xiên của đồ thị $\left( C \right)$.

b) Đúng. Bảng biến thiên:

Hàm số đạt GTNN là $y\left( {3 - \sqrt {14} } \right) = 2\sqrt {14} - 9$.

c) Đúng. Vì $3 - \sqrt {14} < 0$ và $3 + \sqrt {14} > 0$.

d) Sai. Kết hợp quan sát bảng biến thiên, ta có $(2;3) \subset (3 - \sqrt {14} ;3)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng (2; 3).

Quan sát bảng biến thiên.

a) Đúng. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( {- \infty;1} \right)$ và $\left( {3;\, + \infty} \right)$ vì zalo

b) Sai. Số điểm cực tiểu của hàm số là 1.

c) Sai. Hàm số y = f(x) không có giá trị nhỏ nhất.

d) Sai. Ta có: $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right)$; $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$

$\Rightarrow y = f \left( 2 \left| \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \right| + 1 \right) - 4 \cos^2 x + 4 \cos x - 8$

$y = f \left( 2 \left| \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \right| + 1 \right) - 4 \left( \cos^2 x - \cos x + \frac{1}{4} \right) - 7$

$y = f \left( 2 \left| \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \right| + 1 \right) - 4 \left( \cos x - \frac{1}{2} \right)^2 - 7 \leq f \left( 2 \left| \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \right| + 1 \right) - 7$

Đặt $t = 2 \left| \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \right| + 1 \Rightarrow t \in [1; 3]$

Dựa vào BBT của hàm số $y = f(x)$, ta có: $f(t) \le 2$.

Suy ra $f\left( 2\left|\sin(x - \frac{\pi}{3})\right| + 1 \right) \leq 2$.

Vậy, $y = f\left( \left|\sin x - \sqrt{3} \cos x\right| + 1 \right) - 2 \cos 2x + 4 \cos x - 10 \leq 2 - 7 = -5$.

Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}

\cos x = \frac{1}{2} \\

\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0

\end{cases}$.

Áp dụng các phép toán với vecto trong không gian.

a) Sai. $VP = \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DA'} \ne \overrightarrow {A'D} = VT$.

b) Đúng. Theo quy tắc hình hộp:

$\left| {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = a\sqrt 3$.

c) Đúng. $\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {AD'} } \right)$

$= \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)$

$= \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$.

$\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}$.

$\overrightarrow {IG} = \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) - \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} } \right)$

$= \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}$.
Vậy $6\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {AB} + 4\overrightarrow {AD} + 3\overrightarrow {AA'}$.

d) Đúng. $\overrightarrow {A'D} . \overrightarrow {IG}$

$= \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} } \right) . \left( {\frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} } \right)$

$= \frac{2}{3}{\overrightarrow {AD} ^2} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AA'} ^2} = \frac{2}{3}{a^2} - \frac{1}{2}{a^2} = \frac{1}{6}{a^2}$.

${\left| {\overrightarrow {IG} } \right|^2} = {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2}{\overrightarrow {AB} ^2} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}{\overrightarrow {AA'} ^2}$

$= \left( {\frac{1}{{36}} + \frac{4}{9} + \frac{1}{4}} \right){a^2} = \frac{{26}}{{36}}{a^2}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {IG} } \right| = \frac{{a\sqrt {26} }}{6}$.

$A'D$ là đường chéo của hình vuông $ADD'A'$ cạnh $a$, do đó $\left| {\overrightarrow {A'D} } \right| = a\sqrt 2$.

$\cos \left( {\overrightarrow {A'D} ,\overrightarrow {IG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'D} . \overrightarrow {IG} }}{{\left| {\overrightarrow {A'D} } \right| . \left| {\overrightarrow {IG} } \right|}} = \frac{{\frac{1}{6}{a^2}}}{{a\sqrt 2 . \frac{{a\sqrt {26} }}{6}}} = \frac{{\sqrt {13} }}{{26}}$.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Quan sát đồ thị, thấy: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty$ suy ra $a < 0$.

Gọi ${x_1},{x_2}$ lần lượt là hai điểm cực trị của hàm số đã cho $({x_1} < {x_2})$.

Quan sát đồ thị, thấy ${x_1} + {x_2} > 0$ nên $ab < 0$. Mà a < 0 suy ra b > 0.

Quan sát đồ thị, thấy ${x_1}.{x_2} > 0$ nên $ac > 0$. Mà a < 0 suy ra c < 0.

Đồ thị hàm số giao trục tung tại điểm có tung độ $d$ nằm phía trên trục hoành suy ra $d > 0$.

Vậy, trong các số $a,b,c,d$ có hai số $b,d$ dương.

Gọi $x$ là số máy mà công ty sử dụng để sản xuất. Lập hàm chi phí rồi tìm $x$ để hàm số đạt GTNN.

Gọi $x$ là số máy mà công ty sử dụng để sản xuất ($x$ là số nguyên dương).

Số quả bóng mà số máy sản xuất được trong một giờ là $30x$ (quả).

Thời gian số máy sản xuất $8000$ quả bóng là $\frac{8000}{30x} = \frac{800}{3x}$ (giờ).

Chi phí thiết lập cho số máy này là $2x$ (chục nghìn đồng).

Chi phí trả cho người giám sát là $192000 . \frac{800}{3x}$ (đồng) = $\frac{512}{x}$ (chục nghìn đồng).

Vậy tổng chi phí hoạt động mà công ty sử dụng số máy móc là $f(x) = 2x + \frac{512}{x}$ (chục nghìn đồng).

Xét hàm số $f(x) = 2x + \frac{512}{x}$ với $x$ nguyên dương.

Ta có:

$f'(x) = 2 - \frac{512}{x^2} = \frac{2x^2 - 512}{x^2}$;

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x^2 - 512 = 0 \Leftrightarrow x = 16$ (vì $x$ nguyên dương).

Bảng biến thiên:

Số máy móc công ty sử dụng để chi phí hoạt động thấp nhất khi hàm số $f(x) = 2x + \frac{512}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; +\infty)$ và $x$ nguyên dương.

Dựa vào bảng biến thiên trên thì $x = 16$ là số máy mà công ty nên sử dụng để chi phí hoạt động thấp nhất.

Nhân các vecto và áp dụng tính chất của hai vecto vuông góc.

$\left( {\vec a - \vec b} \right)\left( {2\vec a + \vec b} \right) = \vec a.2\vec a + \vec a.\vec b - \vec b.2\vec a - \vec b.\vec b$

$= 2{\vec a^2} + \vec a.\vec b - 2\left( {\vec a.\vec b} \right) - {\vec b^2}$

$= 2{\left| {\vec a} \right|^2} - \vec a.\vec b - {\left| {\vec b} \right|^2}$

$= 2 \cdot {6^2} - 0 - {4^2} = 56$.

Hàm số trên nghịch biến trên $(-\infty; +\infty)$ khi và chỉ khi $y' \le 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$.

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y' = -x^2 + 2mx - (6m + 40)$.

Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; +\infty)$ khi và chỉ khi $y' \le 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$.

Vì $y'$ là một tam thức bậc hai có hệ số $a = -1 < 0$, điều kiện để $y' \le 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$ là $\Delta' \le 0$.

Ta có $\Delta' \le 0 \Leftrightarrow m^2 - 6m - 40 \le 0$

$\Leftrightarrow -4 \le m \le 10$.

Số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là 15 giá trị.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số g(x).

Xét $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1}\\{x = - 3}\end{array}$} \right.. Ta có bảng xét dấu của $f'(x)$.

Xét $g'(x) = (2x + 3)f'({x^2} + 3x - m)$.

Hàm số $g(x) = f({x^2} + 3x - m) + {m^2} + 1$ đồng biến trên khoảng $(0;2) \Leftrightarrow g'(x) \ge 0,\forall x \in (0;2)$.

Vì $2x + 3 > 0,\forall x \in (0;2)$ nên $g'(x) \ge 0,\forall x \in (0;2)$

$\Leftrightarrow f'({x^2} + 3x - m) \ge 0,\forall x \in (0;2)$.

$\Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x^2} + 3x - m \le - 3}\\{{x^2} + 3x - m \ge 1}\end{array}$} \right.,\forall x \in (0;2)

$\Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x^2} + 3x \le m - 3}\\{{x^2} + 3x \ge m + 1}\end{array}$} \right.,\forall x \in (0;2) (*)

Xét hàm số $h(x) = {x^2} + 3x$ trên khoảng $(0;2)$.

Ta có $h'(x) = 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}$.

Bảng biến thiên của hàm $h(x)$ trên khoảng $(0;2)$ dưới đây:

Dựa vào bảng biến thiên trên, từ (*) ta được:

$\left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m - 3 \ge 10}\\{m + 1 \le 0}\end{array}$} \right. \Leftrightarrow \left[ {$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m \ge 13}\\{m \le - 1}\end{array}$} \right..

Giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[ - 10;20]$ và thỏa $m \le - 1 \vee m \ge 13$ do đó ta tìm được các giá trị của tham số $m$ là $m \in \{ - 10; - 9; \ldots ; - 1;13;14; \ldots ;20\}$.

Vậy tổng số giá trị của tham số $m$ là:

$\left[ {( - 1 + 10) + 1} \right] + \left[ {(20 - 13) + 1} \right] = 18$.

Đường thẳng y = ax + b $(a \ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$.

Ta có $y = f(x) = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = 2x - 1 + \frac{1}{{x - 1}}$.

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (2x - 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (2x - 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0$.

Do đó, đồ thị hàm số $y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = 2x - 1$.

Khi đó $a = 2$; $b = - 1$.

Vậy $a - b = 2 - ( - 1) = 3$.