Đề giữa kì 1 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường THPT Na Rì – Thái Nguyên

Dựa vào hình dạng đường cong, tiệm cận đứng của đồ thị và sử dụng phương pháp loại trừ.

Đường cong có dạng đồ thị của hàm phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất. Loại đáp án A, C.

Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng x = -2. Loại đáp án B.

Quan sát hình vẽ.

Giá trị cực đại của hàm số là 0.

Đường thẳng $y = {y_0}$ gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}$.

Đường thẳng $x = {x_0}$ gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 0, tiệm cận ngang là y = 1 và y = 3. Vậy đồ thị có 3 đường tiệm cận.

Tính y(0).

Ta có $y(0) = {0^3} + 2.0 - 8 = - 8$ nên đồ thị hàm số $y = {x^3} + 2x - 8$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -8.

Quan sát hình vẽ.

M = 4, m = -1.

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên.

$y' = - 12{x^3} + 12{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array}$ \right..

GTLN của hàm số trên là 2.

Quan sát hình vẽ.

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng y = x – 2.

Xét dấu đạo hàm.

$y' = 16{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Vì hệ số của ${x^4}$ là 4 > 0  nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$.

Quan sát hình vẽ.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; 1).

Quan sát hình vẽ.

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là x = -1.

Quan sát hình dạng của đồ thị.

Đường cong có dạng đồ thị của hàm đa thức bậc ba và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty$.

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 4$.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ $(ad - bc \ne 0,c \ne 0)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = \frac{a}{c}$.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{3x - 1}}{{x + 3}}$ là đường thẳng y = 3.

Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số.

a) Sai. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}1\}$.

b) Đúng. Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (x - 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{x - 1}} = 0$ nên tiệm cận xiên của (C) là y = x – 1.

c) Sai. Vì hàm số có xác định là $\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}1\}$ nên không nghịch biến trên khoảng (-1; 3).

d) Sai. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 1. Thay vào phương trình tiệm cận xiên:

y = 1 – 1 = 0. Do đó tâm đối xứng của (C) là điểm I(1; 0).

Ứng dụng đạo hàm.

a) Đúng. $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} - 12t + 9$.

b) Đúng. $a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 6t - 12$.

c) Sai. $a\left( t \right) = 6t - 12 > 0 \Leftrightarrow t > 2$. Do đó, vận tốc của chất điểm chỉ tăng khi t > 2.

d) Đúng. $S = \left| {\int\limits_0^1 {v(t)dt} } \right| + \left| {\int\limits_1^3 {v(t)dt} } \right| + \left| {\int\limits_3^4 {v(t)dt} } \right| = 12$.

Dựa vào tiệm cận ngang và giao của đồ thị với trục tung.

Đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng y = -1, do đó $\frac{a}{1} = - 1 \Leftrightarrow a = - 1$.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ -2 nên $\frac{{ - b}}{{ - 1}} = - 2 \Leftrightarrow b = - 2$.

Vậy ${a^2} - 8b = {( - 1)^2} - 8.( - 2) = 17$.

Tính đạo hàm N''(t), tìm GTLN của hàm số N'(t).

Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là: $N'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t$.

Đặt $f\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t$, với $0 \le t \le 12$.

Ta có: $f'\left( t \right) = - 6t + 24$, $f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 4$ (TM).

$f\left( 0 \right) = 0$, $f\left( 4 \right) = - {3.4^2} + 24.4 = 48$, $f\left( {12} \right) = - {3.12^2} + 24.12 = - 144$.

Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi $t = 4$ (tuần thứ 4).

Dựa vào các đặc điểm của đồ thị như hướng nhánh cuối, dấu của hai điểm cực trị, giao của đồ thị với trục tung.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$ nên a > 0.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d > 0.

Hai điểm cực trị của hàm số trái dấu nên a, c trái dấu, do đó c < 0.

Điểm uốn của đồ thị có hoành độ dương nên a, b trái dấu, do đó b < 0.

Quan sát bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng y’ < 0.

Số khoảng nghịch biến của hàm số trên là 2, gồm (-2; 0) và $(2; + \infty )$.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Sự biến thiên: $y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}$} \right. và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ và đồng biến trên mỗi khoảng $( - \infty ;0)$ và $(2; + \infty )$.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, ${y_{CD}} = 1$ và đạt cực tiểu tại x = 2, ${y_{CT}} = - 3$.

b) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$.

Ta có: $f'(x) = - 4{x^3} + 16x$.

Từ đó: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0 \in [0;3]}\\{x = - 2 \notin [0;3]}\\{x = 2 \in [0;3]}\end{array}$} \right..

Ta có: f(0) = -7, f(2) = 9, f(3) = -16.

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là -16 và 9.

Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số.

Chi phí để A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là C(x) = 100 + 30x (triệu đồng).

Doanh thu khi nhà máy A bán hết x tấn sản phẩm cho nhà máy B là:

$x.P(x) = x(45 - 0,001{x^2}) = 45x - 0,001{x^3}.$

Lợi nhuận thu được là:

$L(x) = 45x - 0,001{x^3} - (100 + 30x)$

$= - 0,001{x^3} + 15x - 100$.

Ta có:

$L'(x) = - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \approx 70,7}\\{x \approx - 70,7}\end{array}$} \right..

Bảng biến thiên:

Như vậy, nhà máy A cần bán cho nhà máy B 70,7 tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Sử dụng phương pháp tọa độ.

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Khi đó $M( - 2,6;x)$.

Gọi $B( - a;0)$ suy ra $A(0;\sqrt {25 - {a^2}} )$.

Phương trình AB: $\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 = 0$.

Do $CD\parallel AB$ nên phương trình CD: $\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - T = 0$.

Mà khoảng cách giữa AB và CD bằng 1,9 m nên

$\frac{{|T - 1|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt {25 - {a^2}} }}} \right)}^2}} }} = 1,9 \Rightarrow T = 1 + \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }}$.

Điều kiện để ô tô đi qua được là M, O nằm khác phía đối với bờ là đường thẳng CD.

Suy ra $\frac{{ - 2,6}}{{ - a}} + \frac{x}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 - \frac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }} \ge 0$

$\Leftrightarrow x \ge \sqrt {25 - {a^2}} + \frac{{9,5}}{a} - \frac{{2,6.\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}$.

Để cho nhanh, chúng ta dùng chức năng TABLE trong máy tính:

$f(X) = \sqrt {25 - {X^2}} + \frac{{9,5}}{X} - \frac{{2,6 \times \sqrt {25 - {X^2}} }}{X}$.

Với $STEP = \frac{5}{{29}};START = 0;END = 5$.

Thấy giá trị lớn nhất của $f(X) = \sqrt {25 - {X^2}} + \frac{{9,5}}{X} - \frac{{2,6 \times \sqrt {25 - {X^2}} }}{X}$ xấp xỉ 3,698.

Vậy chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên gần nhất với giá trị $x = 3,7$ (m).