Đề giữa kì 1 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường THPT Thanh Miện 2 – Hải Phòng

Cho đồ thị hàm số y = f(x).

Tại điểm mà đồ thị đổi hướng:

- Lên $\to$ xuống (trái sang phải): cực đại.

- Xuống $\to$ lên (trái sang phải): cực tiểu.

Dựa vào đồ thị, ta thấy điểm M(-3; -3) là điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K.

- Nếu f’(x) dương thì hàm số y = f(x) đồng biến trên K.

- Nếu f’(x) âm thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K.

Ta có với $y = {x^3} + 3x$ thì $y' = 3{x^2} + 3 > 0$, $\forall x$.

Lập bảng xét dấu của f'(x).

Ta có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array}$ \right.

Lập bảng xét dấu của f’(x) như sau:

Ta thấy f’(x) đổi dấu khi đi qua các điểm x = 0 và x = 1, do đó hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị.

Cho hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo f’(x). Tìm các giá trị ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in [a;b]$ sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$. Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\max }\limits_{[a;b]} f(x)$, giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\min }\limits_{[a;b]} f(x)$.

Ta có: $f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x$.

Xét $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\\x = 1\end{array}$ \right.

Ta có f(-1) = -2; f(0) = -1; f(2) = 7.

Vậy M = 7, m = -2. Do đó M + 3m = 7 + 3(-2) = 1.

Quan sát bảng biến thiên và trả lời.

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = 5$.

Quan sát đồ thị và trả lời.

Ta có: $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = - 4$, $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = 7$. Vậy M + m = 3.

Quan sát đồ thị và trả lời.

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên khoảng $( - \infty ; - 1)$ bằng -6.

Cho hàm số $y = f(x)$.

Đường thẳng $y = y_{0}$ là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong những điều kiện sau:

$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}y = y_{0}$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}y = y_{0}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 1 \Rightarrow y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Cho hàm số $y = f(x)$.

Đường thẳng $y = y_{0}$ là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong những điều kiện sau:

$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}y = y_{0}$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}y = y_{0}$.

Đường thằng $x = x_{0}$ là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} +}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} +}y = - \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} -}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} -}y = - \infty$.

Đồ thị hàm số có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 3$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty$

nên có 1 đường tiệm cận đứng là x = 1 và hai đường tiệm cận ngang là y = -3; y = 2.

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) là y = ax + b nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - ( ax + b )} \right] =0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - ( ax + b )} \right] =0$.

Ta xét phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{{2{x^2} + x - 5}}{{x + 3}}$ có dạng ${\rm{\Delta }}:y = ax + b$.

Ta xét $\left\{ \begin{array}{l}a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{f\left( x \right)}}{x}} \right) = 2 \Rightarrow b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - ax} \right) = - 5\\a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{f\left( x \right)}}{x}} \right) = 2 \Rightarrow b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {f\left( x \right) - ax} \right) = - 5\end{array} \right.$

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận xiên là $\Delta :y = 2x - 5$.

Vậy $a + b = - 3$.

Dựa vào hướng của đồ thị và các điểm đồ thị đi qua.

Dựa vào đồ thị suy ra hàm số cần tìm là hàm bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ với a > 0 nên loại C, D.

Đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm (0; 0), (2; -4) nên chọn A.

Dựa vào các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = -1 làm tiệm cận đứng, đường thẳng y = x + 1 làm tiệm cận xiên. do đó, hàm số cần tìm là $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}$.

Quan sát bảng biến thiên và trả lời.

Số nghiệm âm của phương trình $2f(x) - e = 0$ là số giao điểm có hoành độ âm của đồ thị y = f(x) và đường thẳng $y = \frac{e}{2}$.

a) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 5).

b) Đúng. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2.

c) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty$ nên a < 0.

d) Đúng. $2f(x) - e = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{e}{2} \approx 1,4$.

Đồ thị y = f(x) cắt đường thẳng $y = \frac{e}{2}$ tại ba điểm, trong đó có 1 điểm có hoành độ âm.

Vậy phương trình $2f(x) - e = 0$ luôn có một nghiệm âm.

Quan sát tiệm cận của đồ thị và các điểm thuộc đồ thị.

a) Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 2 \Leftrightarrow x + 2 = 0$  suy ra d = 2.

b) Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thi đi qua điểm C(0; -5) nên f(0) = -5.

c) Sai. Dựa vào đồ thị ta thấy tiệm cận xiên là đường thẳng y = ax + b và đi qua hai điểm A(-2; 0), B(0; -4) nên ta có hệ $\{\begin{array}{l}-2a+b=0\\ b=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-4\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\b = - 4\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 4\end{array} \right.$.

Suy ra tiệm cận xiên là đường thẳng y = -2x – 4.

d) Đúng. Từ các dữ kiện trên ta có $y = - 2x - 4 + \frac{c}{{x + 2}}$ mà f(0) = -5 suy ra c = -2.

Vây đồ thị hàm số đã cho có dạng $y = - 2x - 4 - \frac{2}{{x + 2}}$.

Quan sát hướng và các điểm thuộc đồ thị hàm số.

a) Đúng. $y' = f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c$.

Hàm số đạt cực tiểu tại  x = 0 nên c = 0.

Đồ thị đi qua điểm (0; 1) nên d = 1.

Đồ thị đi qua các điểm (-1; 2). (-2; 1) nên -a + b + 1 =2 và -8a + 4b + 1 = 1.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}-a+b=1\\ -8a+4b=0\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - a + b = 1}\\{ - 8a + 4b = 0}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.$

Vậy a = 1, b = 2, c = 0, d = 1. Trong 4 số a, b, c, d có ba số dương.

b) Sai. Có khoảng thuộc $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ mà hàm số nghịch biến.

c) Đúng. Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm có toạ độ (0; 1).

d) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

Tính f'(t), lập bảng biến thiên của hàm số f(t).

a) Đúng. Tốc độ truyền bệnh tại thời điểm t là $f'\left( t \right) = 90t - 3{t^2}$.

b) Sai. Số người nhiễm bệnh từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ 13 là:

$f\left( {13} \right) = {45.13^2} - {13^3} = 5408$ người.

c) Đúng. Ta có: $f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 90t - 3{t^2} = 0 \Rightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{t = 30}\\{t = 0\,\,\,}\end{array}$} \right..

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, đến ngày 45 thì không còn người nhiễm bệnh.

d) Sai. Từ bảng biến thiên ta thấy, trong 30 ngày đầu tiên thì số người nhiễm bệnh luôn tăng.

Lập bảng biến thiên của hàm P.

Xét hàm số $P = 15I - 1,5{I^2}$ với $0 \le I \le 10$.

Ta có: ${P' } = 15 - 3I;{P' } = 0 \Leftrightarrow I = 5 \in [0;10]$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có công suất P tăng trong khi cường độ dòng điện thuộc khoảng (0; 5).

Vậy $P_M = 5$.

Lập hàm số biểu diễn diện tích xung quanh và diện tích đáy hộp. Lập bảng biến thiên, tìm x sao cho hàm số đạt GTNN.

Ta có thể tích của chiếc hộp là $V = {x^2}.h$.

Theo giả thiết thể tích chiếc hộp bằng 4000 $cm^3$ nên ta có ${x^2}.h = 4000 \Leftrightarrow h = \frac{{4000}}{{{x^2}}}$.

Ta có diện tích xung quanh và đáy của chiếc hộp là $S = {x^2} + 4xh = {x^2} + 4x.\frac{{4000}}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{{16000}}{x}$.

Ta khảo sát hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + \frac{{16000}}{x}$.

Ta có $f'\left( x \right) = 2x - \frac{{16000}}{{{x^2}}}$, $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 20$.

Ta có x = 20 (cm) thì chiếc hộp làm ra tốn ít bìa nhất.

Quan sát đồ thị, dựa vào đường tiệm cận, các điểm thuộc đồ thị để tìm hệ số.

Dựa vào đồ thị ta có tiệm cận đứng x = -1 suy ra d = 1.

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) suy ra c = 0.

Hàm số có dạng $y = \frac{{a{x^2} + bx}}{{x + 1}}$ có đồ thị đi qua điểm $\left( { - 2;\,4} \right)$ suy ra 4a – 2b = -4 (1)

$y' = \frac{{\left( {2ax + b} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {a{x^2} + bx} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{a{x^2} + 2ax + b}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ đồ thị hàm số có điểm cực đại O(0; 0).

Suy ra phương trình y’ = 0 có nghiệm x = 0 suy ra b = 0 (2)

Thay (2) vào (1) ta được a = -1\). Hàm số $y = \frac{{ - {x^2}}}{{x + 1}}$.

Do đó a + b + c + d = -1 + 0 + 0 + 1 = 0.

Lập hàm lợi nhuận của doanh nghiệp theo x:

Lợi nhuận = Doanh thu - Chi phí.

Lập bảng biến thiên, tìm GTLN của hàm lợi nhuận.

Chi phí sản xuất cho x sản phẩm là $xG\left( x \right) = {x^3} - 77{x^2} + 1000x + 40000$ (nghìn đồng).

Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp:

$h\left( x \right) = - 2{x^2} + 1312x - \left( {{x^3} - 77{x^2} + 1000x + 40000} \right) = - {x^3} + 75{x^2} + 312x - 40000$ (nghìn đồng).

Ta có: $h'\left( x \right) = - 3{x^2} + 150x + 312$.

Xét $h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 52\\x = - 2\end{array}$ \right..

Bảng biến thiên:

Vậy lợi nhuận lớn nhất của doanh nghiệp khoảng 38 triệu đồng.

Lập hàm số biểu diễn diện tích của mặt cắt ngang thông qua biến x. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số vừa lập với điều kiện của x.

Xây dựng mô hình như hình vẽ.

Vì OAH là tam giác vuông cân tại $H$ nên ta được $OH = HA = HB = 10\sqrt 2$.

Xem phần còn lại của tấm bìa là phần đồ thị bên trên $AB$ của đường tròn $y = \sqrt {{{20}^2} - {x^2}}$

Gọi $P\left( {a;b} \right)$, $0 < a < 10\sqrt 2$ với $b = \sqrt {{{20}^2} - {a^2}}$.

Ta có diện tích tấm bìa hình chữ nhật được cắt ra là ${S_{MNPQ}} = 2a.\left( {\sqrt {400 - {a^2}} - 10\sqrt 2 } \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = 2x.\left( {\sqrt {400 - {x^2}} - 10\sqrt 2 } \right),x \in \left( {0;10\sqrt 2 } \right)$.

Ta có đạo hàm

$f'\left( x \right) = 2\left( {\sqrt {400 - {x^2}} - 10\sqrt 2 } \right) - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {400 - {x^2}} }} = \frac{{800 - 4{x^2} - 20\sqrt 2 \sqrt {400 - {x^2}} }}{{\sqrt {400 - {x^2}} }}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 800 - 4{x^2} - 20\sqrt 2 \sqrt {400 - {x^2}} = 0 \Leftrightarrow 5\sqrt 2 \sqrt {400 - {x^2}} = 200 - {x^2}$

$50\left( {400 - {x^2}} \right) = 40000 - 400{x^2} + {x^4} \Leftrightarrow {x^4} - 350{x^2} + 20000 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}{x^2} = \frac{{350 + \sqrt {42500} }}{2}\\{x^2} = \frac{{350 - \sqrt {42500} }}{2}\end{array}$ \right.

Với điều kiện đã cho ta được $x = \sqrt {175 - \sqrt {10625} }$

Do đó

$\max {S_{MNPQ}} = 2\sqrt {175 - \sqrt {10625} } .\left( {\sqrt {400 - \left( {175 - \sqrt {10625} } \right)} - 10\sqrt 2 } \right)$

$= \sqrt {175 - \sqrt {10625} } \left( {\sqrt {225 + \sqrt {10625} } - 10\sqrt 2 } \right) \approx 67,3499$ $\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại hai điểm khi y' = f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí Viete và điều kiện của đề bài, tính hai nghiệm trên theo m, thay lại vào phương trình y' = f'(x) = 0 tìm m.

Có $y' = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right)$.

Hàm số đạt cực trị tại ${x_1}$, ${x_2}$ nên ${x_1}$, ${x_2}$ là nghiệm của phương trình y’ = 0.

Theo Viete, ${x_1} + {x_2} = \frac{{2(m - 1)}}{m} \Rightarrow {x_1} = \frac{{2(m - 1)}}{m} - {x_2}$.

Hàm số đạt cực trị tại ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} + 2{x_2} = 1$ suy ra:

$\frac{{2(m - 1)}}{m} - {x_2} + 2{x_2} = 1 \Leftrightarrow {x_2} = 1 - \frac{{2(m - 1)}}{m} = \frac{{2 - m}}{m}$.

Do ${x_2} = \frac{{2 - m}}{m}$ là nghiệm của phương trình $m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0$ nên:

$m{\left( {\frac{{2 - m}}{m}} \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right)\left( {\frac{{2 - m}}{m}} \right) + 3\left( {m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}m = 2\\m = \frac{2}{3}\end{array}$ \right..

Thử lại thấy hai giá trị m trên đều thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy $a + b = \frac{8}{3} \approx 2,7$.