Đề giữa kì 1 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường Trần Cao Vân – TP HCM

Hàm số đồng biến trên khoảng đồ thị đi lên từ trái sang hoặc y’ < 0.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-2;0).

Xét dấu đạo hàm y’.

$y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Hàm số là hàm đa thức bậc ba với a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên (-1; 1).

Quan sát đồ thị hàm số.

Hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại điểm $x = -1$.

Đồ thị hàm đa thức bậc ba hệ số a > 0 có điểm cực đại nằm bên trái của điểm cực tiểu.

$y' = {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array}$ \right.

Vì hàm số là hàm đa thức bậc ba với a > 0, do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.

Giá trị cực tiểu là $y(3) = \frac{1}{3}{.3^3} - {2.3^2} + 3.3 + 1 = 1$.

Tính đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số, từ đó tìm GTLN và GTNN trên [0; 2].

$y' = \frac{3}{{{{(2x + 1)}^2}}} > 0$ $\forall x \ne - \frac{1}{2}$.

Hàm số đồng biến trên [0;2], do đó hàm đạt GTNN tại x = 0, đạt GTLN tại x = 2.

$M = f(0) = - 1$; $m = f(2) = \frac{1}{5}$.

Vậy $M + m = - 1 + \frac{1}{5} = - \frac{4}{5}$.

Đường thằng $x = x_{0}$ là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} +}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} +}y = - \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} -}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} -}y = - \infty$.

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = -1 và x = 1.

Số đường tiệm cận đứng là 2.

Dựa vào bảng biến thiên để nhận biết hàm số là hàm đa thức hay phân thức, bậc của hàm số.

Dựa vào dấu của y' để tìm hàm số chính xác.

Bảng biến thiên là của hàm phân thức dạng $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$.

Xét đáp án B: $y' = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0$ $\forall x \ne 1$.

Xét đáp án C: $y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0$ $\forall x \ne 1$.

Theo bảng biến thiên: y’ < 0 $\forall x \ne 1$ nên đáp án đúng là C.

Thay x = 0, tính y.

Khi x = 0 thì y = -1. Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1.

Dựa vào khái niệm hai vecto bằng nhau và quy tắc ba điểm để biến đổi.

$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD}$.

M(a; b; c) có hình chiếu trên (Oxz) là M(a; 0; c).

Tọa độ hình chiếu của điểm $M$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ là $(-2;0;1)$.

$\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k = (a;b;c)$.

$\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - \overrightarrow k = (2;3; - 1)$; $\overrightarrow b = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - 7\overrightarrow k = (2;3; - 7)$.

$\overrightarrow x = \overrightarrow a - \overrightarrow b = (2 - 2;3 - 3; -1 + 1) = (0;0; 6)$.

Áp dụng công thức $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 2.2.\cos 60^o = 2$.

a) $\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$.

b) Lập bảng biến thiên.

c) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) là y = ax + b nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - ( ax + b )} \right] =0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - ( ax + b )} \right] =0$.

d) Từ bảng biến thiên, xác định hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó bằng cách lập và giải hệ phương trình.

a) Đúng. $f'(x) = \frac{{( - 2x + 1)(x + 1) - ( - {x^2} + x - 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x + 3}}{{{{(x + 1)}^2}}}$.

b) Sai. $f'(x) = \frac{{ - {x^2} - 2x + 3}}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array}$ \right.

Bảng biến thiên:

Theo bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên $(1; + \infty )$.

c) Đúng. $$y = \frac{{ - {x^2} + x - 2}}{{x + 1}} = - x + 2 - \frac{4}{{x + 1}}$$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - ( - x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{4}{{x + 1}}} \right) = 0$ nên tiệm cận xiên của đồ thị là y = -x + 2.

d) Sai. Theo bảng biến thiên, hai điểm cực trị của đồ thị là (-3;7) và (1;-1).

Giả sử đường thẳng đi qua hai điểm trên là y = ax + b.

Ta có $\{\begin{array}{l}7=-3a+b\\ -1=a+b\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-2\\ b=1\end{array}\Rightarrow y=-2x+1$$\left\{ \begin{array}{l}7 = - 3a + b\\ - 1 = a + b\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\end{array} \right.$ \Rightarrow y = - 2x + 1.

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị là y = -2x + 1.

a) $\overrightarrow a = (x;y;z) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}}$.

b) Cho $\overrightarrow a ({x_a};{y_a};{z_a})$, $\overrightarrow b ({x_b};{y_b};{z_b})$ và số thực k.

+ $\overrightarrow a + \overrightarrow b = ({x_a} + {x_b};{y_a} + {y_b};{z_a} + {z_b})$.

+ $\overrightarrow a - \overrightarrow b = ({x_a} - {x_b};{y_a} - {y_b};{z_a} - {z_b})$.

+ $k\overrightarrow a = (k{x_a};k{y_a};k{z_a})$.

c) Nếu $\overrightarrow a$ cùng phương với $\overrightarrow b$ thì $\overrightarrow a = k\overrightarrow b$.

d) $\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{x_a}.{x_b} + {y_a}.{y_b} + {z_a}.{z_b}}}{{\sqrt {{x_a}^2 + {y_a}^2 + {z_a}^2} .\sqrt {{x_b}^2 + {y_b}^2 + {z_b}^2} }}$.

a) Đúng. $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6$.

b) Sai. $\overrightarrow u = \left( { - 2.( - 2) + 3.2; - 2.1 + 3.( - 1); - 2.1 + 3.1} \right) = \left( {10; - 5;1} \right)$.

c) Sai. $\overrightarrow c$ cùng phương với $\overrightarrow b$ khi $\overrightarrow c = k\overrightarrow b \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x = 2k\\1 = - k\\y = k\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}k = - 1\\x = - 2\\y = - 1\end{array} \right.$ \Rightarrow x + y = - 3.

d) Đúng. $\cos \varphi = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 2.2 + 1.( - 1) + 1.1}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = - \frac{2}{3}$.

a) Với hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$, ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$.

b) Cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$, $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$. Độ dài vecto $\overrightarrow {AB}$ hay khoảng cách từ A đến B là: $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$.

c) Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$.

d) M nằm trên trục hoành nên M(x; 0; 0).

Cho MA = MB, tìm x.

a) Sai. $\overrightarrow {AB} = (1 - 3;3 - 0; - 2 + 1) = ( - 2;3; - 1)$.

b) Đúng. $BC = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{( - 6 - 3)}^2} + {{(0 + 2)}^2}} = \sqrt {86}$.

c) Đúng. $G = \left( {\frac{{3 + 1 + 2}}{3};\frac{{0 + 3 - 6}}{3};\frac{{ - 1 - 2 + 0}}{3}} \right) = \left( {2; - 1; - 1} \right)$.

d) Đúng. M nằm trên trục hoành nên M(x; 0; 0).

$MA = MB \Leftrightarrow {(3 - x)^2} + {0^2} + {( - 1)^2} = {(1 - x)^2} + {3^2} + {( - 2)^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} - 6x + 10 = {x^2} - 2x + 14 \Leftrightarrow x = - 1$.

Vậy M(-1; 0; 0), do đó a + b + c = -1 + 0 + 0 = -1.

a) Tính V(10).

b) Tính v(20).

c) Tìm GTLN của V(t) trên [0; 30].

d) Tìm GTLN của v(t) trên [0; 120].

a) Sai. $V(10) = \frac{1}{{100}}( - 0,{5.10^3} + {90.10^2}) = 85$ $({m^3})$.

b) Đúng. $v(t) = V'(t) = \frac{1}{{100}}( - 1,5{t^2} + 180t)$.

$v(20) = \frac{1}{{100}}( - 1,{5.20^2} + 180.20) = 30$ (${m^3}$/phút).

c) Đúng. $v(t) = 0 \Leftrightarrow - 1,5{t^2} + 180t = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}t = 0\\t = 120\end{array}$ \right.

Xét trên đoạn [0;30], ta có: $V(0) = 0$, $V(30) = 675$.

Vậy trong 30 phút đầu, thể tích nước lớn nhất trong bể là 675 ${m^3}$.

d) Sai. $v'(t) = \frac{1}{{100}}( - 3t + 180) = 0 \Leftrightarrow t = 60$.

Xét trên đoạn [0; 120], ta có: $v(0) = 0$, $v(60) = 54$, $v(60) = 0$.

Vậy tốc độ bơm nước cao nhất là 54 ${m^3}$/phút, tại thời điểm t = 60 phút.

Quan sát bảng biến thiên.

Giá trị cực đại là 5, giá trị cực tiểu là 1. Tổng là 1 + 5 = 6.

Tìm GTLN của hàm R(x) bằng cách lập bảng biến thiên.

$R(x) = x^2 (60 - x) = -x^3 + 60x^2.$ 

$R'(x) = -3x^2 + 120x = 0 \Rightarrow x = 0; x = 40$.

Kết luận: Để độ giảm đau đạt giá trị lớn nhất theo mô hình đã cho, nên tiêm liều 40 mg.

Giả sử hàm số có phương trình $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$.

Từ đồ thị, thấy hàm số có hai điểm cực trị. Giải hệ $\begin{cases} f'(-1) = 0 \\ f'(2) = 0 \end{cases}$ tìm b, c.

Tính f(20) - f(0).

$f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d \Rightarrow f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$.

Từ đồ thị ta được $\begin{cases} f'(-1) = 0 \\ f'(2) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$\begin{cases} 3 - 2b + c = 0 \\ 12 + 4b + c = 0 \end{cases}$ \Leftrightarrow $\begin{cases} b = \frac{-3}{2} \\ c = -6 \end{cases}$ 

Suy ra $f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x + d \Rightarrow f(20) - f(0) = 7280$.

Từ hình vẽ, xác định tọa độ các điểm B, D, A'.

Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm để tìm tọa độ của G: Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$.

Ta có $B(10;0;0)$, $D(0;16;0)$, $A'(0;0;8)$. 

Tìm được trọng tâm $G \left( \frac{10}{3}; \frac{16}{3}; \frac{8}{3} \right)$. 

Vậy $T = x + 2y + 3z = \frac{10}{3} + 2 \cdot \frac{16}{3} + 3 \cdot \frac{8}{3} = 22$.

Lợi nhuận khi bán hết $x$ sản phẩm với ($x \in \mathbb{N}^*; 1 \leq x \leq 5000$) là: 

$L(x) = F(x) - xG(x)$ (nghìn đồng).

Giải bất phương trình $\Rightarrow L(x) \geq 100000$ và tìm x nhỏ nhất thỏa mãn.

Lợi nhuận khi bán hết $x$ sản phẩm với ($x \in \mathbb{N}^*; 1 \leq x \leq 5000$) là: 

$L(x) = F(x) - xG(x) = x^3 - 10556x^2 + 37137600x - 43545500000$ (nghìn đồng). 

Để lợi nhuận thu được $\geq 100$ triệu đồng ($= 100000$ nghìn đồng)

$\Rightarrow L(x) \geq 100000 \Leftrightarrow x^3 - 10556x^2 + 37137600x - 43545600000 \geq 0$ 

$\Leftrightarrow (x - 3456)(x - 3500)(x - 3600) \geq 0 \Leftrightarrow$$\begin{cases} 3456 \leq x \leq 3500 \\ x \geq 3600 \end{cases}$. 

Giao với điều kiện ($x \in \mathbb{N}^*; 1 \leq x \leq 5000$) $\Rightarrow x_{\min} = 3456$ (sản phẩm). 

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 3456 (sản phẩm).

+) Tìm H: Giải hệ điều kiện $\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0$ và $\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BH} = k\overrightarrow {BC}$.

+) Tìm K: $\frac{KA}{KC} = \frac{BA}{BC}$ (tính chất đường phân giác) $\Rightarrow \overrightarrow{KA} = -\frac{BA}{BC} \overrightarrow{KC}$.

+) Tìm tọa độ H:

Gọi $H(x;y;z)$ là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Ta có:

$\overrightarrow {AH} = (x - 507,y - 525,z - 502)$, $\overrightarrow {BC} = (20,15,0)$.

Vì $AH \bot BC$ nên $\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0$

$\Rightarrow 20(x - 507) + 15(y - 525) + 0(z - 502) = 0$

$\Leftrightarrow 20x - 10140 + 15y - 7875 = 0$

$\Leftrightarrow 20x + 15y = 18015$

$\Leftrightarrow 4x + 3y = 3603$ (1)

Vì $H \in BC$ nên $\overrightarrow {BH}$ cùng phương với $\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BH} = k\overrightarrow {BC}$.

$\overrightarrow {BH} = (x - 500,y - 501,z - 502)$

$\Rightarrow k = \frac{{x - 500}}{{20}} = \frac{{y - 501}}{{15}}$

$\Rightarrow 15(x - 500) = 20(y - 501)$

$\Leftrightarrow 15x - 7500 = 20y - 10020$

$\Leftrightarrow 15x - 20y = - 2520$

$\Leftrightarrow 3x - 4y = - 504$ (2)

Giải hệ (1) và (2):

$\{\begin{array}{l}4x+3y=3603\\ 3x-4y=-504\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=516\\ y=513\end{array}\Rightarrow k=\frac{4}{5}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{4x + 3y = 3603}\\{3x - 4y = - 504}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}x = 516\\y = 513\end{array} \right.$ \Rightarrow k = \frac{4}{5}.

Ta có $z - 502 = k.0 \Leftrightarrow z = 502$.

Vậy $H(516;513;502)$.

+) Tìm tọa độ K:

Ta có: $\frac{KA}{KC} = \frac{BA}{BC}$ (tính chất đường phân giác) $\Rightarrow \overrightarrow{KA} = -\frac{BA}{BC} \overrightarrow{KC}$.

Tính độ dài các cạnh:

$\overrightarrow{BA}=(507-500;525-501;502-502)=(7;24;0)$

$\Rightarrow BA = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.

$\overrightarrow{BC}=(520-500;516-501;502-502)=(20;15;0)$

$\Rightarrow BC = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$.

Suy ra: $\frac{BA}{BC} = \frac{25}{25} = 1$. Do đó: $\overrightarrow{KA} = -\overrightarrow{KC}$.

Gọi $K = (x; y; z)$; ta có: $\overrightarrow{KA} = (507 - x; 525 - y; 502 - z)$; $\overrightarrow{KC} = (520 - x; 516 - y; 502 - z)$.

Từ $\overrightarrow{KA} = -\overrightarrow{KC}$, ta được hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}507-x=-(520-x)\\ 525-y=-(516-y)\\ 502-z=-(502-z)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}507-x=-520+x\\ 525-y=-516+y\\ 502-z=-502+z\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2x=1027\\ 2y=1041\\ 2z=1004\end{array}$$\begin{cases} 507 - x = -(520 - x) \\ 525 - y = -(516 - y) \\ 502 - z = -(502 - z) \end{cases}$ \Leftrightarrow $\begin{cases} 507 - x = -520 + x \\ 525 - y = -516 + y \\ 502 - z = -502 + z \end{cases}$ \Leftrightarrow $\begin{cases} 2x = 1027 \\ 2y = 1041 \\ 2z = 1004\end{cases}$

Vậy tọa độ điểm K là: $K \left( \frac{1027}{2}; \frac{1041}{2}; 502 \right)$.

+) Tính HK: $HK = \frac{{5\sqrt {10} }}{2} \approx 7,9$.