Đề giữa kì 1 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường THCS Khe Sanh – Quảng Trị

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng $ax + b < 0$ (hoặc $ax + b > 0,ax + b \leq 0,ax + b \geq 0$), trong đó $a$ và $b$ là hai số đã cho và $a \neq 0$.

Phương án có chứa $x^{3}$ là bậc ba nên không phải bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Số thực $a > 0$ luôn có hai căn bậc hai là hai số đối nhau: $\sqrt{a}$ và $- \sqrt{a}$.

Ta có: $5^{2} = 25$ và ${( - 5)}^{2} = 25$. Do đó, căn bậc hai của 25 là $5$ và $- 5$.

Sử dụng quy tắc so sánh các số thực trên trục số. Số biểu diễn bên trái nhỏ hơn số biểu diễn bên phải.

Phương án C đúng vì số âm luôn nhỏ hơn 0.

Thay trực tiếp tọa độ $(x;y)$ của từng đáp án vào hệ phương trình, cặp số nào thỏa mãn cả hai phương trình của hệ thì đó là nghiệm. Hoặc giải hệ bằng phương pháp thế/cộng đại số.

Ta có: $\{\begin{array}{l}3x+y=3\text{ (1)}\\ 2x+5y=-11\text{ (2)}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {3x + y = 3\text{~~~~~~~~~~(1)}} \\ {2x + 5y = - 11\text{~~~~(2)}} \end{array} \right.$

Từ phương trình (1) ta có: $y = 3 - 3x$

Thế $y = 3 - 3x$ vào phương trình (2) ta được:

$2x + 5.(3 - 3x) = - 11$

$2x + 15 - 15x = - 11$

$2x - 15x = - 11 - 15$

$\begin{array}{l}-13x=-26\\ x=2\end{array}$$\begin{array}{l} {- 13x = - 26} \\ {x = 2} \end{array}$

Thay $x = 2$ vào phương trình $y = 3 - 3x$ ta được:

$y = 3 - 3.2 = - 3$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x;y) = (2; - 3)$.

Biểu thức dạng $\sqrt{A}$ xác định (có nghĩa) khi và chỉ khi $A \geq 0$.

Căn thức $\sqrt{x}$ xác định khi biểu thức dưới dấu căn không âm, tức là $x \geq 0$.

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{ \begin{array}{l} {ax + by = c} \\ {a'x + b'y = c'} \end{array} \right.$ trong đó $a, b, c, a', b', c'$ là các số thực, đồng thời ($a^{2} + b^{2} \neq 0$ và ${a'}^{2} + {b'}^{2} \neq 0$).

Phương án A và C chứa $x^{2}$ nên không phải là hệ bậc nhất hai ẩn.

Phương án D có phương trình thứ hai là $0x + 0y = 1$ (hệ số $a' = 0,b' = 0$) nên không thỏa mãn điều kiện.

Phương án B có dạng chuẩn của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải phương trình tích dạng $A(x) \cdot B(x) = 0$

Suy ra $A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0$.

Ta có $(x + 2)(x - 3) = 0$

TH1: $x + 2 = 0$

Suy ra $x = - 2$

TH2: $x - 3 = 0$

Suy ra $x = 3$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = - 2$, $x = 3$.

Biểu thức $\sqrt{A}$ không có nghĩa khi $A < 0$.

Vì $- 2 < 0$ nên $\sqrt{- 2}$ không có nghĩa.

Giải bất phương trình bằng cách chuyển vế đổi dấu để tìm khoảng nghiệm của $x$, sau đó đối chiếu các đáp án.

Ta có: $2x - 5 > 1$

$\begin{array}{l}2x>1+5\\ 2x>6\\ x>3\end{array}$$\begin{array}{l} {2x > 1 + 5} \\ {2x > 6} \\ {x > 3} \end{array}$

Vì $4 > 3$ nên $x = 4$ là một nghiệm của bất phương trình.

Biểu thức $\sqrt{A}$ xác định khi $A \geq 0$.

Để $\sqrt{2x - 1}$ xác định thì

$2x - 1 \geq 0$

$\begin{array}{l}2x\ge 1\\ x\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$\begin{array}{l} {2x \geq 1} \\ {x \geq \dfrac{1}{2}} \end{array}$

Vậy $\sqrt{2x - 1}$ xác định $x \geq \dfrac{1}{2}$.

Quy tắc thế gồm hai bước: Từ một phương trình của hệ biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn.

Bản chất của phương pháp thế khi giải hệ hai phương trình hai ẩn là biểu diễn một ẩn theo ẩn kia từ một phương trình, rồi thế vào phương trình còn lại.

Thay tọa độ từng cặp số $(x;y)$ vào phương trình, cặp số nào cho vế trái bằng vế phải là nghiệm.

Thay cặp số $(0; - 2)$ vào phương trình $3x + y = - 2$, ta được:

$3 \cdot (0) + ( - 2) = - 2$ (thỏa mãn).

Vậy cặp số $(0; - 2)$ là nghiệm của phương trình $3x + y = - 2$.

Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax + by = c$ với $a, b, c$ là các số đã cho và $a$ hoặc $b$ phải khác 0 ($a^{2} + b^{2} \neq 0$).

Phương trình $0x + 0y = 0$ có cả $a = 0$ và $b = 0$ nên không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bản chất của phương pháp cộng đại số là biến đổi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau hoặc bằng nhau bằng cách nhân, sau đó cộng hoặc trừ hai vế phương trình nhằm khử đi một ẩn.

Trong các bước trên, bước thể hiện đúng bản chất của phương pháp cộng khi giải hệ hai phương trình hai ẩn là “Nhân hai phương trình với các hệ số thích hợp rồi cộng hoặc trừ”.

So sánh giá trị các số thực. Đối với hai số âm, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.

Vì $4 > 1$ nên $- 4 < - 1$ là khẳng định đúng.

Phương trình tích có dạng là $A(x) \cdot B(x)... = 0$

Phương trình $(x - 1)(x + 5) = 0$ có vế trái là tích của hai đa thức và vế phải bằng 0 nên là phương trình tích.

a) Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng.

b) Gọi các hệ số cần tìm là các ẩn số nguyên dương

Lập hệ phương trình dựa trên nguyên tắc: Số nguyên tử của mỗi nguyên tố ở hai vế phải bằng nhau.

Giải hệ phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

a) Ta có $\{\begin{array}{l}2x-y=4(1)\\ 3x+5y=-19\text{ (2)}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2x - y = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)} \\ {3x + 5y = - 19\text{~~~~(2)}} \end{array} \right.$

Từ phương trình (1) ta có: $y = 2x - 4$

Thế $y = 2x - 4$ vào phương trình (2) ta được:

$3x + 5(2x - 4) = - 19$

$\begin{array}{l}3x+10x-20=-19\\ 13x=-19+20\end{array}$$\begin{array}{l} {3x + 10x - 20 = - 19} \\ {13x = - 19 + 20} \end{array}$

$13x = 1$

$x = \dfrac{1}{13}$

Thay $x = \dfrac{1}{13}$ vào phương trình $y = 2x - 4$ ta được:

$y = 2.\dfrac{1}{13} - 4 = \dfrac{- 50}{13}$.

Hệ phương trình có nghiệm là (x;y) = $\left( {\dfrac{1}{13};\dfrac{- 50}{13}} \right)$

b) Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Ag và O

Gọi x và y lần lượt là hệ số của Ag và O, theo bài ra, ta được:

xAg + yO₂ $\rightarrow$ Ag₂O

Vì số nguyên tử của Ag và O₂ của hai vế bằng nhau nên ta có hệ pt:

$\{\begin{array}{l}x=2\\ 2y=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x = 2} \\ {2y = 1} \end{array} \right.$ suy ra $\{\begin{array}{l}x=2\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x = 2} \\ {y = \dfrac{1}{2}} \end{array} \right.$

Do hệ số phương trình phản ứng hóa học là số nguyên nên nhân cả hai vế của PT với 2, ta được: $\{\begin{array}{l}x=4\\ y=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x = 4} \\ {y = 1} \end{array} \right.$

Vậy 4Ag + O₂ $\rightarrow$ 2Ag₂O

a) Sử dụng hằng đẳng thức $\left. \sqrt{A^{2}} = \middle| A \right|$.

b) Sử dụng quy tắc khai phương một tích và một thương: $\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} = \sqrt{A \cdot B}$ và $\sqrt{A}:\sqrt{B} = \sqrt{A:B}$.

c) Biến đổi các căn thức về dạng căn thức đồng dạng với $\sqrt{2}$ rồi thực hiện phép chia.

a) $\sqrt{\left( {\sqrt{5} - 3} \right)^{2}}$ = $\left| {\sqrt{5} - 3} \right|$$= 3 - \sqrt{5}$

b) $\sqrt{8}.\sqrt{2} - \sqrt{405}:\sqrt{5}$= $\sqrt{8.2} - \sqrt{405:5} = \sqrt{16} - \sqrt{81} = 4 - 9 = - 5$

c) $\left( {\sqrt{128} - \sqrt{50} + \sqrt{18}} \right):\sqrt{2}$=$\left( {\sqrt{8^{2}.2} - \sqrt{5^{2}.2} + \sqrt{3^{2}.2}} \right):\sqrt{2}$

=$\left( {8\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2}} \right):\sqrt{2}$=$6\sqrt{2}:\sqrt{2} = 6$

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu là $(\sqrt{x} - 1)$ để áp dụng hằng đẳng thức $(A - B)(A + B) = A^{2} - B^{2}$.

Ta có: $\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$=$\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)(\sqrt{x} - 1)} = \dfrac{x - \sqrt{x}}{x - 1}$ (Với x≥0, x≠1)

Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức:

+ Khi nhân cả hai vế với cùng một số dương, bất đẳng thức giữ nguyên chiều.

+ Khi nhân cả hai vế với cùng một số âm, bất đẳng thức đảo chiều.

+ Khi cộng, trừ cùng một số vào hai vế, bất đẳng thức giữ nguyên chiều.

a) Vì a ≤ b nên 3a ≤ 3b (Nhân hai vế với 3)

Suy ra 3a - 4 ≤ 3b – 4 (Cộng hai vế với -4)

b) Vì a ≤ b nên –7a ≥ –7b (Nhân hai vế với -7<0)

Suy ra –7a +1 ≥ –7b +1 (Cộng hai vế với 1)

a) Quy đồng mẫu số hai vế, khử mẫu (vì mẫu dương nên giữ nguyên chiều) rồi giải bất phương trình bậc nhất.

b) Tìm ĐKXĐ, quy đồng mẫu số hai vế rồi bỏ mẫu để giải phương trình tìm $x$. Cuối cùng đối chiếu với ĐKXĐ để kết luận.

a) $4 - \dfrac{x - 5}{2} \geq \dfrac{x + 4}{8}$

Quy đồng mẫu hai vế: ta được $\dfrac{4.8 - 4(x - 5)}{8} \geq \dfrac{x + 4}{8}$

Suy ra $4.8 - 4(x - 5) \geq x + 4$

\(\text{32~~}– 4x + 20 \geq x + 4\)

\(\text{52~~}– 4x \geq x + 4\)

\(– 4x - x \geq 4 - 52\)

\(–\text{~5~}x \geq - 48\)

$x \leq \dfrac{48}{5}$

Vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm $x \leq \dfrac{48}{5}$

b) $\dfrac{4}{x(x - 1)} + \dfrac{3}{x} = \dfrac{2}{x - 1}$ (ĐKXĐ: $x \neq 0, x \neq 1$)

$\dfrac{2}{x\left( {x - 1} \right)} + ~\dfrac{3\left( {x - 1} \right)}{x\left( {x - 1} \right)}~ = ~\dfrac{2x}{x\left( {x - 1} \right)}$

Suy ra 2 + 3(x – 1) = 2x

2 + 3x – 3 = 2x

x = 1 (Không TMĐK)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bước 1: Chọn ẩn số (khối lượng thịt bò và thịt cá) và đặt điều kiện.

Bước 2: Lập hệ phương trình mối quan hệ giữa tổng khối lượng thịt (300g) và tổng lượng protein (70g).

Bước 3: Giải hệ phương trình tìm khối lượng từng loại thịt.

Bước 4: Đổi khối lượng ra đơn vị kg rồi nhân với đơn giá tương ứng để tính tổng chi phí.

Gọi $x$ (g) là khối lượng thịt bò, $y$ (g) là khối lượng thịt cá.

ĐK: x, y < 300

Tổng khối lượng thịt bò và thịt cá trong ngày bằng đúng 300 g nên ta có phương trình:

$x + y = 300$ (1)

Vì 100 g thịt bò chứa 26 g protein; 100 g thịt cá chứa 22 g protein, mà bác muốn bổ sung đúng 70 g protein nên ta có phương trình: $0,26x + 0,22y = 70$ (2)

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=300\\ 0,26x+0,22y=70\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 300} \\ {0,26x + 0,22y = 70} \end{array} \right.$

Từ phương trình (1), ta có $y = 300 - x$.

Thế vào phương trình thứ hai: $0,26x + 0,22\left( {300 - x} \right) = 70$
$0,26x + 66-0,22x = 70$
$0,04x = 4$ nên $x = 100$ (g) (TMĐK)
$y = 300 - 100 = 200$ (g) (TMĐK)

Tính chi phí:
- Thịt bò: 100 g = 0.1 kg; $0,1.220 000 = 22 000$ đồng.
- Thịt cá: 200 g = 0.2 kg; $0,2.80 000 = 16 000$ đồng.
Vậy, tổng chi phí là $22 000 + 16 000 = 38 000$ đồng.