Đề giữa học kì 1 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường THCS Lim – Bắc Ninh

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ có dạng tổng quát:

$\left\{ \begin{array}{l} {ax + by = c} \\ {a'x + b'y = c'} \end{array} \right.$

trong đó $a, b$ không đồng thời bằng $0$, và $a', b'$ không đồng thời bằng $0$.

- Đáp án A chứa 3 ẩn (x, y, z $)$$\rightarrow$ Loại.

- Đáp án B chứa $y^{2}$ (bậc hai) $\rightarrow$ Loại.

- Đáp án C có dạng $\{\begin{array}{l}-x+y=1\\ 0x+2y=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {- x + y = 1} \\ {0x + 2y = 1} \end{array} \right.$, đây là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$.

- Đáp án D có phương trình $0x + 0y = 0$ có các hệ số của $x$ và $y$ đều bằng $0$ $\rightarrow$ Loại.

Cặp số $(x_{0};y_{0})$ là nghiệm của phương trình $4x + 3y = 5$ nếu khi thay $x = x_{0}$ và $y = y_{0}$ vào vế trái, ta được kết quả bằng $5$.

Thay lần lượt các cặp số vào vế trái $VT = 4x + 3y$:

+) Với $(1; - 2)$: $VT = 4(1) + 3( - 2) = - 2 \neq 5$.

+) Với $(2; - 1)$: $VT = 4(2) + 3( - 1) = 8 - 3 = 5$ (đúng).

+) Với $(1;0)$: $VT = 4(1) + 3(0) = 4 \neq 5$.

+) Với $( - 1;2)$: $VT = 4( - 1) + 3(2) = 2 \neq 5$.

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ là phương trình có dạng $ax + by = c$, trong đó $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$ ($a^{2} + b^{2} \neq 0$).

Phương trình $0x - 0y = 6$ có $a = 0$ và $b = 0$ nên không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Điểm $M(x_{0};y_{0})$ thuộc đường thẳng $4x - 3y = - 1$ khi và chỉ khi $4x_{0} - 3y_{0} = - 1$. Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình đường thẳng để kiểm tra.

Thay tọa độ điểm $C(2;3)$ vào phương trình đường thẳng ta được: $4(2) - 3(3) = 8 - 9 = - 1$ (thoả mãn) nên $C$ thuộc đường thẳng.

Thay tọa độ điểm $D( - 1; - 1)$ vào phương trình đường thẳng ta được: $4( - 1) - 3( - 1) = - 4 + 3 = - 1$ (thoả mãn) nên $D$ thuộc đường thẳng.

Do đó, đường thẳng đi qua hai điểm $C$ và $D$.

Cân bằng phương trình hóa học bằng cách đếm số nguyên tử của từng nguyên tố ở hai vế sao cho bằng nhau.

Phương trình hóa học: $\left. 3Fe + xO_{2}\rightarrow yFe_{3}O_{4} \right.$

+) Số nguyên tử Fe vế trái là $3$, vế phải là 3y. Để cân bằng Fe: $3 = 3y$ suy ra $y = 1$.

+) Với $y = 1$, vế phải có $4$ nguyên tử $O$, vế trái có 2x nguyên tử $O$. Cân bằng $O$: $2x = 4$ suy ra $x = 2$

Vậy $x = 2,y = 1$.

Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có: $\{\begin{array}{l}1,5x-0,6y=0,3(1)\\ -2x+y=-2(2)\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {1,5x - 0,6y = 0,3\quad(1)} \\ {- 2x + y = - 2\quad(2)} \end{array} \right.$

Từ $(2)$, ta có: $y = 2x - 2$.

Thay $y = 2x - 2$ vào phương trình $(1)$ ta được:

$1,5x - 0,6(2x - 2) = 0,3$

$1,5x - 1,2x + 1,2 = 0,3$

$0,3x = - 0,9$

$x = - 3$

Thay $x = - 3$ vào $y = 2x - 2$ ta được:

$y = 2( - 3) - 2 = - 8$

Vậy nghiệm của hệ là $( - 3; - 8)$.

Giải phương trình tích: $A \cdot B = 0$ khi và chỉ khi $A = 0$ hoặc $B = 0$.

$(2x + 1)(3x - 1) = 0$

TH1: $2x + 1 = 0$

$2x = - 1$

$x = \dfrac{- 1}{2}$

TH2: $3x - 1 = 0$

$\begin{array}{l}3x=1\\ x={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$\begin{array}{l} {3x = 1} \\ {x = \dfrac{1}{3}} \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x \in \left\{ {\dfrac{- 1}{2};\dfrac{1}{3}} \right\}$.

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu là tất cả các mẫu thức phải khác $0$.

Mẫu thức của phương trình là $(x + 1)$ và $(x - 2)$.

ĐKXĐ: $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {x + 1 \neq 0} \\ {x - 2 \neq 0} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {x \neq - 1} \\ {x \neq 2} \end{array} \right.$ \right.

Tách hạng tử $b$ hoặc dùng công thức biến đổi đa thức thành nhân tử: $x^{2} + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$

Ta có: $x^{2} - 4x + 3 = 0$

$x^{2} - x - 3x + 3 = 0$

$\begin{array}{l}x(x-1)-3(x-1)=0\\ (x-1)(x-3)=0\end{array}$$\begin{array}{l} {x(x - 1) - 3(x - 1) = 0} \\ {(x - 1)(x - 3) = 0} \end{array}$

- Coi toàn bộ công việc là $1$ đơn vị.

- Nếu gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của hai đội lần lượt là $x, y ( ( ( x, y > 0$, tính bằng giờ) thì năng suất 1 giờ của từng đội tương ứng là $\dfrac{1}{x}$ và $\dfrac{1}{y}$.

Mỗi giờ, đội một làm được $\dfrac{1}{x}$ công việc, đội hai làm được $\dfrac{1}{y}$ công việc.

Vì cả hai đội làm chung hoàn thành trong 24 giờ nên ta có phương trình $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{24}$ (1)

Đội một làm 10 giờ được $\dfrac{10}{x}$ công việc, đội hai làm 15 giờ được $\dfrac{15}{y}$ công việc.

Hai đội hoàn thành $\dfrac{1}{2}$ công việc nên ta có phương trình $\dfrac{10}{x} + \dfrac{15}{y} = \dfrac{1}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{24}}\\ {\displaystyle \frac{10}{x}}+{\displaystyle \frac{15}{y}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{24}} \\ {\dfrac{10}{x} + \dfrac{15}{y} = \dfrac{1}{2}} \end{array} \right.$

Bất đẳng thức có dạng $A > B$ (hoặc $< , \geq , \leq$), trong đó $A$ là vế trái và $B$ là vế phải.

Xét bất đẳng thức $a^{2} + 1 > 0$:

+ Vế trái là $a^{2} + 1$.

+ Vế phải là $0$.

Áp dụng tính chất của bất đẳng thức: Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức thì chiều bất đẳng thức không đổi ($a > b$ thì $a + c > b + c$).

Vì $x > y$ nên $x + y > y + y$ hay $x + y > 2y$.

Khi chia hoặc nhân cả hai vế của bất đẳng thức cho một số âm, ta phải đổi chiều bất đẳng thức.

Ta có $- 2019a > - 2019b$

Chia cả hai vế cho $- 2019$ (là một số âm), ta được: $a < b$

Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

Với $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của tam giác, ta luôn có: $a < b + c$.

Sử dụng các tỷ số lượng giác trong tam giác vuông $\Delta AMNP$ vuông tại $N$.

Hệ thức $MN = MP \cdot \sin M$ là sai (vì đúng phải là $MN = MP \cdot \cos M$ hoặc $NP = MP \cdot \sin M$).

Tra giá trị lượng giác của các góc đặc biệt: $\sin 30^{{^\circ}} = \dfrac{1}{2}$.

Trong tam giác vuông $DEF$ có $\widehat{E} = 30^{{^\circ}}$, suy ra $\sin E = \sin 30^{{^\circ}} = \dfrac{1}{2}$.

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Quan sát hình vẽ tam giác ABC vuông tại $A$, cạnh đối của góc $B$ là AC, cạnh huyền là BC.

Do đó $\sin B = \dfrac{AC}{BC}$.

Sử dụng máy tính cầm tay (MTCT): Bấm “SHIFT” + “cos” + “0.4321” + “=” rồi đổi sang độ, phút, giây (° ' ").

Ta có: $\cos\alpha = 0,4321$

Suy ra $\alpha \approx 64,399^{{^\circ}} \approx 64^{{^\circ}}24'$

- Tính quãng đường máy bay đi được $AB = v \cdot t$ (chuyển đổi thời gian $t$ từ phút sang giờ).

- Độ cao theo phương thẳng đứng $BH = AB \cdot \sin 35^{{^\circ}}$.

Đổi $1\text{~phút} = \dfrac{1}{60}$ giờ.

Quãng đường máy bay đi được sau 1 phút là:

$AB = 600 \cdot \dfrac{1}{60} = 10\text{~(km)}$

Độ cao máy bay đạt được theo phương thẳng đứng là:

$BH = AB \cdot \sin 35^{{^\circ}} = 10 \cdot \sin 35^{{^\circ}} \approx 5,7357\text{~(km)} \approx 5,74\text{~(km)}$

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$\tan C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{4}$

a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng/trừ đại số.

b) Giải phương trình tích $A \cdot B = 0$ khi và chỉ khi $A = 0$ hoặc $B = 0$.

c) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

- Tìm ĐKXĐ.

- Mẫu thức chung: $(x - 2)(x + 2)$.

- Quy đồng mẫu thức và giải phương trình thu được.

d) Quy đồng mẫu số (mẫu dương) và giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.

a) $\{\begin{array}{l}2x+y=10\\ 2x-3y=2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2x + y = 10} \\ {2x - 3y = 2} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}4y=8\\ 2x+y=10\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {4y = 8} \\ {2x + y = 10} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}y=2\\ 2x+2=10\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {y = 2} \\ {2x + 2 = 10} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}y=2\\ x=4\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {y = 2} \\ {x = 4} \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y) = (4;2)$.

b) $(2x + 1)(5x - 6) = 0$

$5x - 6 = 0$ hoặc $2x + 1 = 0$

+) $5x = 6$ +) $2x = - 1$

$x = \dfrac{6}{5}$ $x = \dfrac{- 1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: $x = \dfrac{6}{5}$ ;$x = \dfrac{- 1}{2}.$

c) $\dfrac{x - 1}{x + 2} - \dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{7x - 6}{4 - x^{2}}$ ĐKXĐ: $x \neq 2;\, x \neq - 2$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}-{\displaystyle \frac{x}{x-2}}={\displaystyle \frac{6-7x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}\\ {\displaystyle \frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)-x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}={\displaystyle \frac{6-7x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}\end{array}$$\begin{array}{l} {\dfrac{x - 1}{x + 2} - \dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{6 - 7x}{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \\ {\dfrac{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right)}{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} = \dfrac{6 - 7x}{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \end{array}$

$x^{2} - 3x + 2 - x^{2} - 2x = 6 - 7x$

$2x = 4$

$x = 2$(ktm ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

d) $\dfrac{2x + 1}{5} - x < 0$

$\dfrac{2x + 1 - 5x}{5} < 0$

$2x + 1 - 5x < 0$

$1 - 3x < 0$

$- 3x < - 1$

$x > \dfrac{1}{3}$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x > \dfrac{1}{3}$

Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Gọi số sách là $x$, số vở là $y$ ($x,y \in {\mathbb{N}}^{*};x,y < 15$).

+ Lập phương trình tổng số quyển và phương trình tổng số tiền.

Gọi $x,y$ (quyển) lần lượt là số sách và vở mà hs đó đã mua ($x,y \in {\mathbb{N}},\, x < 15;\, y < 15$)

Vì học sinh đó mua tổng cả sách và vở là 15 quyển nên ta có phương trình: $x + y = 15$ (1)

Vì tổng số tiền học sinh đó thanh toán cho cửa hàng là 310 000 đồng nên ta có phương trình:

$25\, 000x + 12\, 000y = 310\, 000$ hay $25\, x + 12\, y = 310$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y=15\\ 25x+12y=310\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\ {25x + 12y = 310\,\,\,} \end{array} \right.$

Giải hệ phương trình x = 10, y = 5 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy học sinh đó đã mua 10 quyển sách và 5 quyển vở.

a)

- Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $AHB$ để tính $AH$.

- Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $AHC$ để tính $\sin C$, từ đó suy ra góc $C$.

b) Sử dụng công thức diện tích tam giác. Thay $AH = AC \cdot \sin C$ vào công thức tính diện tích.

a)

+) Xét $\Delta AHB$ vuông tại H, ta có:

$AH = AB.\sin B = 2,1.\sin 70^{0} \approx 1,97cm$

+) Xét $\Delta AHC$ vuông tại H, ta có:

$\sin C = \dfrac{AH}{AC} \approx \dfrac{1,97}{3,9}$ $\left. \Rightarrow\widehat{C} \approx 31^{0}14' \right.$.

b)

+) Xét $\Delta ABC$ ta có: $S_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{AH.BC}{2}\,\,\,\,\,(1)$

+) Xét $\Delta AHC$ vuông tại H, ta có:

$AH = AC.\sin C$ (định lí) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $S_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{AC.BC.\sin C}{2}$ (đpcm)

+) Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song để suy ra các góc so le trong:

$\widehat{BAH} = \widehat{ABx}$ và $\widehat{CAH} = \widehat{ACy}$.

+) Áp dụng tỷ số lượng giác trong các tam giác vuông $AHB$ và $AHC$ để tìm độ dài $BH$ và $CH$.

+) Cầu $BC = CH - BH$ (với điểm $B$ nằm giữa $H$ và $C$).

Do $AH\bot HC$, $Bx\bot HC$, $Cy\bot HC$ nên $AH \parallel Bx \parallel Cy$.

Suy ra $\widehat{BAH} = \widehat{ABx} = 30^{0};\widehat{CAH} = \widehat{ACy} = 45^{0}$ (hai góc so le trong)

+Xét $\bigtriangleup ABH$ vuông tại H có: $BH = AH.\tan\widehat{BAH} = 120.\tan 30^{0}$

+Xét $\bigtriangleup ACH$ vuông tại H có: $CH = AH.\tan\widehat{CAH} = 120.\tan 45^{0}$

Chiều dài cây cầu BC là:

$\begin{array}{l}BC=CH-BH=120.(\tan {45}^0-\tan {30}^0)\\ BC\approx 50,72(m)\end{array}$$\begin{array}{l} {BC = CH - BH = 120.(\tan 45^{0} - \tan 30^{0})} \\ {BC \approx 50,72\,\,\,(m)} \end{array}$

Vậy chiều dài cây cầu BC khoảng $50,72\text{~m}$.