Đề giữa học kì 1 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường THCS Trần Bích San – Ninh Bình

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ là phương trình có dạng $ax + by = c$, trong đó $a,b,c$ là các số đã biết ($a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$, tức là $a^{2} + b^{2} \neq 0$). Các ẩn $x, y$ chỉ được ở bậc một và không nằm ở mẫu số.

Phương án A loại vì có ẩn bậc hai ($x^{2}$).

Phương án C loại vì ẩn $y$ nằm ở dưới mẫu số ($\dfrac{2}{y}$).

Phương án D loại vì cả $a = 0$ và $b = 0$ (đồng thời bằng $0$).

Phương án B thỏa mãn định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = \dfrac{3}{2},b = - \dfrac{5}{7},c = 1$.

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng.

Ta có: $\{\begin{array}{l}2x+3y=5\\ 4x+6y=10\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2x + 3y = 5} \\ {4x + 6y = 10} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}4x+6y=10\\ 4x+6y=10\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {4x + 6y = 10} \\ {4x + 6y = 10} \end{array} \right.$

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

$(4x + 6y) - (4x + 6y) = 10 - 10$

$0 = 0$ (luôn đúng)

Vậy hệ phương trình vô số nghiệm

Đưa phương trình về dạng chuẩn  $ax+by=c$

Ta có: $x-y+11=0$

Suy ra: $x-y=-11$

Hay $1.x+(-1).y=-11$

Do đó, $a=1; b=-1$ và $c=-11$

Sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để tìm nghiệm $(x;y)$ của hệ phương trình, sau đó tính tổng $x + y$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}7x-3y=11\text{ (1)}\\ 4x+y=9\text{ (2)}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {7x - 3y = 11\text{~~~~(1)}} \\ {4x + y = 9\ \ \ \ \text{~~~(2)}} \end{array} \right.$

Từ phương trình (2) ta có: $y = 9 - 4x$.

Thay $y = 9 - 4x$ vào phương trình (1) ta được:

$7x - 3(9 - 4x) = 11$

$7x - 27 + 12x = 11$

$\begin{array}{l}7x+12x=11+27\\ 19x=38\\ x=2\end{array}$$\begin{array}{l} {7x + 12x = 11 + 27} \\ {19x = 38} \\ {x = 2} \end{array}$

Thay $x = 2$ vào phương trình $y = 9 - 4x$ ta được:

$y = 9 - 4.2 = 1$

Hệ phương trình có nghiệm là $(x;y) = (2;1)$; $x + y = 2 + 1 = 3$.

Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn để tìm tập nghiệm, sau đó đối chiếu các đáp án xem số nào thuộc tập nghiệm.

Ta có: $- 2x - 3 < 5$

$\begin{array}{l}-2x<5+3\\ -2x<8\\ x>-4\end{array}$$\begin{array}{l} {- 2x < 5 + 3} \\ {- 2x < 8} \\ {x > - 4} \end{array}$

Ta thấy $5 > - 4$ nên $x = 5$ là một nghiệm của bất phương trình.

Cụm từ "ít nhất" mang ý nghĩa là lớn hơn hoặc bằng ($\geq$).

"Ít nhất 20 tuổi" tức là tuổi $x$ có thể bằng 20 hoặc lớn hơn 20. Do đó ta viết là: $x \geq 20$.

Sử dụng tính chất của hai góc phụ nhau (hai góc có tổng bằng $90^{{^\circ}}$): Nếu hai góc phụ nhau thì $\cot$ góc này bằng $\tan$ góc kia, tức là $\cot(90^{{^\circ}} - \alpha) = \tan\alpha$.

Vì góc $\alpha$ và góc $(90^{{^\circ}} - \alpha)$ là hai góc phụ nhau nên ta có: $\cot(90^{{^\circ}} - \alpha) = \tan\alpha$.

Bước 1: Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $\Delta DEF$ để tính cạnh huyền $DF$: $DF^{2} = DE^{2} + EF^{2}$.

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông

Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta DEF$ vuông tại $E$:

$DF^{2} = DE^{2} + EF^{2}$

$\begin{array}{l}D{F}^2=5^2+{12}^2\\ D{F}^2=169\\ DF=13\end{array}$$\begin{array}{l} {DF^{2} = 5^{2} + 12^{2}} \\ {DF^{2} = 169} \\ {DF = 13} \end{array}$

Khi đó, $\cos D = \dfrac{DE}{DF} = \dfrac{5}{13}$ (tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông)

a) Đây là phương trình tích dạng $\left. A(x) \cdot B(x) = 0\Leftrightarrow A(x) = 0 \right.$ hoặc $B(x) = 0$.

b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm ĐKXĐ.

Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử để tìm mẫu thức chung (chú ý hằng đẳng thức hiệu hai lập phương $x^{3} - 8 = (x - 2)(x^{2} + 2x + 4)$), quy đồng và khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình thu được và đối chiếu điều kiện.

c) Nhân phá các ngoặc ở cả hai phương trình, rút gọn đại lượng $xy$ để đưa hệ phương trình về dạng bậc nhất hai ẩn cơ bản rồi giải bằng phương pháp cộng hoặc thế.

a) $(x + 3)(2x - 5) = 0$

TH1: $x + 3 = 0$ suy ra $x = - 3$

TH2: $2x - 5 = 0$ suy ra $x = \dfrac{5}{2}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 3$ và $x = \dfrac{5}{2}$.

b) $\dfrac{9x^{2}}{x^{3} - 8} + \dfrac{6}{x^{2} + 2x + 4} = \dfrac{3}{x - 2} \cdot$ (ĐKXĐ: $x \neq 2$)

$\dfrac{9x^{2}}{\left( {x - 2} \right)\left( {x^{2} + 2x + 4} \right)} + \dfrac{6\left( {x - 2} \right)}{\left( {x - 2} \right)\left( {x^{2} + 2x + 4} \right)} = \dfrac{3\left( {x^{2} + 2x + 4} \right)}{\left( {x - 2} \right)\left( {x^{2} + 2x + 4} \right)}$

Suy ra $9x^{2} + 6x - 12 = 3x^{2} + 6x + 12$

$9x^{2} + 6x - 3x^{2} - 6x = 12 + 12$

$6x^{2} = 24$

$x^{2} = 4$

TH1: $x = 2$ (KTM).

TH2: $x = - 2$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = - 2$.

c) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - 1} \right)\left( {y + 3} \right) = xy} \\ {\left( {x + 3} \right)\left( {y + 2} \right) = xy} \end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {xy + 3x - y - 3 = xy} \\ {xy + 2x + 3y + 6 = xy} \end{array} \right. \\$$\left\{ \begin{array}{l} {3x - y = 3} \\ {2x + 3y = - 6} \end{array} \right.$ \end{array}

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {9x - 3y = 9} \\ {2x + 3y = - 6} \end{array} \right. \\$$\left\{ \begin{array}{l} {11x = 3} \\ {3x - y = 3} \end{array} \right.$ \\ $\left\{ \begin{array}{l} {x = \dfrac{3}{11}} \\ {3x - y = 3} \end{array} \right.$ \end{array}

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x = \dfrac{3}{11}} \\ {3.\dfrac{3}{11} - y = 3} \end{array} \right. \\$$\left\{ \begin{array}{l} {x = \dfrac{3}{11}} \\ {y = \dfrac{- 24}{11}} \end{array} \right.$ \end{array}

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x;y) = \left( {\dfrac{3}{11};\dfrac{- 24}{11}} \right)$.

a) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức: Khi nhân/chia hai vế với số âm thì đổi chiều bất đẳng thức; khi cộng hai vế với cùng một số thì giữ nguyên chiều bất đẳng thức. Sử dụng tính chất bắc cầu.

b) Biến đổi đưa dấu trừ từ mẫu số lên tử số: $\dfrac{x - 2}{- 3} = \dfrac{2 - x}{3}$. Tìm mẫu số chung là 12, quy đồng khử mẫu (do mẫu dương nên giữ nguyên chiều) và thu gọn tìm $x$.

a) Vì $- 3a < - 3b$ nên $a > b$

Suy ra $- 2a < - 2b$ hay $- 2a + 2025 < - 2b + 2025$

Vì $2025 < 2026$ nên $- 2b + 2025 < - 2b + 2026$ .

Vậy $- 2a + 2025 < - 2b + 2026$

b) $\dfrac{x - 1}{2} + \dfrac{x - 2}{- 3} \leq \dfrac{3\left( {x - 1} \right)}{4}$

$\dfrac{6\left( {x - 1} \right)}{12} + \dfrac{- 4\left( {x - 2} \right)}{12} \leq \dfrac{3.3\left( {x - 1} \right)}{12}$

$\begin{array}{l}6\left(x-1\right)-4\left(x-2\right)\le 9\left(x-1\right)\\ 6x-6+8-4x\le 9x-9\\ -7x\le -11\end{array}$$\begin{array}{l} {6\left( {x - 1} \right) - 4\left( {x - 2} \right) \leq 9\left( {x - 1} \right)} \\ {6x - 6 + 8 - 4x \leq 9x - 9} \\ {- 7x \leq - 11} \end{array}$

$x \geq \dfrac{11}{7}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \geq \dfrac{11}{7}$.

Đây là dạng toán công việc làm chung - làm riêng.

Bước 1: Chọn hai ẩn là thời gian làm riêng để hoàn thành công việc của mỗi đối tượng

Bước 2: Biểu diễn năng suất trong một đơn vị thời gian (1 giờ) của mỗi vòi ($\dfrac{1}{x}$ và $\dfrac{1}{y}$) và biểu diễn lượng nước chảy theo dữ kiện bài toán để lập hệ phương trình.

Bước 3: Giải hệ phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Đổi 1h30 phút =$\dfrac{3}{2}$ giờ

Gọi thời gian vòi $I$ chảy riêng đầy bể là $x$(giờ)

Thời gian thời gian vòi $II$ chảy riêng đầy bể là $y$ (giờ) (điều kiện $x > 2;\, y > 2$)

Trong 1 giờ, vòi $I$ chảy được $\dfrac{1}{x}$ (phần bể)

Trong 1 giờ, vòi $II$ chảy được $\dfrac{1}{y}$ (phần bể)

Vì trong 1 giờ cả hai vòi chảy được $\dfrac{1}{2}$ (phần bể)

Nên ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}$ (1)

Trong 1 h 30 phút vòi I chảy được: $\dfrac{3}{2}$.$\dfrac{1}{x}$ (bể)

Nếu mở vòi $I$ trong 1 h 30 phút rồi mở vòi $II$ thì sau 1h nữa sẽ đầy bể nên ta có phương trình: $\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2} = 1$ (2).

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}} \\ {\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2} = 1} \end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta tìm được $x = 3;y = 6$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy thời gian vòi I, vòi II chảy riêng đầy bể lần lượt là là 3 giờ, 6 giờ.

a) Sử dụng tỉ số lượng giác $\cos$ trong tam giác vuông để tính góc; áp dụng định lí Pythagore tính độ dài đoạn $AH$.

b) Chứng minh tính chất trung tuyến tam giác vuông để có $HD = AD$. Sử dụng định nghĩa $\sin$ góc nhọn trong hai tam giác vuông đồng dạng.

c) Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và các cặp tam giác bằng nhau để suy ra góc tương ứng bằng $90^{{^\circ}}$.

a) Xét $\Delta ABC$ có $\cos\widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10} = 0,6$ nên $\widehat{ABC} \approx 53^{0}$.

Xét $\Delta ABH$ có $BH = AB.\cos\widehat{ABC} = 6.0,6 = 3,6\left( {cm} \right)$.

Xét $\Delta ABH$ có $AB^{2} = BH^{2} + AH^{2}$, tính được $AH = 4,8cm$

b) $\Delta ACH$ có $HD$ là đường trung tuyến (do $D$ là trung điểm của $AC$)

Nên $HD = \dfrac{1}{2}AC$, mà $AD = \dfrac{1}{2}AC$ nên $HD = AD$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có đường cao $AE$ nên $AD^{2} = DE.DB$

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta BDA$ có:

$\widehat{ADB}$ chung

$\widehat{AED} = \widehat{BAD} = 90{^\circ}$

Do đó, $\Delta ADE \backsim \Delta BDA$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{DE}{DA}$ (hai cạnh tương ứng)

hay $AD^{2} = DE.DB$

Suy ra $HD^{2} = DE.DB$ (do $HD = AD$)

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có $\sin\widehat{ABD} = \dfrac{AD}{BD}$

Xét $\Delta AED$ vuông tại $E$ có $\sin\widehat{EAD} = \dfrac{ED}{AD}$

Mặt khác, $\widehat{ABD} = \widehat{EAD}$ (do $\Delta ADE \backsim \Delta BDA$) nên $\sin\widehat{ABD} = \sin\widehat{EAD}$

Ta có $\sin\widehat{ABD}.\sin\widehat{EAD} = \dfrac{AD}{BD}.\dfrac{ED}{AD} = \dfrac{ED}{BD}$

Hay $\sin^{2}\widehat{ABD} = \dfrac{ED}{BD}$

Vậy $DE = BD.\sin^{2}\widehat{ABD}$

c) Gọi $F$ là giao điểm của $DK$ và $BC$

Có $AD^{2} = DE.DB$ và $AD = DC$ nên $DC^{2} = DE.DB = HD^{2}$

Chứng minh được $DH^{2} = DF.DK$ nên $DE.DB = DF.DK$

Suy ra $DC^{2} = DF.DK$ hay $\dfrac{DC}{DF} = \dfrac{DK}{DC}$

Xét $\Delta DFC$ và $\Delta DKC$ ta có:

$\widehat{CDK}$ chung

$\dfrac{DC}{DF} = \dfrac{DK}{DC}$

Do đó, $\Delta DFC \backsim \Delta DKC$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{DFC} = \widehat{DCK} = 90^{0}$ (hai góc tương ứng)

Xét $\Delta DHK$ và $\Delta DCK$ ta có:

DK chung

$HD = CD$

$\widehat{HDK} = \widehat{CDK}$

Suy ra $\Delta DHK = \Delta DCK\left( {c.g.c} \right)$

Suy ra $\widehat{DHK} = \widehat{DCK} = 90^{0}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $HD$ vuông góc với $HK$.

a) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài các cạnh.

b) Đổi các quãng đường từ m sang km.

Sử dụng công thức $t = \dfrac{s}{v}$ để tính thời gian đi mỗi đoạn dốc, cộng lại rồi đổi sang đơn vị phút.

a) Áp dụng tỉ số lượng giác của giác nhọn trong $\Delta BHC$ vuông tại $H$ có:

$\sin B = \dfrac{CH}{CB}$

Suy ra $CH = CB\sin B = 256.\sin 15^{0} \approx 66 m$

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn $\Delta AHC$ vuông tại $H$ có:

$\sin A = \dfrac{CH}{AC}$

Suy ra $AC = \dfrac{CH}{\sin A} = \dfrac{66}{sin10{^\circ}} \approx 380 m$

Vậy quãng đường lên dốc khoảng 380 m

b) Đổi $256 m = 0,256 km$, $380 m = 0,380 km$

Thời gian bạn Hà đi xe đạp từ $A$ đến $B$ khoảng là:

$t = \left( {\dfrac{0,256}{10}\text{~+}\dfrac{0,380}{25}} \right).60 \approx 3$ (phút)

Vậy thời gian bạn Hà đi xe đạp từ $A$ đến $B$ khoảng $3$ phút.