Đề giữa học kì 1 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường THCS Chu Văn An – Quảng Ngãi

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ là hệ thức dạng $ax + by = c$, trong đó $a, b, c$ là các số đã biết ($a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$). Các ẩn số $x$ và $y$ chỉ được mang số mũ là $1$.

Ở phương án B, phương trình $x^{2} + y = 3$ chứa $x^{2}$ (ẩn số bậc hai) nên không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cặp số $(x_{0};y_{0})$ là một nghiệm của phương trình $ax + by = c$ nếu khi thay $x = x_{0},y = y_{0}$ vào phương trình, ta được một đẳng thức đúng.

Với cặp số $(2;1)$, ta có $2 \cdot 2 + 1 = 5$ (đúng).

Với cặp số $(1;2)$, ta có $2 \cdot 1 + 2 = 4 \neq 5$ (sai).

Với cặp số $(3;1)$, ta có $2 \cdot 3 + 1 = 7 \neq 5$ (sai).

Với cặp số $(1;1)$, ta có $2 \cdot 1 + 1 = 3 \neq 5$ (sai).

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn ghép lại. Dạng tổng quát: $\left\{ \begin{array}{l} {ax + by = c} \\ {a'x + b'y = c'} \end{array} \right.$ với $a^{2} + b^{2} \neq 0$ và ${a'}^{2} + {b'}^{2} \neq 0$.

Phương án A, hệ phương trình không phải vì có chứa phương trình bậc hai $x^{2} - y = 1$.

Phương án B, hệ phương trình chứa 3 ẩn x, y, z

Phương án C, hệ phương trình gồm hai phương trình hai ẩn là $2x - y = 3$ và $x + y = 5$.

Phương án D, hệ phương trình chứa ẩn $x$ dưới mẫu số ($\dfrac{1}{x}$).

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng $ax + b < 0$ (hoặc $ax + b > 0$, $ax + b \leq 0$, $ax + b \geq 0$), trong đó $a, b$ là hai số đã cho và $a \neq 0$.

Bất phương trình $3x - 5 < 0$ có dạng $ax + b < 0$ với $a = 3 \neq 0$ và $b = - 5$. Do đó đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$.

Thực hiện quy tắc chuyển vế hoặc nhân/chia hai vế của bất phương trình với cùng một số.

Ta có: $2 - x > 0$

$- x > - 2$

$x < 2$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < 2$.

Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của một phương trình chứa ẩn ở mẫu là các biểu thức dưới mẫu phải khác $0$.

Điều kiện xác định của phương trình là:

$x - 2 \neq 0$ và $x + 1 \neq 0$

$x \neq 2$ và $x \neq - 1$

Phương trình tích: $A.B = 0$

TH1: $A = 0$

TH2: $B = 0$

Ta có: $(x - 4)(x + 3) = 0$

TH1: $x - 4 = 0$

$x = 4$

TH2: $x + 3 = 0$

$x = - 3$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 4,\,\, x = - 3$.

Hệ thức dạng $A > B$, $A < B$, $A \geq B$, $A \leq B$ được gọi là bất đẳng thức. Hệ thức dạng $A = B$ là một đẳng thức (hoặc phương trình).

Hệ thức $a = b$ là đẳng thức, không phải bất đẳng thức.

Thay giá trị $x = 2$ vào từng bất phương trình, bất phương trình nào cho ra khẳng định đúng thì $x = 2$ là nghiệm của bất phương trình đó.

Thay $x = 2$ vào $x - 1 > 0$ ta được $2 - 1 = 1 > 0$ (Đúng).

Thay $x = 2$ vào $x - 1 < 0$ ta được $2 - 1 = 1 < 0$ (Sai).

Thay $x = 2$ vào $2x + 1 < 3$ ta được $2 \cdot 2 + 1 = 5 < 3$ (Sai).

Thay $x = 2$ vào $x - 3 > 0$ ta được $2 - 3 = - 1 > 0$ (Sai).

Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân: Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, bất đẳng thức không đổi chiều.

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức $a > b$ với số dương $2$, ta được bất đẳng thức cùng chiều: $2a > 2b$.

Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác $\sin$ của một góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\sin B = \dfrac{AC}{BC}$

Nếu hai góc phụ nhau (có tổng số đo bằng $90^{{^\circ}}$) thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Vì $\alpha$ và $\beta$ phụ nhau ($\alpha + \beta = 90^{{^\circ}}$), theo tính chất tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$\sin\alpha = \cos\beta$

Sử dụng bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt hoặc bấm máy tính cầm tay.

Ta có $\sin 30^{{^\circ}} = 0,5$. Do $\sin B = 0,5$ nên số đo của góc $B$ là $30^{{^\circ}}$.

Áp dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Khẳng định đúng là: "Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc $\alpha$"

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Tim tan của góc nhọn bằng tỉ số của cạnh đối trên cạnh kề.

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong $\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\tan\alpha = \dfrac{AC}{AB}$

Tìm côsin của góc nhọn trong tam giác vuông bằng cách lấy cạnh kề chia cạnh huyền

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\cos C = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{3}{5}$.

a) Dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thiết lập hệ phương trình dựa trên định luật bảo toàn nguyên tố (số nguyên tử của mỗi nguyên tố ở hai vế phải bằng nhau) để tìm $x, y$.

a) Ta có: $\{\begin{array}{l}3x+2y=5\\ x-2y=-1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {3x + 2y = 5} \\ {x - 2y = - 1} \end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta được: $4x = 4$ hay $x = 1$.

Thay $x = 1$ vào phương trình thứ nhất ta được $3.1 + 2y = 5$ hay $y = 1$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1;1)

b) $\left. 2Fe + xCl_{2}\rightarrow yFeCl_{3} \right.$

Vì số nguyên tử Fe và Cl2 ở cả 2 vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}2=y\\ 2\text{x}=3y\end{array}Hay\{\begin{array}{l}y=2\\ \text{x}=3\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2 = y} \\ {2\text{x} = 3y} \end{array} \right.$,\,\,\, Hay\,\,\,$\left\{ \begin{array}{l} {y = 2} \\ {\text{x} = 3} \end{array} \right.$.

Vậy $x = 3,\, y = 2$.

a) Tìm điều kiện xác định $\rightarrow$ Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu $\rightarrow$ Giải phương trình nhận được $\rightarrow$ Đối chiếu điều kiện và kết luận.

b) Áp dụng quy tắc chuyển vế để đưa về dạng phương trình bậc nhất một ẩn $ax \geq b$.

a) Ta có: $\dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{1}{(x + 1)(x + 2)}$

ĐKXĐ: $x \neq - 1;x \neq - 2$

Quy đồng, khử mẫu ta được

$\dfrac{2(x + 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \dfrac{1}{(x + 1)(x + 2)}$

Suy ra: $2x + 4 + 3x + 3 = 1$

$5x = - 6$

$x = \dfrac{- 6}{5}$ (TMĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \dfrac{- 6}{5}$

b) Ta có: $3(x + 1) + 2x > 2(3 - x)$

$3x + 3 + 2x > 6 - 2x$

$7x > 3$

$x > \dfrac{3}{7}$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x > \dfrac{3}{7}$

Gọi hai đại lượng cần tìm làm ẩn (vận tốc dự định và thời gian dự định).

Biểu diễn quãng đường AB theo hai ẩn đó trong 3 trường hợp: dự định, tăng tốc và giảm tốc.

Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, giải hệ và tính chiều dài quãng đường $AB = v \cdot t$.

Gọi vận tốc của ô tô theo dự định là $x\left( {km/h} \right)$ và thời gian dự định đi từ $A$ đến $B$ là $y$ (giờ).

(ĐK: $x > 5,y > 2$)

Khi đó quãng đường $AB$ là $x.y\left( {km} \right)$.

Ô tô tăng vận tốc thêm $15km/h$ thì vận tốc của ô tô là $x + 15\left( {km/h} \right)$.

Khi đó ô tô đến $B$ sớm hơn dự định là $2$ giờ nên thời gian ô tô đi là $y - 2$ giờ.

Nên ta có phương trình $\left( {x + 15} \right)\left( {y - 2} \right) = xy$ hay $- 2x + 15y = 30$ $(1)$

Ô tô giảm vận tốc đi $5km/h$ thì vận tốc của ô tô là $x - 5\left( {km/h} \right)$

Khi đó ô đến $B$ muộn hơn dự định là $1$ giờ nên thời gian ô tô đi là $y + 1$ giờ.

Nên ta có phương trình $\left( {x - 5} \right)\left( {y + 1} \right) = xy$ hay $x - 5y = 5$ $(2)$

Từ $(1),(2)$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}-2x+15y=30\\ x-5y=5\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {- 2x + 15y = 30} \\ {x - 5y = 5} \end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $2$, ta được hệ phương trình $\{\begin{array}{l}-2x+15y=30\\ 2x-10y=10\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {- 2x + 15y = 30} \\ {2x - 10y = 10} \end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình mới, ta được $\left. 5y = 40\Rightarrow y = 8 \right.$ (thỏa mãn)

Thế $y = 8$ vào phương trình thứ hai ta được $x - 5.8 = 5$ suy ra $x = 45$ (thỏa mãn)

Vậy quãng đường $AB$ là $x.y = 45.8 = 360km$

Áp dụng tính chất của tam giác vuông vào tính số đo góc $\widehat{B}$, sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài cạnh AB, AC.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại A ta có:

$\widehat{B} + \widehat{C} = 90{^\circ}$

$\widehat{B} = 90^{0} - \widehat{C} = 90^{0} - 53^{0} = 37^{0}$

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong $\Delta ABC$ vuông tại A ta có:

$AB = BC.sinC = 9.sin53^{0} \approx 7,2$

$AC = BC.cosC = 9.cos53^{0} \approx 5,4$

Vậy $\widehat{B} = 37{^\circ}$; $AB \approx 7,2; AC \approx 5,4$.

Giải hệ phương trình tìm cặp nghiệm $(x;y)$ biểu diễn theo tham số $m$.

Thế tọa độ nghiệm $x, y$ vừa tìm được vào điều kiện đề bài $y^{2} = x$ để giải tìm tham số $m$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}2x+y=5m-1\\ x-2y=2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2x + y = 5m - 1} \\ {x - 2y = 2} \end{array} \right.$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2 ta được:

$\{\begin{array}{l}4x+2y=10m-2\\ x-2y=2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {4x + 2y = 10m - 2} \\ {x - 2y = 2} \end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta được:

$5x = 10m$ hay $x = 2m$

Thay $x = 2m$ vào phương trình thứ 2 của hệ mới ta được $2m - 2y = 2$

Suy ra $y = m - 1$.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x\mspace{6mu};\mspace{6mu} y} \right) = \left( {2m\mspace{6mu};\mspace{6mu} m - 1} \right)\)

Mà $x^{2} - 2y^{2} = 1$ suy ra $\left( {2m} \right)^{2} - 2\left( {m - 1} \right)^{2} = 1$

Giải ra được $\left\lbrack$$\begin{array}{l} {m = \dfrac{\sqrt{10} - 2}{2}} \\ {m = \dfrac{- \sqrt{10} - 2}{2}} \end{array}$ \right.

Vậy $m = \dfrac{\sqrt{10} - 2}{2}$; $m = \dfrac{- \sqrt{10} - 2}{2}$