Đề giữa học kỳ 1 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường THCS Lý Tự Trọng – Đà Nẵng

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$ (tức là $a^{2} + b^{2} \neq 0$).

Xét phương trình $0x - 0y = 5$, ta thấy hệ số $a = 0$ và $b = 0$. Do cả hai hệ số đều bằng $0$, đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án A có chứa $y^{2}$ (bậc hai) nên loại.

Đáp án B có phương trình thứ hai là $0x + 0y = 1$ (không phải phương trình bậc nhất hai ẩn) nên loại.

Đáp án C có chứa $x^{2}$ (bậc hai) nên loại.

Đáp án D gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn là $3x - y = 4$ và $y = 3$ (khuyết $x$, tương đương $0x + y = 3$).

Cộng đại số hoặc thế giá trị để tìm nghiệm của hệ, hoặc thử trực tiếp các đáp án vào hệ phương trình.

Ta có: $\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x-y=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 3} \\ {x - y = 1} \end{array} \right.$

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

$\begin{array}{l}(x+y)+(x-y)=3+1\\ 2x=4\\ x=2\end{array}$$\begin{array}{l} {(x + y) + (x - y) = 3 + 1} \\ {2x = 4} \\ {x = 2} \end{array}$

Thay $x = 2$ vào phương trình $x + y = 3$ ta được:

$\begin{array}{l}2+y=3\\ y=3-2\\ y=1\end{array}$$\begin{array}{l} {2 + y = 3} \\ {y = 3 - 2} \\ {y = 1} \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x;y) = (2;1)$.

Thay tọa độ của từng phương án vào phương trình, cặp số nào làm hai vế bằng nhau thì đó là nghiệm.

Thay cặp số (1; 1) vào vế trái của phương trình ta được

$VT = 4.1 + 3.1 = 4 + 3 = 7 = VP$

Do đó, (1; 1) là một nghiệm của phương trình.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b < 0$ (hoặc $> 0, \leq 0, \geq 0$) với điều kiện $a \neq 0$.

Bất phương trình $3x + 5 \leq 0$ có dạng $ax + b \leq 0$ với $a = 3 \neq 0$, do đó đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với $a > b$, cộng thêm số $c$ vào cả hai vế ta được bất đẳng thức luôn đúng là: $a + c > b + c$.

Thực hiện chuyển vế và đổi dấu hạng tử tự do để cô lập biến $x$.

Ta có: $x + 3 < 1$

$\begin{array}{l}x<1-3\\ x<-2\end{array}$$\begin{array}{l} {x < 1 - 3} \\ {x < - 2} \end{array}$

Dựa vào ý nghĩa của cụm từ "không nhỏ hơn" (lớn hơn hoặc bằng) kết hợp với số hiệu tốc độ tối thiểu ghi trên biển báo.

Trị số ghi trên biển báo là 60. Ô tô vận hành với vận tốc $a$ không nhỏ hơn trị số này, tức là vận tốc phải lớn hơn hoặc bằng $60\text{~(km/h)}$. Ta viết điều kiện dưới dạng bất đẳng thức: $a \geq 60$.

Áp dụng hằng đẳng thức $\left. \sqrt{A^{2}} = \middle| A \right|$.

Ta có: $\left. \sqrt{5,1^{2}} = \middle| 5,1 \middle| = 5,1 \right.$

Số thực dương $a$ luôn có hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt{a}$ và $- \sqrt{a}$.

Căn bậc hai của $49$ là $\sqrt{49} = 7$ và $- \sqrt{49} = - 7$

Biểu thức $\sqrt{A}$ xác định (có nghĩa) khi và chỉ khi $A \geq 0$.

Căn thức $\sqrt{x + 2}$ xác định khi và chỉ khi: $x + 2 \geq 0$

Suy ra \(\mspace{6mu} x \geq - 2\)

Áp dụng các định lý, định nghĩa và hằng đẳng thức cơ bản về căn bậc hai số học.

Định lý: Với mọi biểu thức $A$, ta luôn có hằng đẳng thức $\left. \sqrt{A^{2}} = \middle| A \right|$.

Phá dấu giá trị tuyệt đối:

Nếu $A \geq 0$ thì $\left| A \middle| = A \right.$, do đó $\sqrt{A^{2}} = A$ $\rightarrow$ Khẳng định A đúng

Nếu $A < 0$ thì $\left| A \middle| = - A \right.$, do đó $\sqrt{A^{2}} = - A$$\rightarrow$ Khẳng định C đúng.

Định lý: Với hai số $A$ và $B$ không âm ($A \geq 0$ và $B \geq 0$):

$A < B$ khi và chỉ khi $\sqrt{A} < \sqrt{B}$

Kết hợp với điều kiện không âm lại, ta có: $\sqrt{A} < \sqrt{B}$ khi và chỉ khi $0 \leq A < B$ $\rightarrow$ Khẳng định B đúng.

Ta có $\left. \sqrt{A} = \sqrt{B}\Leftrightarrow 0 \leq A = B \right.$ (hoặc $A = B \geq 0$).

Do đó, đẳng thức $\sqrt{A} = \sqrt{B}$ không thể xảy ra khi $A < B$$\rightarrow$ Khẳng định D là khẳng định sai

Số không âm: là số lớn hơn hoặc bằng 0 (ký hiệu $\geq 0$)

Nhỏ hơn hoặc bằng / Tối đa / Không vượt quá: dùng ký hiệu $\leq$.

a. y là số không âm là $y \geq 0$

b. x nhỏ hơn hoặc bằng -2 là $x \leq - 2$

a) Đưa hệ phương trình về dạng chuẩn của phương trình bậc nhất hai ẩn: $ax + by = c$.

Sau đó giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng.

b) Sử dụng máy tính cầm tay bấm $\sqrt{17}$ sau đó áp dụng quy tắc làm tròn và làm tròn đến hàng phần nghìn.

a. Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

b. Ta có: $\sqrt{17} \approx 4,12315..... \approx 4,123$

a) Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng giải hệ phương trình.

b) Chuyển vế đổi dấu, cô lập và giải $x$

a) Ta có $\{\begin{array}{l}x+2y=5(1)\\ x-y=-1(2)\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + 2y = 5\ \ (1)} \\ {x - y = - 1\ \ (2)} \end{array} \right.$

Trừ từng vế của hai phương trình trên ta được:

$\begin{array}{l}(x+2y)-(x-y)=5-(-1)\\ 3y=6\\ y=2\end{array}$$\begin{array}{l} {(x + 2y) - (x - y) = 5 - ( - 1)} \\ {3y = 6} \\ {y = 2} \end{array}$

Thay $y = 2$ vào phương trình (1) ta được

$x + 2.2 = 5$

$x = 1$

Nghiệm của hệ phương trình là $(x;y) = (1;2).$

b. Ta có: $3x + 2 \geq 2x + 3$

$3x - 2x \geq 3 - 2$

$x \geq 1$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $S = \left\{ x \middle| x \geq 1 \right\}$.

a) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử và tìm mẫu thức chung

Bước 3: Quy đồng và khử mẫu

Bước 4: Giải phương trình vừa tìm được

Bước 5: Đối chiếu ĐKXĐ và kết luận

b) Phân tích đa thức thành nhân tử đưa về phương trình tích.

c) Áp dụng quy tắc $\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} = \sqrt{A \cdot B}$ và hằng đẳng thức $\left. \sqrt{A^{2}} = \middle| A \right|$

a. ĐKXĐ : $x \neq - \dfrac{1}{2}$ và $x \neq \dfrac{1}{2}$.

Ta có: $\dfrac{1}{2x - 1} + \dfrac{3}{2x + 1} = \dfrac{6x + 3}{4x^{2} - 1}$

$\dfrac{1(2x + 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} + \dfrac{3(2x - 1)}{(2x + 1)(2x - 1)} = \dfrac{6x + 3}{(2x - 1)(2x + 1)}$

$1(2x + 1) + 3(2x - 1) = 6x + 3$

$2x + 1 + 6x - 3 = 6x + 3$

$2x = 5$

$x = \dfrac{5}{2}$ (TMĐK)

Vậy $x = \dfrac{5}{2}$

b) $\left( {x + 2} \right)^{2} - (2x + 1)(x + 2) = 0$

$\left( {x + 2} \right)(x + 2 - 2x - 1) = 0$

$\left( {x + 2} \right)( - x + 1) = 0$

$x + 2 = 0$ hoặc $- x + 1 = 0$

Vậy $x = - 2$ và $x = 1$

c) $\sqrt{12}(\sqrt{12} + \sqrt{3)} = 12.12 + 12.3 = \sqrt{12.12} + \sqrt{12.3} = 12.12 ​ + 12.3 ​ = \sqrt{12^{2}} + \sqrt{36}$$= 12 + 6 = 18$

Gọi $x, y$ lần lượt là số lít dung dịch HCl nồng độ 8% và nồng độ 15% cần dùng để tạo thành 37 ml dung dịch HCl nồng độ 12%. Điều kiện: $x > 0; y > 0$

Biểu diễn lượng dung dịch HCl nồng độ 12% theo $x, y$

Biểu diễn lượng dung dịch HCl nồng độ 12% pha từ các dung dịch HCl nồng độ 8% và nồng độ 15% .

Từ đó ta có hệ phương trình.

Giải hệ phương trình

Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi $x, y$ lần lượt là số lít dung dịch HCl nồng độ 8% và nồng độ 15% cần dùng để tạo thành 37 ml dung dịch HCl nồng độ 12%. (Điều kiện: $x > 0; y > 0$)

Vì Bình muốn pha 37 ml dung dịch HCl nồng độ 12% nên ta có phương trình: $\text{x~+~y~=~37}$

Mặt khác. Bình muốn pha dung dịch HCl nồng độ 12% từ các dung dịch HCl nồng độ 8% và nồng độ 15% nên ta có phương trình 8%x + 15%y =12%.37 hay $\text{0,08x} + 0,15\text{y~=~}4,44$.

Ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}\text{x + y = 37}\\ \text{0,08x}+0,15\text{y = }4,44\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} \text{x~+~y~=~37} \\ {\text{0,08x} + 0,15\text{y~=~}4,44} \end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được $\{\begin{array}{l}\text{x =15,9}\\ y=21,1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} \text{x~=15,9} \\ {y = 21,1} \end{array} \right.$

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy bạn Bình cần sử dụng khoảng 15,9 ml dung dịch HCl nồng độ 8% và 21,1 ml dung dịch nồng độ 15% để pha chế thành 37 ml dung dịch HCl nồng độ 12%.