Đề giữa kì 1 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường THCS Phước Thạnh – TP HCM

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng $ax + by = c$, trong đó a, b, c là các số đã biết ($a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$).

Phương trình $5x - 2y = 7$ có dạng $ax + by = c$ với $a = 5 \neq 0$ và $b = - 2 \neq 0$. Do đó, đây là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Các đáp án khác chứa $x^{2},y^{2},\sqrt{x}$ nên không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Thay tọa độ cặp số $x = 1;y = - 2$ vào từng hệ phương trình. Hệ nào thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình của hệ thì cặp số đó là nghiệm.

Thay $x = 1;y = - 2$ vào hệ phương trình của đáp án B:

$\{\begin{array}{l}1-2(-2)=5\text{(Ð}\acute{\text{u}}\text{ng)}\\ 3(1)+(-2)=1\text{(Ð}\acute{\text{u}}\text{ng)}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {1 - 2( - 2) = 5\quad\text{(Ðúng)}} \\ {3(1) + ( - 2) = 1\quad\text{(Ðúng)}} \end{array} \right.$

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Xét hệ $\{\begin{array}{l}2x+2y=4\\ 5x-y=4\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2x + 2y = 4} \\ {5x - y = 4} \end{array} \right.$, cả hai phương trình trong hệ đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cộng vế theo vế hoặc thế để giải hệ phương trình, hoặc thay từng cặp số vào hệ để kiểm tra.

Ta có: $\{\begin{array}{l}x-2y=4\\ x+2y=0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x - 2y = 4} \\ {x + 2y = 0} \end{array} \right.$

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

$(x - 2y) + (x + 2y) = 4 + 0$

$x - 2y + x + 2y = 4$

$2x = 4$

$x = 2$

Thay $x = 2$ vào phương trình thứ nhất ta được:

$\begin{array}{l}2-2y=4\\ -2y=4-2\\ -2y=2\\ y=-1\end{array}$$\begin{array}{l} {2 - 2y = 4} \\ {- 2y = 4 - 2} \\ {- 2y = 2} \\ {y = - 1} \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x;y) = (2; - 1)$.

Khi cộng hoặc trừ cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức thì ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Từ $m < n$, trừ cả hai vế cho $4$ ta được $m - 4 < n - 4$.

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta phải đổi chiều bất đẳng thức.

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức $m \geq n$ với số âm $- 3$, ta đổi chiều thu được: $- 3m \leq - 3n$.

Rút gọn cả hai vế của bất đẳng thức để so sánh.

Vì $8 > 6$ nên $8 + 2^{({- 2025})} > 6 + 2^{({- 2025})}$.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng $ax + b < 0$ (hoặc $ax + b > 0,ax + b \leq 0,ax + b \geq 0$) với a, b là hai số đã cho và $a \neq 0$.

Bất phương trình $2x - 5 > 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$ (với $a = 2 \neq 0,b = - 5$).

Tra bảng lượng giác hoặc sử dụng máy tính bỏ túi để tìm giá trị của $\cos 60^{{^\circ}}$.

Ta có: $\cos A = \cos 60^{{^\circ}} = \dfrac{1}{2} = 0,5$.

Trong tam giác vuông, $\sin$ của một góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong $\Delta DEF$ vuông tại $D$ ta có:

$\sin F = \dfrac{DE}{EF}$

Trong tam giác vuông, $\tan$ của một góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong $\Delta DEF$ vuông tại $E$ ta có:

$\tan D = \dfrac{EF}{DE}$

Sử dụng tính chất của hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ nhau ($\alpha + \beta = 90^{{^\circ}}$) thì $\tan\alpha = \cot\beta$.

Ta có $\left. \widehat{A} + \widehat{C} = 90^{{^\circ}}\Rightarrow\widehat{C} = 90^{{^\circ}} - 34^{{^\circ}} = 56^{{^\circ}} \right.$. Do đó, $\tan 34^{{^\circ}} = \cot 56^{{^\circ}}$

Sử dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân.

Khẳng định a sai, vì nhân cả hai vế của $a \geq b$ với $- 12 < 0$, bất đẳng thức đổi chiều thành $- 12a \leq - 12b$.

Khẳng định b đúng, vì nhân cả hai vế của $a \geq b$ với $5 > 0$, ta được $5a \geq 5b$.

Khẳng định c đúng vì trừ cả hai vế của $a \geq b$ cho $8$, ta được $a - 8 \geq b - 8$.

Khẳng định d sai vì cộng cả hai vế của $a \geq b$ với $15$, ta được $a + 15 \geq b + 15$.

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

+ Cạnh huyền nhân với $\sin$ góc đối hoặc nhân với $\cos$ góc kề.

+ Cạnh góc vuông kia nhân với $\tan$ góc đối hoặc nhân với $\cot$ góc kề.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $C$ (cạnh huyền là $AB$)

Khẳng định a sai, cạnh đối của góc $A$ là $BC$. Do đó $BC = AB \cdot \sin A$

Khẳng định b đúng, ta có $\left. \tan B = \dfrac{AC}{BC}\Rightarrow AC = BC \cdot \tan B \right.$.

Khẳng định c sai, ta có $\left. \cos B = \dfrac{BC}{AB}\Rightarrow BC = AB \cdot \cos B \right.$.

Khẳng định d đúng, cạnh đối của góc $A$ là $BC$, suy ra $BC = AB \cdot \sin A$.

Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau (có tổng số đo bằng $90^{{^\circ}}$).

Xét $\Delta DEF$ vuông tại $E$ nên

$\widehat{D} + \widehat{F} = 90{^\circ}$

$46{^\circ} + \widehat{F} = 90{^\circ}$

$\widehat{F} = 90{^\circ} - 46{^\circ}$

$\widehat{F} = 44{^\circ}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: $AC = AB \cdot \tan B$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AC = AB \cdot \tan B$

$AC = 5 \cdot \tan 38{^\circ}$

$AC \approx 4$ (cm)

Sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có: $\{\begin{array}{l}3x-y=-5\\ x+y=-3\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {3x - y = - 5} \\ {x + y = - 3} \end{array} \right.$

Cộng từng vế của hai phương trình, ta được:

$\begin{array}{l}(3x-y)+(x+y)=(-5)+(-3)\\ 4x=-8\\ x=-2\end{array}$$\begin{array}{l} {(3x - y) + (x + y) = ( - 5) + ( - 3)} \\ {4x = - 8} \\ {x = - 2} \end{array}$

Thay $x = - 2$ vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

$\begin{array}{l}-2+y=-3\\ y=-3+2\\ y=-1\end{array}$$\begin{array}{l} {- 2 + y = - 3} \\ {y = - 3 + 2} \\ {y = - 1} \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x;y) = ( - 2; - 1)$.

a) Phương trình tích: $A.B = 0$

$A = 0$ hoặc $B = 0$.

b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

- Tìm ĐKXĐ

- Quy đồng mẫu và bỏ mẫu

- Giải phương trình tìm x.

- Kiểm tra điều kiện và kết luận.

c) Chuyển vế giải bất phương trình bậc nhất.

a) $\left( {2x - 4} \right)\left( {3x + 5} \right) = 0$

$2x - 4 = 0$ hoặc $3x + 5 = 0$

$x = 2$ hoặc $x = \dfrac{- 5}{3}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm: $x = 2$;$x = \dfrac{- 5}{3}$

b) $\dfrac{3}{2x + 2} - \dfrac{2}{x - 5} = 0$ ĐKXD: $x \neq - 1;\,\,\, x \neq 5$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{3}{2(x+1)}}-{\displaystyle \frac{2}{x-5}}=0\\ {\displaystyle \frac{3(x-5)}{2(x+1)(x-5)}}-{\displaystyle \frac{2.2(x+1)}{2(x+1)(x-5)}}=0\end{array}$$\begin{array}{l} {\dfrac{3}{2(x + 1)} - \dfrac{2}{x - 5} = 0} \\ {\dfrac{3(x - 5)}{2(x + 1)(x - 5)} - \dfrac{2.2(x + 1)}{2(x + 1)(x - 5)} = 0} \end{array}$

$3\left( {x - 5} \right) - 4\left( {x + 1} \right) = 0$

$3x - 15 - 4x - 4 = 0$

$x = - 19$(TMĐK)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất $x = 13$

c) $2(x - 4) - 3x > 5$

$2x - 8 - 3x > 5$

$- x > - 3$

$x < 3$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < 3$

Gọi $x$(nghìn đồng) là giá tiền của mỗi hộp bánh, $y$ (nghìn đồng) là giá tiền mỗi túi kẹo (ĐK: $x,\, y > 0$)

Dựa vào số lượng bánh, kẹo bạn An mua và tổng số tiền phải trả từ đó ta có phương trình thứ nhất.

Dựa vào mối quan hệ về giá giữa hai mặt hàng từ đó ta có phương trình thứ hai.

Từ hai phương trình ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải phương trình và đối chiếu điều kiện

Kết luận

Gọi $x$(nghìn đồng) là giá tiền của mỗi hộp bánh

$y$ (nghìn đồng) là giá tiền mỗi túi kẹo

(ĐK: $x,\, y > 0$)

Vì An mua tất cả 15 hộp bánh và 5 túi kẹo với số tiền phải trả là 850 nghìn đồng, nên ta có phương trình: $15x + 5y = 850$

Hay $3x + y = 170\,\,(1)$

Vì mỗi hộp bánh hơn giá mỗi túi kẹo là 10 nghìn đồng nghìn đồng, nên ta có phương trình: $x - y = 10\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}3x+y=170\\ x-y=10\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {3x + y = 170} \\ {x - y = 10\,\,} \end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được: $\{\begin{array}{l}x=45\\ y=35\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x = 45} \\ {y = 35} \end{array} \right.$ (TMĐK)

Số tiền Bình phải trả 16 hộp bánh và 7 túi kẹo là: $45.16\, + 7.35 = \, 965$(nghìn đồng)

Vì Bình có 980 nghìn đồng nên bạn Bình đủ tiền để trả số bánh và số kẹo đã mua.

Áp dụng tỉ số lượng giác vào tính độ dài cạnh góc vuông chưa biết.

Chiều cao của cây trước khi bị gãy = Phần cây bị gãy + Phần còn lại.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại A, ta có:

$AC = AB.\tan\, 20^{0} = 5.\tan\, 20^{0} \approx 1,8$(m)

$\left. \cos\, B = \dfrac{AB}{BC}\Rightarrow BC = \dfrac{5}{\cos\, 20^{0}} \approx 5,3 \right.$

$\cos\dfrac{AB}{BC}$ suy ra $\dfrac{5}{\cos 20^{0}} \approx 5,3~m$

Khi đó: $AC + CB \approx 1,8 + 5,3 = 7,1$ (m)