Đề giữa kì 1 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường TH&THCS Quang Hanh – Quảng Ninh

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu là các mẫu thức phải khác $0$.

Điều kiện xác định của phương trình là:

$\{\begin{array}{l}2x+2\mathrm{\ne }0\\ x\mathrm{\ne }0\\ 1+x\mathrm{\ne }0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2x + 2 \neq 0} \\ {x \neq 0} \\ {1 + x \neq 0} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}x\mathrm{\ne }-1\\ x\mathrm{\ne }0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x \neq - 1} \\ {x \neq 0} \end{array} \right.$

Phương trình tích $A \cdot B = 0$

Khi đó, $A = 0$ hoặc $B = 0$.

$\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0~$

TH1: $2x - 1 = 0$

$\begin{array}{l}2x=1\\ x={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$\begin{array}{l} {2x = 1} \\ {x = \dfrac{1}{2}} \end{array}$

TH2: $x + 3 = 0$

$x = - 3$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x \in \left\{ {\dfrac{1}{2}; - 3} \right\}$

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ có dạng tổng quát là $ax + by = c$, trong đó a, b, c là các số đã cho và a, b không đồng thời bằng $0$.

$2x + 3y^{2} = 0$ chứa $y^{2}$ (bậc 2).

$x^{3} + y = 5$ chứa $x^{3}$ (bậc 3).

$xy - x = 1$ chứa tích $xy$ (bậc 2)

$2x - 3y = 4$ đúng dạng $ax + by = c$ với $a = 2,b = - 3,c = 4$.

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương trình $x - y = - 1$ và $3x - 2y = 9$ đều là các phương trình bậc nhất hai ẩn.

Do đó hệ $\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ 3x-2y=9\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = - 1} \\ {3x - 2y = 9} \end{array} \right.$ là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Thay tọa độ $(x;y)$ của từng đáp án vào hai phương trình của hệ, cặp số làm cho cả hai phương trình đều đúng là nghiệm của hệ.

Thay $(x;y) = (1; - 1)$ vào hệ:

$\{\begin{array}{l}2(1)-(-1)=2+1=3\\ 1+3(-1)=1-3=-2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2(1) - ( - 1) = 2 + 1 = 3} \\ {1 + 3( - 1) = 1 - 3 = - 2} \end{array} \right.$ (đúng)

Thay cặp số $(x;y)$ vào phương trình $3x - 2y = 5$. Cặp số thỏa mãn vế trái bằng $5$ là nghiệm.

Thay $(x;y) = (1; - 1)$ vào vế trái: $3(1) - 2( - 1) = 3 + 2 = 5$ (thỏa mãn).

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b > 0$, $ax + b < 0$, $ax + b \geq 0$, $ax + b \leq 0$ với $a \neq 0$.

$\dfrac{1}{x} - 2y \leq 3$ vừa chứa $y$, vừa chứa $x$ ở mẫu nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Áp dụng các tính chất của bất đẳng thức (cộng/trừ hai vế cho một số, nhân hai vế với một số dương hoặc âm).

Vì $a > b$, khi cộng cùng số $- 2$ vào cả hai vế ta được $a - 2 > b - 2$. Do đó $a - 2 < b - 2$ là sai.

Trong tam giác vuông, cos bằng tỉ số của cạnh kề và cạnh huyền

Đối với góc $C$, cạnh kề là $AC = b$, cạnh huyền là $BC = a$.

Do đó $\cos C = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{b}{a}$.

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn.

Với góc $B$, cạnh kề là AB, cạnh huyền là BC.

Do đó $\cos B = \dfrac{AB}{BC}$.

Nếu hai góc phụ nhau thì $\sin$ góc này bằng $\cos$ góc kia, $\tan$ góc này bằng $\cot$ góc kia.

Vì $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^{{^\circ}}$ nên $\sin B = \cos C$, do đó đẳng thức $\sin B = \sin C$ là sai.

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với $\sin$ góc đối hoặc nhân với $\cos$ góc kề.

Cạnh AC đối diện với góc $B$, do đó $AC = BC \cdot \sin B$.

a) Giải phương trình tích $A \cdot B = 0$ khi và chỉ khi $A = 0$ hoặc $B = 0$.

b) Tìm ĐKXĐ, quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu, đưa về phương trình bậc nhất một ẩn.

c) Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái, hạng tử tự do sang vế phải và đổi dấu, sau đó chia cả hai vế cho số âm thì đổi chiều bất đẳng thức.

d) Quy đồng mẫu số hai vế với mẫu chung là $6$, khử mẫu rồi giải bất phương trình.

a) $~\left( {- x + 2} \right)\left( {1 + 3x} \right) = 0~$

TH1: $- x + 2 = 0$

$\begin{array}{l}-x=-2\\ x=2\end{array}$$\begin{array}{l} {- x = - 2} \\ {x = 2} \end{array}$

TH2: $1 + 3x = 0$

$3x = - 1$

$x = \dfrac{- 1}{3}$

Vậy $x \in \left\{ {2;\dfrac{- 1}{3}} \right\}$

b) $\dfrac{3x + 1}{x} - \dfrac{3x}{x + 2} = 0$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{(3x+1)(x+2)}{x(x+2)}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{x(x+2)}}=0\\ {\displaystyle \frac{(3x+1)(x+2)-3x^2}{x(x+2)}}=0\\ (3x+1)(x+2)-3x^2=0\\ 3x^2+7x+2-3x^2=0\\ 7x+2=0\\ 7x=-2\\ x={\displaystyle \frac{-2}{7}}\end{array}$$\begin{array}{l} {\dfrac{(3x + 1)(x + 2)}{x(x + 2)} - \dfrac{3x^{2}}{x(x + 2)} = 0} \\ {\dfrac{(3x + 1)(x + 2) - 3x^{2}}{x(x + 2)} = 0} \\ {(3x + 1)(x + 2) - 3x^{2} = 0} \\ {3x^{2} + 7x + 2 - 3x^{2} = 0} \\ {7x + 2 = 0} \\ {7x = - 2} \\ {x = \dfrac{- 2}{7}} \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \dfrac{- 2}{7}$

c) $2x + 9 > 5x - 3$

$\begin{array}{l}2x-5x>-3-9\\ -3x>-12\\ x<4\end{array}$$\begin{array}{l} {2x - 5x > - 3 - 9} \\ {- 3x > - 12} \\ {x < 4} \end{array}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x < 4.

d) $\dfrac{4x + 5}{2} + \dfrac{x + 1}{6} > 1 + 3x$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{3.(4x+5)}{6}}+{\displaystyle \frac{x+1}{6}}>{\displaystyle \frac{6.(1+3x)}{6}}\\ 3.(4x+5)+x+1>6.(1+3x)\\ 12x+15+x+1>6+18x\\ 12x+x-18x>6-1-15\\ -5x>-10\\ x<2\end{array}$$\begin{array}{l} {\dfrac{3.(4x + 5)}{6} + \dfrac{x + 1}{6} > \dfrac{6.(1 + 3x)}{6}} \\ {3.(4x + 5) + x + 1 > 6.(1 + 3x)} \\ {12x + 15 + x + 1 > 6 + 18x} \\ {12x + x - 18x > 6 - 1 - 15} \\ {- 5x > - 10} \\ {x < 2} \end{array}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x < 2.

a) Thay tọa độ điểm $A$ và $B$ vào công thức hàm số $y = ax + b$ để lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $a, b$.

b) Gọi số xe mỗi loại là $x,y$ ($0 < x,y < 11; x,y \in {\mathbb{N}}$). Biểu diễn số người đi xe qua $x,y$ để lập hai phương trình về tổng số xe và tổng số chỗ ngồi.

a) Vì đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua hai điểm $A\left( {1; - 1} \right)$ và $B\left( {4;5} \right)$ nên thay lần lượt từng cặp giá trị $x,y$ vào hàm số, ta có:

$\{\begin{array}{c}-1=a\cdot 1+b\\ 5=a\cdot 4+b\end{array}$$\left\{ \begin{matrix} {- 1 = a \cdot 1 + b} \\ {5 = a \cdot 4 + b} \end{matrix} \right.$ hay $\{\begin{array}{c}a+b=-1\\ 4a+b=5.\end{array}$$\left\{ \begin{matrix} {a + b = - 1} \\ {4a + b = 5.} \end{matrix} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

$3a = 6,$ suy ra $a = 2.$

Thay $a = 2$ vào phương trình $a + b = - 1,$ ta được:

$2 + b = - 1,$ suy ra $b = - 3.$

Vậy hàm số cần tìm là $y = 2x - 3.$

b) Gọi số xe loại 30 chỗ ngồi là $x$ (xe), số xe loại 45 chỗ ngồi là $y$ (xe)

ĐK: $0 < x,y < 11; x,y \in {\mathbb{N}}$

Vì trường thuê 11 chiếc xe cả hai loại nên ta có phương trình:

$x + y = 11$(1)

Số người ngồi trên xe loại 30 chỗ ngồi: $30x$ (người)

Số người ngồi trên xe loại 45 chỗ ngồi: $45y$ (người)

Vì có tất cả 450 người và không có xe nào còn chỗ trống nên ta có $30x + 45y = 450$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}x+y=11(1)\\ 30x+45y=450(2)\end{array}$$\left\{ \begin{matrix} {x + y = 11~(1)} \\ {30x + 45y = 450(2)} \end{matrix} \right.$

Giải hpt được x = 3 (TMĐK); y = 8 (TMĐK)

Vậy trường thuê 3 xe loại 30 chỗ ngồi và 8 xe 45 chỗ ngồi.

Sử dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép nhân và phép cộng để nhân hai vế với $- 4$, sau đó cộng hai vế với các số thích hợp.

Có a < b nên $- 4a > - 4b$ (Nhân 2 vế với - 4 < 0)

Suy ra $- 4a + 1 > - 4b + 1$ (cộng 2 vế với 1) (*)

Lại có 3 > 1 nên $- 4a + 3 > - 4a + 1$ (cộng 2 vế với – 4a) (**)

Từ (*) và (**) suy ra $- 4a + 3 > - 4b + 1$

a) Tính góc $\widehat{B} = 90^{{^\circ}} - \widehat{C}$, sau đó dùng các tỉ số lượng giác $\tan$ và $\sin$ để tính hai cạnh AC và BC.

b) Đổi đơn vị sang $\text{dm}$, sử dụng tỉ số $\tan$ trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao cái cây, bóng trên mặt đất và tia nắng.

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại A có $\widehat{C} = 40{^\circ}$ (gt) nên $\widehat{B} = 50{^\circ}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có

AC = AB. tanB = 10. tan 5 $0{^\circ}$ $\approx$ 11,92 (cm)

Lại có AB = BC. sin C

nên BC = $\dfrac{AB}{sinC} = \dfrac{10}{sin40{^\circ}} \approx 15,56\left( {cm} \right)$

b)

Đổi $25 m = 250 dm$

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong $\Delta ABC$ vuông tại B, ta có:

$\tan\widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC}$ hay $\tan 40{^\circ} = \dfrac{AC}{250}$

Suy ra $AC = 250.\tan 40{^\circ} \approx 209,8\ (dm)$

Vậy chiều cao của cái cây khoảng 209,8 dm.

- Đổi độ dài AB từ gang tay sang $\text{cm}$ và đổi sang $\text{m}$.

- Biểu diễn AH và BH theo chiều cao $CH = h$ qua tỉ số lượng giác $\tan$ trong hai tam giác vuông $\Delta AHC$ và $\Delta BHC$.

- Lập phương trình $AH + BH = AB$ để tìm $h$.

- Tính diện tích mảnh đất $S = \dfrac{1}{2} \cdot CH \cdot AB$.

Độ dài đoạn thẳng AB là:

$22.15 = 330$ (cm)

Đặt CH = h (cm), h > 0

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong $\Delta AHC$ vuông tại H, ta có:

$\tan CAH = \dfrac{CH}{AH}$ suy ra $AH = ~\dfrac{h}{\tan 80^{o}}$

Tính tương tự được $BH = ~\dfrac{h}{\tan 65^{o}}$

Lại có: AH + BH = AB

Hay $\dfrac{h}{\tan 80^{o}} + \dfrac{h}{\tan 65^{o}} = 330$

$\dfrac{\tan 65^{o}.h}{\tan 80^{o}.\tan 65^{o}} + \dfrac{\tan 80^{o}.h}{\tan 80^{o}.\tan 65^{o}} = \dfrac{330\tan 80^{o}.\tan 65^{o}}{\tan 80^{o}.\tan 65^{o}}$

$\begin{array}{l}\tan {65}^o\mathrm{.}h+\tan {80}^o\mathrm{.}h=330\tan {80}^o\mathrm{.}\tan {65}^o\\ h(\tan {65}^o+\tan {80}^o)=330\tan {80}^o\mathrm{.}\tan {65}^o\\ h={\displaystyle \frac{330\tan {80}^o\mathrm{.}\tan {65}^o}{\tan {65}^o+\tan {80}^o}}\end{array}$$\begin{array}{l} {\tan 65^{o}.h + \tan 80^{o}.h = 330\tan 80^{o}.\tan 65^{o}} \\ {h(\tan 65^{o} + \tan 80^{o}) = 330\tan 80^{o}.\tan 65^{o}} \\ {h = \dfrac{330\tan 80^{o}.\tan 65^{o}}{\tan 65^{o} + \tan 80^{o}}} \end{array}$

Diện tích mảnh vườn là:

$~S = \dfrac{1}{2}.CH.AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{330\tan 80^{o}.\tan 65^{o}}{\tan 65^{o} + \tan 80^{o}}.330 \approx 84~729\text{~cm}^{2} \approx 8\text{~m}^{2}$

Vậy diện tích của mảnh đất khoảng 8 $m^{2}$.