Đề thi giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 5

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng $ax + by = c$, trong đó a, b và c là các số đã biết ($a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$).

Phương trình $0x - 0y = 6$ là phương trình bậc nhất vì hệ số $a = b = 0$.

Đáp án D.

Hệ phương trình có nghiệm là cặp số $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ nếu $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là nghiệm của hai phương trình của hệ.

Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}2x+y=2\\ x+y=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2\\x + y = 1\end{array} \right.$ có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right)$ vì $\{\begin{array}{l}2.1+0=2\\ 1+0=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2.1 + 0 = 2\\1 + 0 = 1\end{array} \right.$.

Đáp án B.

Dựa vào đề bài để viết hệ phương trình thỏa mãn đề bài.

Vì nếu xếp mỗi xe 12 tấn thì thừa 3 tấn nên ta có phương trình $x - 12y = 3$.

Vì nếu xếp vào mỗi xe 15 tấn thì có thể chở thêm 12 tấn nữa nên ta có phương trình $15y - x = 12$ hay $- x + 15y = 12$.

Vậy hệ phương trình thỏa mãn là $\{\begin{array}{l}x-12y=3\\ -x+15y=12\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x - 12y = 3\\ - x + 15y = 12\end{array} \right.$.

Đáp án B.

Phân tích vế trái thành nhân tử để biến đổi phương trình về phương trình tích.

Ta có:

$\begin{array}{l}{x}^2-4x+3=0\\ x^2-x-3x+3=0\\ \left(x^2-x\right)-\left(3x-3\right)=0\\ x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)=0\\ \left(x-3\right)\left(x-1\right)=0\end{array}$$\begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 = 0\\{x^2} - x - 3x + 3 = 0\\\left( {{x^2} - x} \right) - \left( {3x - 3} \right) = 0\\x\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right) = 0\\\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\end{array}$

Đáp án C.

Ta gọi hệ thức dạng $a > b$ (hay $a < b$, $a \ge b$, $a \le b$) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức

Hệ thức $2a \le a + 1$ có $2a$ là vế trái, $a + 1$ là vế phải.

Đáp án D.

Dựa vào các tính chất của bất đẳng thức.

Theo tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, với $a < b$ và $c < d$ thì $a + c < b + d$ nên đáp án B đúng.

Đáp án B.

Bất phương trình dạng $ax + b < 0$ (hoặc $ax + b > 0$; $ax + b \le 0$; $ax + b \ge 0$) trong đó a, b là hai số đã cho, $a \ne 0$ được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

Điều kiện của a, b là a, b là hai số đã cho và $a \ne 0$.

Đáp án B.

Giải bất phương trình để tìm nghiệm.

Ta có:

$\begin{array}{l}x-2>0\\ x>2\end{array}$$\begin{array}{l}x - 2 > 0\\x > 2\end{array}$

Đáp án A.

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Với $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau thì $\sin \alpha = \cos \beta ;\tan \alpha = \cot \beta$ nên đáp án A đúng.

Đáp án A.

Sử dụng kiến thức $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}$.

Ta có: $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{1}{5}}} = 5$.

Đáp án C.

Biểu diễn BC theo AC và tỉ số lượng giác của góc A.

Ta có: $\sin A = \frac{{BC}}{{AC}}$ suy ra $BC = AC.\sin A = \sqrt 2 .\sin 45^\circ = 1$.

Đáp án D.

Biểu diễn tỉ số lượng giác của góc C theo AB và BC.

Sử dụng máy tính cầm tay để tính góc C theo tỉ số lượng giác của nó.

Ta có: $\sin C = \frac{5}{8}$ suy ra $\widehat C \approx 39^\circ$.

Đáp án D.

a) Để giải phương trình tích $\left( {ax + b} \right)\left( {cx + d} \right) = 0$, ta giải hai phương trình $ax + b = 0$ và $cx + d = 0$. Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

b) Tìm điều kiện xác định, quy đồng mẫu và giải phương trình tìm được. Sau đó kiểm tra điều kiện của các nghiệm tìm được.

c, d) Dựa vào cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn và phương trình đưa về dạng bất phương tình bậc nhất một ẩn.

a) $\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 6} \right) = 0$

+) $x - 1 = 0$

$x = 1$

+) $3x - 6 = 0x = 1$

$3x = 6$

$x = 2$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 1$; $x = 2$.

b) $\frac{2}{{x + 3}} - \frac{1}{{x - 2}} = \frac{{2x - 13}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

ĐKXĐ: $x \ne - 3$ và $x \ne 2$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{2}{x+3}-\frac{1}{x-2}=\frac{2x-13}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\frac{2}{x+3}-\frac{1}{x-2}=\frac{2x-13}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\\ \frac{2\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{x+3}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{2x-13}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\\ 2\left(x-2\right)-\left(x+3\right)=2x-13\\ 2x-4-x-3=2x-13\\ x-7=2x-13\\ x-2x=-13+7\\ -x=-6\\ x=6\left(TM\right)\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{2}{{x + 3}} - \frac{1}{{x - 2}} = \frac{{2x - 13}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\frac{2}{{x + 3}} - \frac{1}{{x - 2}} = \frac{{2x - 13}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\\frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{2x - 13}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\2\left( {x - 2} \right) - \left( {x + 3} \right) = 2x - 13\\2x - 4 - x - 3 = 2x - 13\\x - 7 = 2x - 13\\x - 2x = - 13 + 7\\ - x = - 6\\x = 6\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 6$.

c) $2x - 4 > 0$

$\begin{array}{l}2x>4\\ x>2\end{array}$$\begin{array}{l}2x > 4\\x > 2\end{array}$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x > 2$.

d) $2 - 3x \le 4x + 5$

$\begin{array}{l}-3x-4x\le 5-2\\ -7x\le 3\\ x\ge \frac{-3}{7}\end{array}$$\begin{array}{l} - 3x - 4x \le 5 - 2\\ - 7x \le 3\\x \ge \frac{{ - 3}}{7}\end{array}$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x \ge \frac{{ - 3}}{7}$.

a) Sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình.

b) - Đặt ẩn và đặt điều kiện cho ẩn, lập hai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các ẩn, đưa về bài toán giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Giải hệ phương trình tìm được ẩn, sau đó kiểm tra điều kiện và chọn giá trị thỏa mãn.

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 5\\2x + y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 5\\4x + 2y = 2\end{array} \right.\\\left\{$$\begin{array}{l}7x = 7\\2x + y = 1\end{array}$ \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\2.1 + y = 1\end{array} \right.\\\left\{ $\begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array}$ \right.\end{array}

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 1} \right)$.

b) Gọi số dụng cụ mà xí nghiệp 1 và xí nghiệp II phải làm lần lượt là $x,y$ $\left( {x,y \in {N^*}} \right)$.

Theo kế hoạch, hai xí nghiệp sản xuất phải làm tổng cộng 360 dụng cụ nên ta có:

$x + y = 360$ (1)

Thực tế, xí nghiệp I đã vượt mức 12% kế hoạch, xí nghiệp II đã vượt mức 10% kế hoạch, do đó hai xí nghiệp đã làm được 400 dụng cụ nên ta có phương trình:

$\left( {x + 12\% x} \right) + \left( {y + 10\% y} \right) = 400$ hay $1,12x + 1,1y = 400$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=360\\ 1,12x+1,1y=400\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\1,12x + 1,1y = 400\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình ta được: $\{\begin{array}{l}x=200\\ y=160\end{array}\left(TM\right)$$\left\{ \begin{array}{l}x = 200\\y = 160\end{array} \right.$left( {TM} \right).

Vậy theo kế hoạch xí nghiệp I làm được 200 dụng cụ và xí nghiệp II làm được 160 dụng cụ.

Dựa vào kiến thức về tỉ số lượng giác để tính chiều cao của công trình.

Giả sử hình biểu diễn như hình vẽ.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: $\tan BCA = \frac{{AB}}{{AC}}$

Suy ra $AB = AC.\tan BCA = 16.\tan 52^\circ \approx 20,48\left( m \right)$

Vậy chiều cao của công trình này là khoảng $20,48m$.

a) Vận dụng các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải tam giác.

b) Chứng minh $\Delta BHD\backsim \Delta HAD\left( g.g \right)$ suy ra $BD.DA = D{H^2}$

Chứng minh $\Delta CHE\backsim \Delta HAE\left( g.g \right)$ suy ra $CE.AE = H{E^2}$.

$BD.DA + CE.AE = D{H^2} + H{E^2}$

Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên $AH = DE$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DHE vuông tại H, ta có: $D{H^2} + H{E^2} = D{E^2}$.

Suy ra $D{H^2} + H{E^2} = A{H^2}$

Từ đó ta có $BD.DA + CE.AE = A{H^2}$ (đpcm)

c) Chứng minh $\Delta BIA\backsim \Delta BAM\left( g.g \right)$ suy ra $BI.BM = A{B^2}$.

Chứng minh $\Delta BHA\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$ suy ra $BH.BC = A{B^2}$.

Do đó $BI.BM = BH.BC$ hay $\frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BM}}$.

Chứng minh $\Delta BHI\backsim \Delta BMC$ suy ra $\frac{{HI}}{{MC}} = \frac{{BI}}{{BC}}$.

Dựa vào kiến thức về tỉ số lượng giác, ta có: $\sin \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{BM}}$; $\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}$.

Biến đối $\sin \widehat {AMB}.\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BM}}.\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A{B^2}}}{{BM.BC}} = \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{HI}}{{CM}}$. Ta được điều phải chứng minh.

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore trong tam giác, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {6^2} = 48$ suy ra \(BC = \sqrt {48}  = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)

Ta có: $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{6}{{4\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ suy ra $\widehat B = 60^\circ$.

\(\widehat C = 90^\circ  - \widehat B = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ\).

Vậy $BC = 4\sqrt 3 cm;\widehat B = 60^\circ ;\widehat C = 30^\circ$.

b) Xét tam giác BHD và tam giác HAD có:

$\widehat {BDH} = \widehat {HDA}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat {BHD} = \widehat {HAD}$ (cùng phụ với $\widehat {DBH}$)

suy ra $\Delta BHD\backsim \Delta HAD\left( g.g \right)$ nên $\frac{{BD}}{{DH}} = \frac{{DH}}{{DA}}$. Do đó  $BD.DA = D{H^2}$. (1)

Xét tam giác CHE và tam giác HAE có:

$\widehat {CEH} = \widehat {HEA}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat {CHE} = \widehat {HAE}$ (cùng phụ với $\widehat {C}$)

suy ra $\Delta CHE\backsim \Delta HAE\left( g.g \right)$ nên $\frac{{CE}}{{HE}} = \frac{{HE}}{{AE}}$. Do đó $CE.AE = H{E^2}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BD.DA + CE.AE = D{H^2} + H{E^2}$ (3).

Vì tứ giác ADHE có $\widehat {DAE} = \widehat {ADH} = \widehat {AEH} = 90^\circ$ nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật. Do đó $AH = DE$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DHE vuông tại H, ta có: $D{H^2} + H{E^2} = D{E^2}$. Suy ra $D{H^2} + H{E^2} = A{H^2}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $BD.DA + CE.AE = A{H^2}$ (đpcm)

c) Xét tam giác BIA và tam giác BAM có:

$\widehat {BIA} = \widehat {BAM}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat B$ chung

suy ra $\Delta BIA\backsim \Delta BAM\left( g.g \right)$ nên $\frac{{BI}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BM}}$. Do đó $BI.BM = A{B^2}$.

Xét tam giác BHA và tam giác BAC có:

$\widehat {BHA} = \widehat {BAC}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat B$ chung

suy ra $\Delta BHA\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$ nên $\frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BC}}$. Do đó $BH.BC = A{B^2}$.

Từ đó ta có $BI.BM = BH.BC$ suy ra $\frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BM}}$.

Xét tam giác BHI và tam giác BMC có:

$\widehat B$ chung

$\frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BM}}$ (cmt)

nên $\Delta BHI\backsim \Delta BMC$ (c.g.c) suy ra $\frac{{HI}}{{MC}} = \frac{{BI}}{{BC}}$.

Xét tam giác AMB vuông tại A, ta có: $\sin \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{BM}}$.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: $\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}$.

Suy ra $\sin \widehat {AMB}.\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BM}}.\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A{B^2}}}{{BM.BC}} = \frac{{BI.BM}}{{BM.BC}} = \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{HI}}{{CM}}$.

Vậy $\sin \widehat {AMB}.\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}$ (đpcm).

Gọi hai cạnh của miếng đất là x, y.

Sử dụng bất đẳng thức: $ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}$.

* Chứng minh bất đẳng thức $ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}$ hay ${\left( {a + b} \right)^2} - 4ab \ge 0$

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^2} - 4ab \ge 0$ với mọi a, b.

Vậy $ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}$.

* Áp dụng bất đẳng thức trên để giải.

Gọi hai cạnh của miếng đất lần lượt là x, y (m). ($0 < x,y < 800$)

Vì chu vi của mảnh đất là 800m nên ta có: $2\left( {x + y} \right) = 800$ hay $x + y = 400$.

Diện tích đất canh tác là $xy$.

Ta có: $xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \le \frac{{{{400}^2}}}{4} = 40000\left( {{m^2}} \right)$.

Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của xy. Khi đó kích thước của mảnh đất thỏa mãn $x + y = 400$ và $xy = 40000$.

Ta có $x + y = 400$ nên $y = 400 - x$.

Thay vào $xy = 40000$, ta được:

$\begin{array}{l}\left(400-x\right)x=40000\\ -x^2+400x-40000=0\\ x^2-400x+40000=0\\ {\left(x-200\right)}^2=0\\ x=200\end{array}$$\begin{array}{l}\left( {400 - x} \right)x = 40000\\ - {x^2} + 400x - 40000 = 0\\{x^2} - 400x + 40000 = 0\\{\left( {x - 200} \right)^2} = 0\\x = 200\end{array}$

Khi đó $y = 400 - 200 = 200$.

Vậy người đó phải chọn mảnh đất có kích thước 200m x 200m để diện tích đất canh tác là lớn nhất.