Đề thi giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 2

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng $ax + by = c$, trong đó a, b và c là các số đã biết ($a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$).

Phương trình $12x - 5y = 4$ có hệ số $a = 12$, $b = - 5$ và $c = 4$.

Đáp án D.

Xác định tọa độ của điểm A.

Thay ${x_A};{y_A}$ vào các hệ phương trình xem hệ nào thỏa mãn.

Quan sát hệ trục tọa độ, ta thấy tọa độ điểm A là $A\left( {3;2} \right)$.

Cặp số $\left( {3;2} \right)$ là nghiệm của phương trình $\{\begin{array}{l}2x+y=8\\ x-y=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 8\\x - y = 1\end{array} \right.$ vì $\{\begin{array}{l}2.3+2=8\\ 3-2=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2.3 + 2 = 8\\3 - 2 = 1\end{array} \right.$.

Đáp án C.

Giải phương trình tích và cộng tổng các nghiệm của phương trình.

Ta có: $\left( {2x + 5} \right)\left( {x - 3} \right) = 0$

$2x + 5 = 0$ hoặc $x - 3 = 0$

$x = - \frac{5}{2}$     hoặc $x = 3$.

Tổng của hai nghiệm là: $- \frac{5}{2} + 3 = \frac{1}{2}$.

Đáp án B.

Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Dựa vào cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

ĐKXĐ: $x - 4 \ne 0$ và $x + 3 \ne 0$ hay $x \ne 4$ và $x \ne - 3$.

Ta có: $\frac{{x + 2}}{{x - 4}} - 1 = \frac{{30}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}$

$\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{30}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}$

$\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right) = 30$

$\begin{array}{l}{x}^2+5x+6-\left(x^2-x-12\right)=30\\ x^2+5x+6-x^2+x+12=30\\ \left(x^2-x^2\right)+\left(5x+x\right)=30-12-6\\ 6x=12\\ x=2\left(TM\right)\end{array}$$\begin{array}{l}{x^2} + 5x + 6 - \left( {{x^2} - x - 12} \right) = 30\\{x^2} + 5x + 6 - {x^2} + x + 12 = 30\\\left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {5x + x} \right) = 30 - 12 - 6\\6x = 12\\x = 2\left( {TM} \right)\end{array}$

Đáp án A.

Dựa vào kiến thức về bất đẳng thức.

Bất đẳng thức $n \le 5$ có thể được phát biểu là n không lớn hơn 5.

Đáp án D.

Dựa vào kiến thức về tính chất của bất đẳng thức

+ Với $x < y$ thì $x + z < y + z$ (cộng cả hai vế với $z$) nên A đúng.

+ Với $x < y$ và $z$ âm thì $xz > yz$ nên B sai.

+ Với $x < y$ thì $x - z < y - z$ (cộng cả hai vế với $- z$) nên C đúng.

+ Với $x < y$ và $z$ dương thì $xz < yz$ nên D đúng.

Đáp án B.

Các hệ thức dạng $a > b$ (hay $a < b,a \ge b,a \le b$) là bất đẳng thức và gọi a là vế tría, b là vế phải của bất đẳng thức.

Trong các đáp án trên, chỉ có hệ thức ${y^2} \ge 0$ là bất đẳng thức.

Đáp án C.

Dựa vào cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn để tìm nghiệm.

Ta có: $2x - 1 \le x + 4$

$\begin{array}{l}2x-x\le 4+1\\ x\le 5\end{array}$$\begin{array}{l}2x - x \le 4 + 1\\x \le 5\end{array}$

Vậy bất phương trình $2x - 1 \le x + 4$ có nghiệm là $x \le 5$.

Đáp án A.

Dựa vào kiến thức về tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

Tam giác ABC vuông tại A nên tỉ số lượng giác $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Đáp án D.

Dựa vào tính chất về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau:

$\sin \alpha = \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right),\tan \alpha = \cot \left( {90^\circ - \alpha } \right)$.

Trong tam giác ABC vuông tại A thì $\widehat B$ và $\widehat C$ là hai góc phụ nhau.

Ta có: $\sin B = \cos C,\tan B = \cot C$.

Dẫn đến $\sin B - \cos C = 0$ và $\tan B - \cot C = 0$ nên đáp án C đúng.

Đáp án C.

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt $\left( {30^\circ ,45^\circ ,60^\circ } \right)$ hoặc sử dụng máy tính cầm tay.

Ta có: $A = \tan 45^\circ .\sin 60^\circ .\cot 30^\circ$ $= 1.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \frac{3}{2}$

Đáp án D.

Biểu diễn AB theo BC và tỉ số lượng giác của góc A.

Ta có: $\cot A = \frac{{AB}}{{BC}}$ suy ra $AB = BC.\cot A = 2.\cot 30^\circ = 2.\sqrt 3 = 2\sqrt 3$.

Đáp án A.

a) Biểu diễn số hàng mỗi xe cần chở thực tế theo x.

b) Viết phương trình số hàng mỗi xe cần chở dự định và thực tế.

c) Giải phương trình để tìm x, từ đó tính số xe thực tế.

d) Khối lượng hàng mỗi xe chở thực tế = 120 : số xe thực tế.

a) Theo dự định đội xe dùng $x$ xe cùng loại để chở 120 tấn hàng nên mỗi xe cần chở $\frac{{120}}{x}$ tấn hàng.

Thực tế đội có số xe là: $x + \frac{1}{3}x = \frac{4}{3}x$ (xe). Do đó, mỗi xe phải chở số tấn hàng là $\frac{{120}}{{\frac{4}{3}x}} = \frac{{90}}{x}$ tấn hàng.

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Vì so với dự định, mỗi xe phải chở ít hơn 2 tấn nên ta có phương trình:

$\frac{{120}}{x} - \frac{{90}}{x} = 2$

Vậy khẳng định b) sai.

c) Giải phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{120}{x}-\frac{90}{x}=2\\ \frac{30}{x}=2\\ x=\frac{30}{2}=15\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{{120}}{x} - \frac{{90}}{x} = 2\\\frac{{30}}{x} = 2\\x = \frac{{30}}{2} = 15\end{array}$

Do đó, đội xe dự định dùng 15 xe để chở hàng, thực tế thì đội dùng $15.\frac{4}{3} = 20$ xe.

Vậy khẳng định c) sai.

d) Như vậy, thực tế mỗi xe chở $120:20 = 6$ tấn hàng.

Vậy khẳng định d) đúng,

Đáp án a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

a) Viết phương trình biểu diễn số tiền nhà trường cần chi trả để mua x quyển vở và y cây bút.

b) Viết phương trình biểu diễn số tiền nhà trường cần chi trả khi được giảm giá để mua x quyển vở và y cây bút.

c) Giải hệ phương trình.

d) Gọi số học sinh Xuất sắc là a (học sinh), số học sinh Giỏi là b (học sinh). $\left( {a,b \in {N^*}} \right)$

Lập hệ phương trình biểu diễn số quyển vở và cây bút theo a và b, giải hệ phương trình để tính số học sinh Xuất sắc và học sinh Giỏi.

Vì số học sinh Xuất sắc và học sinh Giỏi chiếm 40% tổng số học sinh nên ta tính số học sinh của trường = số học sinh Xuất sắc và học sinh Giỏi : 40%.

a) Theo bài ra ta có mỗi quyển vở có giá niêm yết là 8000 đồng, mỗi cây bút có giá niêm yết 6000 đồng thì số tiền nhà trường cần chi trả là 11 triệu 200 nghìn đồng nên ta có phương trình:

$8\,000x + 6\,000y = 11\,200\,000$. (1)

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Nếu giảm giá 5% cho mỗi quyển vở thì giá tiền mỗi quyển vở sau khi giảm là:

\(8\,000.\left( {100\%  - 5\% } \right) = 7\,600\) (đồng)

Nếu giảm giá 6% cho mỗi cây bút thì giá tiền mỗi cây bút sau khi giảm là:

\(6\,000.\left( {100\%  - 6\% } \right) = 5\,640\) (đồng)

Sau khi giảm giá thì nhà trường chỉ cần trả 10 triệu 604 nghìn đồng nên ta có phương trình:

$7\,600x + 5\,640y = 10\,604\,000$. (2)

Vậy khẳng định b) sai.

c) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}8000x+6000y=11200000\\ 7600x+5640y=10604000\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}8\,000x + 6\,000y = 11\,200\,000\\7\,600x + 5\,640y = 10\,604\,000\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình ta được: $x = 950;y = 600$.

Vậy khẳng định c) đúng.

d) Gọi số học sinh Xuất sắc là a (học sinh), số học sinh Giỏi là b (học sinh). $\left( {a,b \in {N^*}} \right)$

Vì có 950 quyển vở, mỗi học sinh Xuất sắc được thưởng 5 quyển vở và mỗi học sinh Giỏi được thưởng 3 quyển vở nên ta có phương trình: $5a + 3b = 950$

Vì có 600 cây bút, mỗi học sinh Xuất sắc được thưởng 3 cây bút và mỗi học sinh Giỏi được thưởng 2 cây bút nên ta có phương trình: $3a + 2b = 600$

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}5a+3b=950\\ 3a+2b=600\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}5a + 3b = 950\\3a + 2b = 600\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình ta được $a = 100,b = 150$.

Suy ra tổng số học sinh Xuất sắc và học sinh Giỏi là: $100 + 150 = 250$ (học sinh).

Vì số học sinh Xuất sắc và học sinh Giỏi chiếm 40% tổng số học sinh tổng số học sinh của trường là:

\(250:40\%  = 625\) (học sinh).

Vậy khẳng định d) sai.

Đáp án a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.

a) Sử dụng công thức tính chu vi tam giác và chu vi hình chữ nhật.

b) Vì chu vi hình tam giác lớn hơn chu vi hình chữ nhật nên ta viết được bất phương trình.

c) Giải bất phương trình trên.

d) Thay x = 1, kiểm tra xem khi đó chu vi tam giác có bằng diện tích hình chữ nhật không.

a) Chu vi hình tam giác là:

$x + 3 + x + 5 + x + 10 = 3x + 18$.

Chu vi hình chữ nhật là:

$2\left( {x + 2 + x + 6} \right) = 2\left( {2x + 8} \right) = 4x + 16$.

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Vì chu vi hình tam giác lớn hơn chu vi hình chữ nhật nên ta có: $3x + 18 > 4x + 16$.

Vậy khẳng định b) sai.

c) Giải bất phương trình:

$\begin{array}{l}3x+18>4x+16\\ 3x-4x>16-18\\ -x>-2\\ x<2\end{array}$$\begin{array}{l}3x + 18 > 4x + 16\\3x - 4x > 16 - 18\\ - x > - 2\\x < 2\end{array}$

Vậy khẳng định c) đúng.

d) Với x = 1, chu vi hình tam giác là:

$3.1 + 18 = 3 + 18 = 21$.

Diện tích hình chữ nhật là: $\left( {x + 2} \right)\left( {x + 6} \right)$.

Với x = 1 thì diện tích hình chữ nhật là: $\left( {1 + 2} \right)\left( {1 + 6} \right) = 3.7 = 21$.

Khi x = 1 thì chu vi hình tam giác bằng diện tích hình chữ nhật.

Vậy khẳng định d) đúng.

Đáp án a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

a) Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta HBA$ suy ra $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{AB}}$ và tính BH.

b) Dựa vào tính chất của tia phân giác của một góc, tính sin của góc đó.

c) $\widehat {BAD} = \widehat {BAH} + \widehat {HAD}$, tính góc $\widehat {BAD},\widehat {BAH}$ suy ra $\widehat {HAD}$, từ đó tính được $\tan HAD$.

d) Biến đổi $BC.\sin B.\cos B$ thành AH.

a) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có:

$\widehat A = \widehat H\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat B$ chung

Suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta HBA$ (g.g)

Suy ra $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{AB}}$, do đó $BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{{12}^2}}}{{20}} = 7,2\left( {cm} \right)$.

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên $\widehat {BAD} = \widehat {DAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ$.

Ta có $\sin DAC = \sin 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy khẳng định b) đúng.

c) Xét tam giác BHA, ta có:

$\sin BAH = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{7,2}}{{12}} = \frac{3}{5}$ suy ra $\widehat {BAH} \approx 37^\circ$

Ta có: $\widehat {BAD} = \widehat {BAH} + \widehat {HAD}$ suy ra $\widehat {HAD} = \widehat {BAD} - \widehat {BAH} \approx 45^\circ - 37^\circ = 8^\circ$.

Suy ra $\tan HAD = \tan 8^\circ \approx 0,14\left( {cm} \right)$.

Vậy khẳng định c) sai.

d) Ta có: $BC.\sin B.\cos B = BC.\frac{{AH}}{{AB}}.\frac{{AB}}{{BC}} = AH$.

Vậy khẳng định d) đúng.

Đáp án a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để giải phương trình tích.

Ta có: ${\left( {x - 3} \right)^2} - 4{x^2} = 0$

${\left( {x - 3} \right)^2} - {\left( {2x} \right)^2} = 0$

$\begin{array}{l}\left(x-3-2x\right)\left(x-3+2x\right)=0\\ \left(-x-3\right)\left(3x-3\right)=0\end{array}$$\begin{array}{l}\left( {x - 3 - 2x} \right)\left( {x - 3 + 2x} \right) = 0\\\left( { - x - 3} \right)\left( {3x - 3} \right) = 0\end{array}$

$- x - 3 = 0$ hoặc $3x - 3 = 0$

\(x =  - 3\) hoặc $x = 1$

Suy ra \({x_1} =  - 3;{x_2} = 1\)

Giá trị của biểu thức ${x_1} + 3{x_2}$ là: \({x_1} + 3{x_2} =  - 3 + 3.1 = 0\).

Đáp án: 0

Tìm điều kiện xác định.

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Thay giá trị của x vào biểu thức S để tính.

ĐKXĐ: $x - 2 \ne 0$ và $x - 1 \ne 0$ hay $x \ne 2$ và $x \ne 1$.

Ta có: $\frac{1}{{x - 2}} - \frac{2}{{x - 1}} = \frac{5}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

$\begin{array}{l}\frac{x-1}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}-\frac{2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}=\frac{5}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}\\ x-1-2\left(x-2\right)=5\\ x-1-2x+4=5\\ -x+3=5\\ x=3-5\\ x=-2\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{5}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\x - 1 - 2\left( {x - 2} \right) = 5\\x - 1 - 2x + 4 = 5\\ - x + 3 = 5\\x = 3 - 5\\x = - 2\end{array}$

Giá trị của biểu thức $S = {x_0}^3 + 2{x_0}^2 + 2024$ tại ${x_0} = - 2$ là:

$S = {\left( { - 2} \right)^3} + 2{\left( { - 2} \right)^2} + 2024 \\= - 8 + 8 + 2024 = 2024.$

Đáp án: 2024

Biến đổi hệ phương trình về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và giải hệ phương trình đó.

Thay giá trị ${x_0},{y_0}$ vào biểu thức A để tính giá trị của biểu thức.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 2y} \right) + 3\left( {x + 2y} \right) = 4\\\left( {x - y} \right) + 2\left( {x + y} \right) = 1\end{array} \right.$ hay $\{\begin{array}{l}2x-4y+3x+6y=4\\ x-y+2x+2y=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2x - 4y + 3x + 6y = 4\\x - y + 2x + 2y = 1\end{array} \right.$ suy ra $\{\begin{array}{l}5x+2y=4\\ 3x+y=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}5x + 2y = 4\\3x + y = 1\end{array} \right.$

Nhân phương trình thứ hai với 2, ta được: $\{\begin{array}{l}5x+2y=4\\ 6x+2y=2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}5x + 2y = 4\\6x + 2y = 2\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\3.\left( { - 2} \right) + y = 1\end{array} \right.$ suy ra $\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=7\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 7\end{array} \right.$.

Thay vào A, ta được: $A = - 25.\left( { - 2} \right) - 7.7 = 1$.

Đáp án: 1

Gọi số điểm bạn An đạt được ở lần kiểm tra thứ 3 là $x$ $\left( {x \in \mathbb{N},0 \le x \le 100} \right)$.

Tính điểm trung bình của bạn An sau ba lần kiểm tra.

Viết bất phương trình biểu diễn điểm trung bình ít nhất là 70 sau ba lần kiểm tra.

Giải phương trình để tìm x nhỏ nhất.

Gọi số điểm bạn An đạt được ở lần kiểm tra thứ 3 là $x$ $\left( {x \in \mathbb{N},0 \le x \le 100} \right)$.

Điểm trung bình của bạn An sau ba lần kiểm tra là: $\frac{{62 + 67 + x}}{3}$.

Vì bạn phấn đấu đạt điểm trung bình ít nhất là 70 sau ba lần kiểm tra nên ta có:

$\begin{array}{l}\frac{62+67+x}{3}\ge 70\\ 129+x\ge 210\\ x\ge 81\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{{62 + 67 + x}}{3} \ge 70\\129 + x \ge 210\\x \ge 81\end{array}$

Vậy bạn An cần đạt ít nhất 81 điểm để đạt điểm trung bình ít nhất là 70 điểm.

Đáp án: 81

Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác để tính chiều cao ngọn hải đăng.

Chiều cao ngọn hải đăng là: $20.\tan 35^\circ \approx 14\left( m \right)$.

Đáp án: 14

Sử dụng kiến thức về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: $\cos \alpha = \sin \left( {90^\circ - \alpha } \right)$

Ta có: $A = \sin \left( {\alpha + 40^\circ } \right) - \sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right) - \cos \left( {50^\circ - \alpha } \right) + \cos \left( {60^\circ - \alpha } \right)$

$\begin{array}{l}=\sin \left(\alpha +{40}^{\circ }\right)-\sin \left(\alpha +{30}^{\circ }\right)-\sin \left[{90}^{\circ }-\left({50}^{\circ }-\alpha \right)\right]+\cos \left[{90}^{\circ }-\left({60}^{\circ }-\alpha \right)\right]\\ =\sin \left(\alpha +{40}^{\circ }\right)-\sin \left(\alpha +{30}^{\circ }\right)-\sin \left({40}^{\circ }+\alpha \right)+\sin \left({30}^{\circ }+\alpha \right)\\ =\left[\sin \left(\alpha +{40}^{\circ }\right)-\sin \left({40}^{\circ }+\alpha \right)\right]+\left[-\sin \left(\alpha +{30}^{\circ }\right)+\sin \left({30}^{\circ }+\alpha \right)\right]\\ =0+0=0\end{array}$$\begin{array}{l} = \sin \left( {\alpha + 40^\circ } \right) - \sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right) - \sin \left[ {90^\circ - \left( {50^\circ - \alpha } \right)} \right] + \cos \left[ {90^\circ - \left( {60^\circ - \alpha } \right)} \right]\\ = \sin \left( {\alpha + 40^\circ } \right) - \sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right) - \sin \left( {40^\circ + \alpha } \right) + \sin \left( {30^\circ + \alpha } \right)\\ = \left[ {\sin \left( {\alpha + 40^\circ } \right) - \sin \left( {40^\circ + \alpha } \right)} \right] + \left[ { - \sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right) + \sin \left( {30^\circ + \alpha } \right)} \right]\\ = 0 + 0 = 0\end{array}$

Đáp án: 0