Đề thi giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 1

Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax + by = c$ với a, b là hệ số cho trước và $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Phương trình $2x - y = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án C.

Tìm giao điểm của đường thẳng với trục Oy.

Thay tọa độ tìm được vào các phương trình.

Quan sát hình vẽ, ta thấy đường thẳng biểu diễn tập nghiệm đi qua điểm $\left( {0;2,5} \right)$.

Ta có $0.0 + 2.2,5 = 5$ nên đây là hình minh họa tập nghiệm của phương trình $0x + 2y = 5$.

Đáp án B.

Gọi đường thẳng cần tìm là $y = ax + b$. Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng.

Gọi đường thẳng cần tìm là $y = ax + b$.

Vì đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( { - 2;0} \right)$ và $B\left( { - 1;2} \right)$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}0=-2.a+b\\ 2=-a+b\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}0 = - 2.a + b\\2 = - a + b\end{array} \right.$ suy ra $\left( {a;b} \right) = \left( {2;4} \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y = 2x + 4$.

Đáp án C.

Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

ĐKXĐ: $x - 2 \ne 0$ và $x + 3 \ne 0$ hay $x \ne 2$ và $x \ne - 3$

Ta có: $\frac{{x + 1}}{{x - 2}} - 1 = \frac{{24}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$\begin{array}{l}\frac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{24}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\\ \left(x+1\right)\left(x+3\right)-\left(x+3\right)\left(x-2\right)=24\\ x^2+4x+3-x^2-x+6=24\\ x^2+4x-x^2-x=24-6-3\\ 3x=15\\ x=5\left(TM\right)\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{24}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 24\\{x^2} + 4x + 3 - {x^2} - x + 6 = 24\\{x^2} + 4x - {x^2} - x = 24 - 6 - 3\\3x = 15\\x = 5\left( {TM} \right)\end{array}$

Đáp án C.

Giải phương trình tích để tìm nghiệm.

Ta có: $\left( {x + 5} \right)\left( {2x - 10} \right) = 0$

$x + 5 \ne 0$ hoặc $2x - 10 \ne 0$

$x \ne - 5$ hoặc $x \ne 5$

Vậy nghiệm của phương trình $\left( {x + 5} \right)\left( {2x - 10} \right) = 0$ là $x = - 5;x = 5$.

Đáp án D.

Dựa vào tính chất của bất đẳng thức.

Ta có: $a < b$ và $c < 0$ thì $ac > bc$ nên A sai, D đúng.

Vì ${c^2} \ge 0$ với mọi c nên $a < b$ thì $a{c^2} < b{c^2}$ nên B sai.

Với $c < 0$ thì ${c^3} < 0$ nên $a{c^3} > b{c^3}$ nên C sai.

Đáp án D.

Chuyển bất phương trình về ${x^2} - 9 < 0$

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Vì tích của hai số là số âm nên hai số đó trái dấu.

Từ đó tìm $x$ thỏa mãn.

Ta có: ${x^2} < 9$ nên ${x^2} - 9 < 0$ hay $\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) < 0$

Ta biết rằng tích của hai số là số âm thì hai số đó trái dấu nên $x - 3$ và $x + 3$ trái dấu.

Mà $x - 3 < x + 3$ nên $x - 3 < 0$ và $x + 3 > 0$

Suy ra $x < 3$ và $x > - 3$

Đáp án C.

Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn, từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất thỏa mãn của y.

Ta có: $2y + 10 \ge 25$

$\begin{array}{l}2y\ge 25-10\\ 2y\ge 15\\ y\ge 7,5\end{array}$$\begin{array}{l}2y \ge 25 - 10\\2y \ge 15\\y \ge 7,5\end{array}$

Do đó giá trị nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 8.

Đáp án C.

Dựa vào kiến thức về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.

Theo tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có $\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha$.

Đáp án D.

Biểu diễn AC theo AB và $\cot C$.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có $\cot C = \frac{{AC}}{{AB}}$ nên $AC = AB.\cot C = 6.\frac{3}{5} = \frac{{18}}{5}\left( {cm} \right)$.

Đáp án C.

Áp dụng định lí Pythagore tính AC theo AB và BC.

Biểu diễn $\cot C$ trong tam giác ABC.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {B{C^2} - {{\left( {\frac{2}{3}BC} \right)}^2}}  = \sqrt {B{C^2} - \frac{4}{9}B{C^2}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{3}BC\)

Áp dụng tỉ số lượng giác của tam giác vuông vào tam giác ABC, ta có:

$\cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}BC}}{{\frac{2}{3}BC}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}:\frac{2}{3} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

Đáp án B.

Biểu diễn BC theo AB và tỉ số lượng giác của góc B.

Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác ABC, ta có:

$\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}$ suy ra $BC = \frac{{AB}}{{\cos B}} = \frac{{10}}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}$.

Đáp án D.

a) Biểu diễn số tiền mỗi người góp và số tiền mỗi người góp nếu số người tham gia giảm đi 25% theo x.

b) Lập phương trình theo x.

c) Giải phương trình.

d) Tính số tiền mỗi người phải góp với giá trị x vừa tìm được.

ĐK: $x \in {\mathbb{N}^*}$.

a) Nếu giảm đi 25% thì số người tham gia là:

$x - 25\% x = 75\% x = \frac{3}{4}x$.

Khi đó, mỗi người góp số tiền là: $\frac{{180}}{{\frac{3}{4}x}} = \frac{{240}}{x}$.

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Với $x$ người tham gia thì mỗi người góp số tiền là $\frac{{180}}{x}$.

Vì nếu số người tham gia giảm đi 25% thì số tiền góp tăng lên 5 triệu đồng nên ta có phương trình:

$\frac{{180}}{x} + 5 = \frac{{240}}{x}$.

Vậy khẳng định b) sai.

c) Giải phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{180}{x}+5=\frac{240}{x}\\ \frac{240}{x}-\frac{180}{x}=5\\ \frac{60}{x}=5\\ x=12\left(TM\right)\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{{180}}{x} + 5 = \frac{{240}}{x}\\\frac{{240}}{x} - \frac{{180}}{x} = 5\\\frac{{60}}{x} = 5\\x = 12\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy khẳng định c) đúng.

d) Nếu số người tham gia giảm đi 25% thì mỗi người góp số tiền là: $\frac{{240}}{{12}} = 20$ triệu.

Vậy khẳng định d) sai.

Đáp án a) Đ b) S c) Đ d) S.

a) Viết phương trình dựa vào dữ kiện “Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ”.

b) Viết phương trình dựa vào dữ kiện “Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa 1 ghế”.

c) Từ hệ phương trình của hai phương trình của bài, giải để tìm x, y.

d) Tính số lớp học dựa vào số học sinh của trường và số học sinh mỗi lớp.

a) Vì nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ nên ta có phương trình:

$3y + 6 = x$ hay $x - 3y = 6$.

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Vì nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa 1 ghế nên ta có phương trình:

$4\left( {y - 1} \right) = x$ hay \(x - 4y =  - 4\).

Vậy khẳng định b) sai.

c) Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 6\\x - 4y =  - 4\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình ta được: $\{\begin{array}{l}x=36\\ y=10\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x = 36\\y = 10\end{array} \right.$.

Vậy khẳng định c) đúng.

d) Số lớp học của trường là: $540:36 = 15$ (lớp).

Vậy khẳng định d) sai.

Đáp án a) Đ b) S c) Đ d) S.

Dựa vào chiều cao và cân nặng để xác định chỉ số BMI của một người.

So sánh với số liệu trên bảng BMI.

a) Chỉ số BMI của bác Hùng là: $BMI = \frac{{85}}{{1,{7^2}}} \approx 29,4$

Ta có 25 ≤ 29,4 < 30 nên bác Hùng đang có thể trạng béo phì độ I (nhẹ).

Vì vậy nếu duy trì chế độ ăn và tập luyện hiện tại thì bác sẽ ở vẫn ở thể trạng béo phì độ I (nhẹ).

Vậy khẳng định a) sai.

b) Một người đàn ông có thể trạng bình thường thì 20 ≤ BMI < 25.

Với chiều cao 1,74m thì ta có:

$\begin{array}{l}20\le \frac{m}{1,{74}^2}<25\\ 60,552\le m<75,69\end{array}$$\begin{array}{l}20 \le \frac{m}{{1,{{74}^2}}} < 25\\60,552 \le m < 75,69\end{array}$

Vậy khẳng định b) đúng.

c) Ta có 160cm = 1,6m

Một người phụ nữ có thể trạng gầy thì BMI < 18.

$\begin{array}{l}\frac{m}{1,6^2}<18\\ m<18.1,6^2\\ m<46,08\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{m}{{1,{6^2}}} < 18\\m < 18.1,{6^2}\\m < 46,08\end{array}$

Vậy khẳng định c) sai.

d) Với chiều cao 1,58, để có thể trạng bình thường thì 18 ≤ BMI < 23

Suy ra $18 \le \frac{m}{{1,{{58}^2}}} < 23$

$44,94 \le m < 57,42$

Để có thể trạng bình thường thì ít nhất bạn Mai cần tăng số cân là: $44,94 - 40 = 4,94 \approx 5\left( {kg} \right)$

Vậy khẳng định d) đúng.

Đáp án a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B để tính AC.

b) Chứng minh  suy ra $\widehat {ABH} = \widehat {ACB}$ nên $\sin ABH = \sin ACB$.

c) Sử dụng tỉ số lượng giác của góc ABN và góc CKH.

d) Biểu diễn $\cot BAC$ và $\cot BCA$ theo các cạnh.

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}}  = 13\left( {cm} \right)\)

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Xét tam giác AHB và tam giác ABC, ta có:

$\widehat H = \widehat N\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat A$ chung

Suy ra  (g.g)

Do đó $\widehat {ABH} = \widehat {ACB}$ (hai góc tương ứng)

Vì vậy $\sin ABH = \sin ACB$.

Mà $\sin ACB = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{13}}$ nên $\sin ABH = \frac{5}{{13}}$.

Vậy khẳng định b) sai.

c) Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác vuông ABN, ta có: $\tan ABN = \frac{{AN}}{{AB}}$

Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác vuông CHK, ta có: $\tan HKC = \frac{{CH}}{{HK}}$

Mà $\widehat {ABN} = \widehat {HKC}$ (hai góc so le trong) nên $\tan ABN = \tan HKC$.
Do đó $\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{HK}}$ nên $AN.HK = AB.CH$

Vì $HK < CK$ ($CK$ là cạnh huyền của tam giác vuông CHK) nên $AN.CK > AN.HK = AB.CH$.

Vậy khẳng định c) sai.

d) $\cot BAC + \cot BCA = \frac{{AB}}{{BH}}$

Áp dụng tỉ số lượng giác, ta có:

$\cot BAC + \cot BCA = \frac{{AH}}{{BH}} + \frac{{HC}}{{BH}} \\= \frac{{AH + HC}}{{BH}} = \frac{{AC}}{{BH}} > \frac{{AB}}{{BH}}.$

Vậy khẳng định d) sai.

Đáp án a) Đ, b) S, c) S, d) S.

Đưa phương trình về phương trình tích để giải.

Ta có: ${\left( {{x^2} + x - 2} \right)^2} + 2{x^2} + 2x - 4 = 0$

$\begin{array}{l}{\left(x^2+x-2\right)}^2+2\left(x^2+x-2\right)=0\\ \left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x-2+2\right)=0\\ \left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x\right)=0\\ \left(x^2+x-2\right)x\left(x+1\right)=0\end{array}$$\begin{array}{l}{\left( {{x^2} + x - 2} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\\\left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {{x^2} + x - 2 + 2} \right) = 0\\\left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {{x^2} + x} \right) = 0\\\left( {{x^2} + x - 2} \right)x\left( {x + 1} \right) = 0\end{array}$

Giải phương trình, ta thấy phương trình có một nghiệm $x = 0$ nên tích các nghiệm của phương trình bằng 0.

Đáp án: 0

Vì tích của mọi số với 0 đều bằng 0.

Giải bất phương tình để tìm $x$. Thay giá trị x vừa tìm được vào S để tính giá trị của S.

ĐKXĐ: $1 - 2x \ne 0$ hay $x \ne \frac{1}{2}$.

Giải phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{x^2}{1-2x}+\frac{1+2x}{4}=1\\ \frac{4x^2}{4\left(1-2x\right)}+\frac{\left(1+2x\right)\left(1-2x\right)}{4\left(1-2x\right)}=\frac{4\left(1-2x\right)}{4\left(1-2x\right)}\\ 4x^2+\left(1+2x\right)\left(1-2x\right)=4\left(1-2x\right)\\ 4x^2+1-4x^2=4-8x\\ 8x=3\\ x=\frac{3}{8}\left(TM\right)\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{1 - 2x}} + \frac{{1 + 2x}}{4} = 1\\\frac{{4{x^2}}}{{4\left( {1 - 2x} \right)}} + \frac{{\left( {1 + 2x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}{{4\left( {1 - 2x} \right)}} = \frac{{4\left( {1 - 2x} \right)}}{{4\left( {1 - 2x} \right)}}\\4{x^2} + \left( {1 + 2x} \right)\left( {1 - 2x} \right) = 4\left( {1 - 2x} \right)\\4{x^2} + 1 - 4{x^2} = 4 - 8x\\8x = 3\\x = \frac{3}{8}\left( {TM} \right)\end{array}$

Thay vào S, ta được: \(S =  - 8.\frac{3}{8} + 2025 =  - 3 + 2025 = 2022\).

Đáp án: 2022

Thay m = 2 vào hệ phương trình để tìm cặp nghiệm.

Thay cặp nghiệm vào P để tính giá trị của P.

Tại m = 2, ta có: $\{\begin{array}{l}2.2x+5y=23\\ 3x+3y=15\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2.2x + 5y = 23\\3x + 3y = 15\end{array} \right.$ hay $\{\begin{array}{l}4x+5y=23\\ 3x+3y=15\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}4x + 5y = 23\\3x + 3y = 15\end{array} \right.$.

Giải phương trình ta được cặp nghiệm $\left( {{x_0};{y_0}} \right) = \left( {2;3} \right)$.

Thay vào P, ta được:

$P = \frac{{{2^2} + 4}}{{3 + 5}} + 2024 = 1 + 2024 = 2025$.

Đáp án: 2025

Gọi số người hiến máu ở mức 450ml là x (người), $x \in {\mathbb{N}^*}$.

Biểu diễn bất phương trình theo x.

Gọi số người hiến máu ở mức 450ml là x (người), $x \in {\mathbb{N}^*}$.

Vì tổng số máu thu được không dưới 32900ml và có 40 người hiến máu ở mức $350{\rm{ml}}$ nên ta có bất phương trình: $450x + 40.350 \ge 32900$

Giải bất phương trình:

$\begin{array}{l}450x+40.350\ge 32900\\ 450x+14000\ge 32900\\ 450x\ge 18900\\ x\ge 42\end{array}$$\begin{array}{l}450x + 40.350 \ge 32900\\450x + 14000 \ge 32900\\450x \ge 18900\\x \ge 42\end{array}$

Vậy có ít nhất 42 người hiến máu ở mức 450ml.

Đáp án: 42

Sử dụng kiến thức về tỉ số lượng giác để tính góc của thang tre với mặt đất.

Áp dụng tỉ số lượng giác ta có: \(\sin \alpha  = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) suy ra \(\alpha  \approx 49^\circ\)

Vậy góc tạo bởi thang tre với mặt đất khoảng $49^\circ$.

Đây là một bài toán khó, đòi hỏi  học sinh phải đọc thật kỹ đề và tư duy. Bài toán khó ở 2 chỗ :

+  Trong suốt thời gian bò ăn cỏ, cỏ vẫn mọc đều trên cánh đồng.

+   Học sinh phải biết chọn 1 làm đơn vị khối lượng cỏ ban đầu, nếu học sinh không biết kỹ thuật này sẽ gọi thêm một ẩn nữa và bài toán sẽ có 3 ẩn số, rất khó để giải. ( kỹ thuật giải này thường sử dụng trong môn Hóa Học, và gần đây được sử dụng trong môn Vật Lý với tên gọi ”chuẩn hóa”)

Học sinh có thể sẽ yếu kiến thức về bài toán tỉ lệ nghịch, tỉ lệ thuận làm cho việc lập ra biểu thức diễn tả mối quan hệ giữa các đại lượng gặp khó khăn. Ở bài toán này các em có thể sẽ khó hiểu ở đoạn:

9 con bê ăn trong 2 tuần hết 1 + 2y nên mỗi con bê ăn trong một tuần hết ăn hết  $\frac{{1 + 2y}}{{18}}$

Đặt câu hỏi: Tại sao mỗi con bê lại ăn hết $\frac{{1 + 2y}}{{18}}$ .  Số  $\frac{{1 + 2y}}{{18}}$ ở đâu mà ra?

Giải thích đơn giản thế này:

9 con bê ăn trong 2 tuần hết $1 + 2y{\rm{\;\;}}$ suy ra 9 con bê ăn trong 1 tuần hết $\frac{{1 + 2y}}{2}$  ( tức là chỉ ăn hết 1 nửa thôi)

9 con bê ăn trong 1 tuần hết  $\frac{{1 + 2y}}{2}$ suy ra mỗi con bê ăn trong một tuần hết ăn hết  $\frac{{1 + 2y}}{2}:9 = \frac{{1 + 2y}}{{18}}$.

Gọi khối lượng cỏ có sẵn trên cánh đồng trước khi bò ăn cỏ là 1. ( đơn vị khối lượng quy ước)

Khối lượng cỏ mọc thêm trên cánh đồng trong một tuần là $y$ (với cùng đơn vị khối lượng ở trên), $y > 0$.

Gọi số bê phải tìm là $x$ con, ($x \in {\mathbb{N}^*}$)

* Theo đề bài:

9 con bê ăn trong 2 tuần hết $1 + 2y$ nên mỗi con bê ăn trong một tuần hết ăn hết  $\frac{{1 + 2y}}{{18}}$ 

6 con bê ăn trong 4 tuần hết $1 + 4y$ nên mỗi con bê ăn trong một tuần hết ăn hết  $\frac{{1 + 4y}}{{24}}{\rm{\;}}$

x con bê ăn trong 6 tuần hết $1 + 6y$ nên mỗi con bê ăn trong một tuần hết ăn hết  $\frac{{1 + 6y}}{{6x}}$

Ta có hệ phương trình: 

 $\{\begin{array}{l}\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}\\ \frac{1+4y}{24}=\frac{1+6y}{6x}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + 2y}}{{18}} = \frac{{1 + 4y}}{{24}}\\\frac{{1 + 4y}}{{24}} = \frac{{1 + 6y}}{{6x}}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}4\left( {1 + 2y} \right) = 3\left( {1 + 4y} \right)\\x\left( {1 + 4y} \right) = 4\left( {1 + 6y} \right)\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}4 + 8y = 3 + 12y\\x\left( {1 + 4y} \right) = 4\left( {1 + 6y} \right)\end{array} \right.$. Rút gọn phương trình thứ nhất ta được $\left\{ \begin{array}{l}4y = 1\\x\left( {1 + 4y} \right) = 4\left( {1 + 6y} \right)\end{array} \right.$.

Từ đó suy ra $\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{4}\\ x.2=10\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{4}\\x.2 = 10\end{array} \right.$.

Ta tính được $\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{4}\left( {TM} \right)\\x = 5\left( {TM} \right)\end{array} \right.$.

Vậy 5 con bê của anh Hồ Giáo ăn trong 6 tuần thì hết cánh đồng cỏ.

Đáp án: 5