Đề thi học kì 2 Toán 11 năm 2024 - 2025 trường THPT Ngô Gia Tự - Đắk Lắk

Công thức cộng hai biến cố A, B xung khắc: $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.

$P\left( B \right) = P\left( {A \cup B} \right) - P\left( A \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{{10}}$.

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm cơ bản.

$y' = \frac{1}{{\sqrt x }} + 1 \Rightarrow y'(4) = \frac{1}{{\sqrt 4 }} + 1 = \frac{3}{2}$.

Dựa vào định nghĩa đạo hàm tại một điểm.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = f'(3) = 6$.

Áp dụng công thức nhân xác suất đối với hai biến cố độc lập A, B: P(AB) = P(A).P(B).

$P\left( A \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{9}}}{{\frac{1}{4}}} = \frac{4}{9}$.

Dựa vào lí thuyết xác suất của biến cố.

P(A) = 0 khi và chỉ khi A là biến cố không thể.

Áp dụng công thức ${\log _a}\frac{M}{N} = {\log _a}M - {\log _a}N$.

${\log _5}\frac{{25}}{a} = {\log _5}25 - {\log _5}a = 2 - {\log _5}a$.

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm cơ bản.

$f'\left( x \right) = 6{x^2} \Rightarrow f''\left( x \right) = 12x$. Do đó $f''(1) = 12.1 = 12$.

$\left.$$\begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\d \subset \left( Q \right)\end{array}$ \right\} \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right).

$\left.$$\begin{array}{l}SA \bot \left( {ABC} \right)\\SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array}$ \right\} \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right).

Dựa vào định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.

$f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$.

Đưa hai vế về cùng cơ số.

${3^{2x + 1}} = 9 \Leftrightarrow {3^{2x + 1}} = {3^2} \Leftrightarrow 2x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$.

Dựa vào công thức cộng của hai biến cố xung khắc.

$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.

$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.

$\left.$$\begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array}$ \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right).

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số lượng giác. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm ${M_0}({x_0};f({x_0}))$ là $y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})$.

$y' = 2\cos 2x \Rightarrow y'' =  - 4\sin 2x$.

a) Sai. $y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =  - 4\sin \left( {2.\frac{\pi }{2}} \right) =  0$.

b) Đúng. $4y + y'' = 4\sin 2x + ( - 4\sin 2x) = 0$.

c) Đúng. $y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2\cos 2.\frac{\pi }{3} =  - 1$.

d) Sai. $y'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\cos 2.\frac{\pi }{6} = 1$;

$y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin 2.\frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Tiếp tuyến của (C) tại M:

$y = 1.\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x - y + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{6} = 0$.

Vậy tiếp tuyến của (C) tại M không song song với đường thẳng 2x – y – 2025 = 0.

Tính số các số trong khoảng từ 1 đến 100 chia hết cho 3, chia hết cho 5, chia hết cho cả 3 và 5. Áp dụng công thức cộng xác suất cho hai biến cố bất kì.

Không gian mẫu: $n(\Omega ) = 100$.

Số các số chia hết cho 3: $\frac{{99 - 3}}{3} + 1 = 33$. Vậy n(A) = 33, $P(A) = \frac{{33}}{{100}}$.

Số các số chia hết cho 5: $\frac{{100 - 5}}{5} + 1 = 20$. Vậy n(B) = 20, $P(B) = \frac{{20}}{{100}} = \frac{1}{5}$.

d) Sai. $P(A) = \frac{{33}}{{100}}$.

c) Sai. A và B không xung khắc vì có số vừa chia hết cho 3, vừa chia hết cho 5.

b) Đúng. Vì từ 1 đến 100 có 6 số (bội của 15) chia hết cho cả 3 và 5 nên $P(A.B) = \frac{6}{{100}} = \frac{3}{{50}}$.

a) Đúng. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A.B)$

$= \frac{{33}}{{100}} + \frac{1}{5} - \frac{3}{{50}} = \frac{{47}}{{100}}$.

Tính xác suất thông qua biến cố đối: "Không có xạ thủ nào bắn trúng". Áp dụng quy tắc nhân xác suất.

Gọi ${E_i}$ là biến cố "Xạ thủ ${A_i}$ bắn trúng mục tiêu" (i = 1, 2, 3).

Theo đề bài:

$P\left( {{E_1}} \right) = 0,8 \Rightarrow P\left( {{{\bar E}_1}} \right) = 1 - 0,8 = 0,2$;

$P\left( {{E_2}} \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( {{{\bar E}_2}} \right) = 1 - 0,6 = 0,4$;

$P\left( {{E_3}} \right) = 0,5 \Rightarrow P\left( {{{\bar E}_3}} \right) = 1 - 0,5 = 0,5$.

Gọi $E$ là biến cố "Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng". Khi đó, biến cố đối $\bar E$ là "Không có xạ thủ nào bắn trúng".

Vì các xạ thủ bắn độc lập với nhau, ta có:

$P\left( {\bar E} \right) = P\left( {{{\bar E}_1}} \right).P\left( {{{\bar E}_2}} \right).P\left( {{{\bar E}_3}} \right) = 0,2.0,4.0,5 = 0,04$.

Xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng là:

$P\left( E \right) = 1 - P\left( {\bar E} \right) = 1 - 0,04 = 0,96$.

Tìm ĐKXĐ, biến đổi hai vế của BPT về dạng logarit có cùng cơ số.

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}x-2>0\\ 8-x>0\end{array}\iff 2<x<8$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - 2 > 0}\\{8 - x > 0}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow 2 < x < 8.

${\log _2}(x - 2) - {\log _2}(8 - x) < 0$

$\Leftrightarrow {\log _2}(x - 2) < {\log _2}(8 - x)$

$x - 2 < 8 - x \Leftrightarrow 2x < 10 \Leftrightarrow x < 5$.

Kết hợp ĐKXĐ, ta được tập nghiệm S = (2; 5).

Vậy ${a^3} + {b^3} = {2^3} + {5^3} = 133$.

Đưa hai vế của phương trình về dạng lũy thừa có cùng cơ số.

${\left( {\frac{5}{7}} \right)^{{x^2} - x - 4}} = {\left( {\frac{7}{5}} \right)^{5 - 2x}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{7}} \right)^{{x^2} - x - 4}} = {\left( {\frac{5}{7}} \right)^{ - (5 - 2x)}}$

$\Leftrightarrow {x^2} - x - 4 = 2x - 5 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow$ Tổng các nghiệm của phương trình là:

$\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = 3$.

Tìm t để v(t) = 7 rồi tính a(t) tại thời điểm t đó.

$v(t) = s'(t) = {t^2} - 4t + 2$; $a(t) = v'(t) = 2t - 4$.

Ta có $v(t) = 7 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 2 = 7$

$\Leftrightarrow {t^2} - 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow$ t = 5 (TM) hoặc t = -1 (L).

$a(5) = 2.5 - 4 = 6$ $\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)$.

Xác định góc giữa MB và (ABC) trên hình vẽ, từ đó tính chiều cao khối lăng trụ và suy ra thể tích.

Ta có $MA \perp (ABC)$ nên góc giữa MB và (ABC) là $\widehat{MBA} = 60^o$.

Suy ra $MA = AB \cdot \tan 60^o = 2a\sqrt{3}$.

Tính được $S_{ABC} = a^2\sqrt{3}$.

Thể tích khối lăng trụ là $V = MA \cdot S_{ABC} = 6a^3$.

Đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

Gọi P là trung điểm BC và $E = NP \cap AC$, suy ra $NP \parallel BD$ nên $BD \parallel (MNP)$.

Do đó $d[BD, MN] = d[O, (MNP)] = \frac{1}{3} d[A, (MNP)]$.

Kẻ $AK \perp ME$. Chứng minh được: $AK \perp (MNP)$.

Khi đó: $d[A, (MNP)] = AK$.

Tính được: $SA = \sqrt{SC^2 - AC^2} = 4\sqrt{3}$, $AM = 2\sqrt{3}$, $AE = 3\sqrt{2}$.

Tam giác vuông MAE, có $AK = \frac{AM \cdot AE}{ME} = \frac{6}{\sqrt{5}}$.

Vậy $d[BD, MN] = \frac{1}{3} AK = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Gọi A gồm các số chia hết cho 5, ta có n(A) = 5.

Gọi B gồm các số chia 5 dư 1 hoặc 4, ta có n(B) = 11.

Gọi C gồm các số chia 5 dư 2 hoặc 3, ta có n(C) = 12.

Số pt của không gian mẫu là: $C_{28}^3 = 3276$.

TH1: Chọn 3 số thuộc A có $C_5^3 = 10$.

TH2: Chọn 1 số thuộc A, 1 số thuộc B và 1 số thuộc C có $C_5^1 C_{11}^1 C_{12}^1 = 660$.

Xác suất cần tìm là $P = \frac{10 + 660}{3276} = \frac{335}{1638} \approx 0,2$.