Đề cuối học kỳ 2 Toán 11 năm 2025 – 2026 trường THPT Kỳ Anh – Hà Tĩnh

Áp dụng công thức $\sqrt[m]{a} = {a^{\frac{1}{m}}}$.

$\sqrt[{2026}]{a} = {a^{\frac{1}{{2026}}}}$.

${a^{f(x)}} = {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$.

${3^{2x + 3}} = {3^x} \Leftrightarrow 2x + 3 = x \Leftrightarrow x = - 3$.

Tìm ĐKXĐ của hàm số logarit.

ĐKXĐ: $3x - 6 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.

Với a > 1, ta có ${\log _a}x < b \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x < {a^b}\end{array} \right.$.

${\log _4}x < \frac{1}{2} \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x < {4^{\frac{1}{2}}}\end{array} \right.$ \Leftrightarrow 0 < x < 2.

Nếu a // b thì (a, c) = (b, c).

Vì CD // AB nên $\left( {BA',CD} \right) = \left( {BA',AB} \right) = \widehat {A'BA} = {45^o}$.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng đó.

$SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot AB$.

Tính khoảng cách từ B đến hình chiếu vuông góc của nó lên (SAD).

$\left.$$\begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot AB\\AB \bot AD\end{array}$ \right\} \Rightarrow AB \bot (SAD).

Vậy $d\left( {B,(SAD)} \right) = BA = 2a$.

Áp dụng công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập P(AB) = P(A).P(B).

$P(AB) = P(A).P(B) = \frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.

Giao của A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc cả A và B.

A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 3; 5; 7; 9}.

$A \cap B = \{ 1;3\}$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm cơ bản.

$f'(x) = {x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0\\x = 6\end{array}$ \right..

$\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$.

$y' = \frac{{(3x + 2)'(x - 1) - (3x + 2)(x - 1)'}}{{{{(x - 1)}^2}}}$

$= \frac{{3(x - 1) - (3x + 2)}}{{{{(x - 1)}^2}}}$

$= \frac{{ - 5}}{{{{(x - 1)}^2}}}$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lượng giác.

$y' = - \sin x \Rightarrow y'' = - \cos x$.

Áp dụng quan hệ vuông góc trong không gian.

a) Đúng. $SA \bot (ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC.

b) Đúng.

$\left.$$\begin{array}{l}BD \bot AC\\SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BD\end{array}$ \right\}

$\Rightarrow BD \bot (SAC) \Rightarrow (SBD) \bot (SAC)$.

c) Sai. $SA \bot (ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SD lên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AD. Do đó $\left( {SD,(ABCD)} \right) = \left( {SD,AD} \right) = \widehat {SDA} = {45^o}$ (vì tam giác SAD vuông cân tại A).

d) Sai. ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{3}$.

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số lũy thừa.

a) Đúng. $f'(x) = - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}$ \right..

b) Sai. $f'(x) = - 3{x^2} + 6x$.

c) Sai. $f''(x) = - 6x + 6 \Rightarrow f''(0) = - 6.0 + 6 = 6$.

d) Sai. $f( - 1) = - {( - 1)^3} + 3.{( - 1)^2} + 1 = 5$.

Thay số vào công thức lãi kép $T = A.{(1 + r)^n}$ để tính.

Số tiền cả vốn lẫn lãi thu về sau 6 năm là:

$T = 600.{(1 + 0,07)^6} \approx 900$ (triệu đồng).

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác.

$y' = (2\sin x + 7\cos x - 1)' = 2\cos x - 7\sin x$.

Vậy P = a + b + c = 2 + (-7) + 0 = -5.

Áp dụng phương pháp tính xác suất thông qua biến cố đối và quy tắc nhân xác suất.

Xác suất xạ thủ thứ nhất bắn không trúng đích là: 1 – 0,5 = 0,5.

Xác suất xạ thủ thứ hai bắn không trúng đích là: 1 – 0,6 = 0,4.

Vì hai xạ thủ bắn độc lập với nhau, xác suất để cả hai người đều không trúng đích là:

P = 0,5.0,4 = 0,2.

Tính thông qua tỉ số thể tích của khối tứ diện ABDA’ và khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.

${V_{A'ABD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABD}} \cdot h = \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}{S_{ABCD}}} \right).h$

$= \frac{1}{6}\left( {{S_{ABCD}}.h} \right) = \frac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{1}{6}.60 = 10$.

Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm ${x_0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm ${M_0}({x_0};f({x_0}))$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm ${M_0}({x_0};f({x_0}))$ là $y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})$.

a) $y' = x^2 + 2x - 3$.

b) $y' = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow$$\begin{cases} x = 1 \\ x = -3 \end{cases}$.

c) Do tiếp tuyến song song với d:

$y = -3x + 1 \Rightarrow k = -3$.

Hệ số góc của tiếp tuyến:

$k = -3 \Leftrightarrow y' = -3 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 = -3$

$\Leftrightarrow x^2 + 2x = 0 \Leftrightarrow$$\begin{cases} x = 0 \\ x = -2 \end{cases}$.

TH1: $x_0 = 0 \Rightarrow y_0 = y(0) = 1$

$\Rightarrow$ PTTT: $y - 1 = -3(x - 0)$

$\Leftrightarrow y = -3x + 1$ (loại).

TH2: $x_0 = -2 \Rightarrow y_0 = y(-2) = \frac{25}{3}$

$\Rightarrow$ PTTT: $y - \frac{25}{3} = -3(x + 2)$

$\Leftrightarrow y = -3x + \frac{7}{3}$.

Vậy có 1 tiếp tuyến song song với d là $y = -3x + \frac{7}{3}$.

a) Chứng minh CD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc (SAD).

b) Tính thông qua khoảng cách từ B đến (SAC).

a) Theo giả thiết có $CD \perp AD$ (Do ABCD là hình vuông) (1)

Lại có $SA \perp (ABCD), CD \subset (ABCD) \Rightarrow SA \perp CD$ (2)

AD, SA cắt nhau tại A, cùng thuộc (SAD) (3).

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow$ $CD \perp (SAD)$

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB

$\Rightarrow d(A, SB) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Từ công thức $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AB^2}$, tính được $SA = a\sqrt{3}$.

Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và $d(B, (SAC)) = BO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ta có: $\frac{d(G, (SAC))}{d(B, (SAC))} = \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow d(G, (SAC)) = \frac{1}{3}d(B, (SAC)) = \frac{BO}{3} = \frac{a\sqrt{2}}{6}$

$\Rightarrow d(G, (SAC)) = \frac{a\sqrt{2}}{6}$.

Liệt kê các bộ cấp số nhân thỏa mãn và áp dụng phương pháp tổ hợp.

Không gian mẫu $n(\Omega) = A_{22}^9$.

Gọi bộ ba số là $(x; y; z)$. Điều kiện chúng lập thành cấp số nhân là $y^2 = xz$; với $x, y, z$ phân biệt. Ta tìm các bộ thoả mãn $y^2 = xz$; $x, y, z \in S$; $x, y, z$ phân biệt. Các giá trị thỏa mãn là:

Với $y = 4 \Rightarrow y^2 = 16: \{x; z\} = \{1; 16\}; \{2; 8\}$.

Với $y = 6 \Rightarrow y^2 = 36: \{x; z\} = \{2; 18\}; \{4; 9\}; \{3; 12\}$.

Với $y = 12 \Rightarrow y^2 = 144: \{x; z\} = \{8; 18\}; \{9; 16\}$.

Xét bộ $y = 4 \Rightarrow y^2 = 16: \{x; z\} = \{1; 16\}; \{2; 8\}$ có $8.A_{17}^4$ cách sắp xếp.

Tương tự bộ $\{8; 18\}; \{9; 16\}$ có $8.A_{17}^4$.

Xét bộ $\{2; 18\}; \{4; 9\}; \{3; 12\}$ có $C_3^2.8.A_{17}^4$ cách.

$n(A) = 2.8.A_{17}^4 + C_3^2.8.A_{17}^4$

$\Rightarrow P(A) = \frac{16.A_{17}^4 + C_3^2.8.A_{17}^4}{A_{22}^9} = \frac{1}{79002}$.