Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 3

Áp dụng tính chất của căn bậc n và lũy thừa.

$P = {x^{\frac{2}{5}}}.\sqrt[3]{x} = {x^{\frac{2}{5}}}.{x^{\frac{1}{3}}}$

$= {x^{\frac{2}{5} + \frac{1}{3}}} = {x^{\frac{{11}}{{15}}}}$.

Tập xác định của $\log_{a}x(x > 0)$.

Điều kiện: $\ (6 - x)(x + 2) > 0$

$\Leftrightarrow - 2 < x < 6$

Mà $x \in Z\Rightarrow x \in \left\{ - 1;0;1;2;3;4;5 \right\}$.

Vậy có 7 số nguyên thuộc tập xác định của hàm số.

Áp dụng tính chất của logarit.

$I = {\log _{\frac{a}{2}}}\left( {\frac{{{a^3}}}{8}} \right) = {\log _{\frac{a}{2}}}{\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} = 3$.

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng thuộc (P).

Vì O là tâm hình thoi nên O là trung điểm của AC và BD. Khi đó, hai tam giác SAC và SBD cùng cân tại S có SO là đường trung tuyến, đồng thời là đường cao.

$\left.$$\begin{array}{l}SO \bot AC\\SO \bot BD\end{array}$ \right\} \Rightarrow SO \bot (ABCD).

Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng (Q) chứa d cũng vuông góc với (P).

$SA \bot (ABC) \Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AC\\SA \bot AB\end{array} \right.$, mà $(SAB) \cap (SAC) = SA$, do đó:

$\left( {(SAB),(SAC)} \right) = \left( {AB,AC} \right) = \widehat {BAC} \ne {90^o}$. Vậy kết luận ở đáp án A sai.

Tìm đường vuông góc chung.

Ta có $SA\bot\left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA\bot AB$, $AB\bot BC\Rightarrow AB$ là đường vuông góc chung của SA và BC nên $d\left( {SA,BC} \right) = AB$.

Dựa vào định nghĩa các biến cố.

Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau.

Trong một phép thử, cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, $P\left( {AB} \right) = P(A) . P(B)$.

Trong một phép thử, cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập $P\left( {AB} \right) = P(A) . P(B)$.

Áp dụng định nghĩa đạo hàm $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.

Ta có định nghĩa đạo hàm: $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.

Suy ra: $f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}}$ (với ${x_0} = 2$).

Mà theo đề bài: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 3$.

Do đó: $f'(2) = 3$.

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm số luỹ thừa.

$y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x + 0 = x^2 - 2x$.

Áp dụng công thức đạo hàm $\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}$ và $\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}\ln a$.

$y' = \left( {{x^2} + {3^x}} \right)' = 2x + {3^x}\ln 3$.

Áp dụng công thức đạo hàm ${\left( {{u^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha .{u^{\alpha - 1}}.u'$.

Đạo hàm của hàm số $y = {\sin ^2}2x$ là:

$y' = {\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^\prime }$

$= 2.\sin 2x.{\left( {\sin 2x} \right)^\prime }$

$= 2.\sin 2x.2\cos 2x$

$= 4\sin 2x\cos 2x$

$= 2\sin 4x$.

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa.

Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm ${x_0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm ${M_0}({x_0};f({x_0}))$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm ${M_0}({x_0};f({x_0}))$ là $y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})$.

d) Sai. $f'(x) = {x^2} - 4x - 5$.

c) Sai. $f''(x) = 2x - 4 \Rightarrow f''( - 2) = 2( - 2) - 4 = - 8$.

b) Đúng. $f'(1) = {1^2} - 4.1 - 5 = - 8$.

a) Sai. $f'(0) = {0^2} - 4.0 - 5 = - 5$.

Phương trình tiếp tuyến:

$y = - 5(x - 0) + 1 \Leftrightarrow y = - 5x + 1$.

Áp dụng phương pháp tổ hợp, tính chất của cấp số cộng.

Tổng số viên bi là: 5 + 6 + 8 = 19.

a) Đúng. Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{19}^{5}$.

b) Sai. Xác suất được 5 viên bi đều màu xanh là: $\dfrac{C_{8}^{5}}{C_{19}^{5}} = \dfrac{14}{2907}$.

c) Sai. Xác suất trong 5 viên bi lấy ra không có viên bi xanh nào là: $\dfrac{C_{11}^{5}}{C_{19}^{5}} = \dfrac{77}{1938}$.

Xác suất lấy được 5 viên bi có ít nhất 1 viên bi màu xanh là: $1 - \dfrac{77}{1938} \approx 0,96 > 0,94$.

d) Đúng. Theo giả thiết: x + y + z = 5 (*).

Ba số x – y, y – z, z – x theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên theo tính chất của cấp số cộng, ta có: $\left. 2(y - z) = (x - y) + (z - x)\Leftrightarrow y = z \right.$.

Thay y = z vào (*), ta được: x + 2y = 5.

Vì $x,y,z \in {\mathbb{N}}^{*}$ nên ta có các trường hợp sau:

TH1: $\left. y = 1\Rightarrow z = 1,x = 3 \right.$ (3 trắng, 1 đỏ, 1 xanh).

Số cách: $C_{5}^{3}.C_{6}^{1}.C_{8}^{1} = 10.6.8 = 480$.

TH2: $\left. y = 2\Rightarrow z = 2,x = 1 \right.$ (1 trắng, 2 đỏ, 2 xanh).

Số cách: $C_{5}^{1}.C_{6}^{2}.C_{8}^{2} = 5.15.28 = 2100$.

Tổng số cách là: 480 + 2100 = 2580. Vậy xác suất cần tìm là: $\dfrac{2580}{C_{19}^{5}} = \dfrac{215}{969}$.

+ Vì a(t) = s”(t), tìm được hàm gia tốc a(t).

+ Tính $a\left( \dfrac{\pi }{4} \right)$.

Ta có: $s'(t) = {6\cos2t - 4\sin2t}$;

$s"(t) = {-12\sin2t - 8\cos2t}$.

Do đó gia tốc của chất điểm là:

$a(t) = s"(t) = {-12\sin2t - 8\cos2t}$.

Ta có: $a\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=-12\sin \left( 2\cdot \dfrac{\pi }{4} \right)-8\cos \left( 2\cdot \dfrac{\pi }{4} \right)=-12$ $\left( m/{{s}^{2}} \right)$.

Vậy gia tốc của chất điểm đó khi $t = \dfrac{\pi}{4}$ bằng $-12 m/{{s}^{2}}$.

Áp dụng công thức lãi kép.

Xét 2 năm đầu tiên, số tiền nhận được là:

$T_{1} = 200.10^{6}\left( {1 + 2,1\%} \right)^{\dfrac{2.12}{3}} \approx 236176000$ (đồng).

Số tiền nhận được sau 5 năm là:

$T_{2} = T_{1}\left( {1 + 0,65\%} \right)^{3.12} = 298217000$ (đồng).

Tổng số tiền lãi nhận được sau 5 năm là:

$298217000 - 200000000 = 98217000$ (đồng).

Chia trường hợp và áp dụng các quy tắc đếm, tổ hợp để tính xác suất.

Để được 9 điểm, Tiến phải làm đúng 18 câu. Vì đã làm đúng 15 câu nên Tiến phải làm đúng thêm 3 câu nữa.

Trong 5 câu còn lại, có 2 câu xác suất Tiến làm đúng là $\frac{1}{3}$, 3 câu xác suất Tiến làm đúng là $\frac{1}{4}$.

TH1: Tiến làm đúng 2 câu đã loại đáp án và 1 câu chưa loại đáp án:

$C_2^2{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}C_3^1\left( {\frac{1}{4}} \right){\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{3}{{64}}$.

TH2: Tiến làm đúng 1 câu đã loại đáp án và 2 câu chưa loại đáp án:

$C_2^1\left( {\frac{1}{3}} \right)\left( {\frac{2}{3}} \right)C_3^2{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{1}{{16}}$.

TH3: Tiến làm đúng 3 câu chưa loại đáp án:

$C_2^0{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}C_3^3{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} = \frac{1}{{144}}$.

Xác suất để Tiến được 9 điểm là: $\frac{3}{{64}} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{144}} \approx 0,12$.

Tính diện tích đáy nhỏ và diện tích 4 mặt bên là hình thang.

Xét một mặt của hình chóp cụt tứ giác đều giả sử là hình thang cân $ABCD$, chiều cao $AH$ ta có:

$DH = 0,15$ (m).

$AH = \sqrt{0,7^2 - 0,15^2} = \frac{\sqrt{187}}{20}$ (m).

Diện tích hình thang $ABCD$ là:

$S_{ABCD} = \frac{(1+0,7)\sqrt{187}}{2.20} = \frac{17\sqrt{187}}{400}$ $(m^2)$.

Diện tích mặt đáy nhỏ là $0,7^2 = 0,49$ $(m^2)$.

Tổng diện tích cần sơn là:

$\frac{17\sqrt{187}}{400} \cdot 4 + 0,49 \approx 2,81$ $(m^2)$.

Sử dụng công thức $\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u$.

$y' = {\left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)^,}\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right) =  - 3\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)$.

Áp dụng quy tắc giải bất phương trình logarit.

a) ${\log _3}x < 2$

$\Leftrightarrow 0 < x < {3^2}$

$\Leftrightarrow 0 < x < 9$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0; 9).

b) ${\log _{\frac{1}{4}}}\left( {x - 5} \right) \ge  - 2$

$\Leftrightarrow 0 < x - 5 \le {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 2}}$

$\Leftrightarrow 5 < x \le 21$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (5; 21].

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng nhị diện [P, a, Q] (gọi tắt là góc phẳng nhị diện).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính góc.

Có $AB\perp(BCC'B')$ nên $C'B\perp AB$ (1).

Có $(ABCD)$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $D$, bờ là đường thẳng $AB$.

Có $BC\subset(ABCD)$ và $BC\perp AB$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra góc $\widehat{C'BC}$ là góc phẳng nhị diện $[C',AB,D]$.

Tam giác $CBC'$ vuông tại $C$. Do đó:

$BC'=\sqrt{BC^{2}+CC'^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a$.

Ta có $\cos\widehat{CBC'}=\frac{BC}{BC'}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$.