Đề giữa học kì 2 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Thanh Hòa – Bình Phước

Dựa vào định nghĩa đạo hàm: $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.

$f'(6) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 6 \right)}}{{x - 6}} = 2$.

Sử dụng điều kiện và tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Ta có $\{\begin{array}{l}SA\mathrm{\perp }(ABC)\Rightarrow SA\mathrm{\perp }BC\\ AB\mathrm{\perp }BC\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }(SAB)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }SB$$\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right.$ \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB.

Vậy $BC \bot SC$ là mệnh đề sai.

Áp dụng tính chất của lũy thừa.

${x^\alpha } + {y^\alpha } = {\left( {x + y} \right)^\alpha }$ là mệnh đề sai.

Áp dụng các tính chất của căn bậc n.

$P = \sqrt[3]{{x.\sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}} = \sqrt[3]{{x.\sqrt[4]{{{x^3}{x^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{x.\sqrt[4]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{x.{x^{\frac{7}{8}}}}} = \sqrt[3]{{{x^{\frac{{15}}{8}}}}} = {x^{\frac{{15}}{{24}}}} = {x^{\frac{5}{8}}}$.

Đưa hai vế về dạng lũy thừa có cùng cơ số.

${2^{x + 1}} = 16 \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = {2^4} \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3$.

Quan sát các điểm đồ thị đi qua.

Từ đồ thị, thấy hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ nên đây là đồ thị của hàm số mũ.

Đồ thị đi qua điểm (1; 3), do đó khi x = 1 thì y = 3. Vậy hàm số đó là $y = {3^x}$.

Áp dụng tính chất của logarit.

Ta có ${\log _a}bc = {\log _a}b + {\log _a}c$ nên mệnh đề ở đáp án C sai.

Với a > 1, ta có ${\log _a}f(x) < b \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) < {a^b}\end{array} \right.$.

${\log _2}\left( {x - 1} \right) < 3 \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x - 1 < {2^3}\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < 9\end{array} \right.$ \Leftrightarrow 1 < x < 9.

Vậy $S = \left( {1;9} \right)$.

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\\AD \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SAD)$.

Áp dụng các tính chất của logarit.

${\log _a}\left( {{a^2}b} \right) = {\log _a}{a^2} + {\log _a}b = 2{\log _a}a + {\log _a}b = 2 + {\log _a}b$.

Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song (hoặc trùng) với m và n.

$\left( {BD,A'C'} \right) = \left( {BD,AC} \right) = {90^o}$ (do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau).

Hàm số mũ $y = {a^x}$ đồng biến trên tập xác định khi a > 1.

Có $\sqrt 3 > 1$ nên $y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}$ đồng biến trên tập xác định.

Áp dụng điều kiện và tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

a) Đúng. $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD$.

b) Sai. $\left( {AC,(SBD)} \right) = \widehat {SOA} < {90^o}$ nên AC không vuông góc với (SBD).

c) Đúng. $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\\AD \bot CD\\SA,AD \subset (SAD)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SAD)$.

d) Sai. $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC \Rightarrow \left( {BC,SA} \right) = {90^o}$.

Áp dụng các tính chất của hàm số mũ, hàm số logarit.

a) Đúng. Quan sát trên khoảng (0; 1) thấy đồ thị đi lên từ trái sang, do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 1).

b) Đúng. Theo tính chất của logarit, ta có $\log \left( {bc} \right) = \log b + \log c$.

c) Sai. Ta có $0 < \sqrt 3 - 1 < 1$ nên $2025 > 2024 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{2025}} < {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{2024}}$.

d) Sai. ĐKXĐ: ${x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x < 0\\x > 2\end{array}$ \right.. Vậy $D = \mathbb{R}\backslash \left[ {0;2} \right]$.

Thay t = 10 vào công thức rồi tính.

Năm 2030 ứng với t = 10 nên có dân số thế giới là:

$P(10) = 7,795 . (1 + 0,0105)^{10} \approx 8,65$ (tỉ người).

Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm ${x_0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm ${M_0}({x_0};f({x_0}))$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm ${M_0}({x_0};f({x_0}))$ là $y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})$.

$f'(x) = 2x \Rightarrow f'(2) = 2.2 = 4$.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2; 4) có dạng:

$y = f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + 4$ hay $y = 4x - 4$.

Vậy a – b = 4 – (-4) = 8.

Áp dụng quy tắc xác định hình chiếu vuông góc.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Vì tam giác ABC cân tại A nên H là trung điểm của BC, suy ra BH = 1 (m).

Mặt khác, BH là hình chiếu vuông góc của AB lên (BB’C’C). Do đó, hình chiếu của tam giác ABB’ lên (BB’C’C) là tam giác BB’H.

${S_{BB'H}} = \frac{1}{2}BB'.BH = \frac{1}{2}3.1 = 1,5$ $({m^2})$.

Áp dụng công thức ${\log _a}M + {\log _a}N = {\log _a}MN$.

${\log _2}{a^3} + {\log _2}b = {\log _2}{a^3}b = 6$

$\Rightarrow {a^3}b = {2^6} = 64$.

Sử dụng định nghĩa đạo hàm: $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.

$f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

Giải bất phương trình mũ $V(t) \le 300$.

Ta có: $V(t) \le 300 \Leftrightarrow 780 \cdot 0,{905^t} \le 300$

$\Leftrightarrow {(0,905)^t} \le \frac{5}{{13}} \Leftrightarrow t \ge {\log _{0,905}}\left( {\frac{5}{{13}}} \right) \approx 10$ (do $0 < 0,905 < 1$).

Áp dụng điều kiện và tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

a) $\{\begin{array}{l}SA\mathrm{\perp }(ABCD)\Rightarrow SA\mathrm{\perp }BC\\ AB\mathrm{\perp }BC\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }(SAB)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }SB$$\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right.$ \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB.

b) $\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}BD\mathrm{\perp }SA\\ BD\mathrm{\perp }AC\end{array}\end{array}\Rightarrow BD\mathrm{\perp }(SAC)$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AC\end{array}\end{array}} \right.$ \Rightarrow BD \bot (SAC).