Đề cuối kì 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Bắc Yên Thành – Nghệ An

Thay x = -3 vào x và tính giá trị biểu thức.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{{x + 1}} = \frac{{\sqrt {{{( - 3)}^2} + 16} }}{{ - 3 + 1}} = - \frac{5}{2}$.

Áp dụng lí thuyết về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Mệnh đề (I), (III), (IV) đúng, (III) sai vì hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau.

Áp dụng lí thuyết tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song.

Mệnh đề ở D sai vì hai mặt phẳng đó có thể trùng nhau.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng $${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$$.

$${u_5} = 3 + (5 - 1).( - 2) = - 5$$.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm thuộc nhóm có tần số lớn nhất.

Mốt của mẫu số liệu trên thuộc nhóm [6500; 7000).

- Một tam giác bất kỳ bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác có dạng tuỳ ý cho trước (có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, ...).

- Một hình bình hành bất kỳ bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tuỳ ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật, ...).

- Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Mệnh đề đúng là: “Hình biểu diễn của một tam giác cân là một tam giác”.

Áp dụng tính chất đường trung bình trong tam giác và điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng.

OM // SC vì OM là đường trung bình của tam giác SAC. Do đó OM // (SAC).

Dựa vào đặc điểm của hình chóp.

Chóp đáy ngũ giác có 6 mặt (5 mặt bên, 1 mặt đáy) và 10 cạnh (5 cạnh bên, 5 cạnh đáy).

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

$\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

a) Đúng. $2\cos x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

b) Sai. Các nghiệm thuộc $\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ là $x = \frac{\pi }{6}$; $x = \frac{{11\pi }}{6}$; $x = \frac{{13\pi }}{6}$.

Vậy có 3 nghiệm thuộc $\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]$.

c) Đúng. Tổng các nghiệm thuộc $\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ là $\frac{\pi }{6} + \frac{{11\pi }}{6} + \frac{{13\pi }}{6} = \frac{{25\pi }}{6}$.

d) Đúng. Nghiệm nhỏ nhất thuộc $\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ là $x = \frac{\pi }{6}$.

Áp dụng quy tắc tính giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm.

a) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \sqrt {{2^2} + 1} = \sqrt 5$.

b) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = {0^2} - 3.0 + 1 = 1$.

c) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \sqrt {{0^2} + 1} = 1$.

d) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = f(0) = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 1$.

Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Tìm hai điểm chung phân biệt thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.

a) Đúng. Ta có $SA \subset (SAB)$ và $SA \subset (SAD)$ nên $(SAB) \cap (SAD) = SA$.

b) Sai. Có $\{\begin{array}{l}S\in (SAB)\\ E\in AB\subset (SAB)\end{array}\Rightarrow SE\subset (SAB)$$\left\{ \begin{array}{l}S \in (SAB)\\E \in AB \subset (SAB)\end{array} \right.$ \Rightarrow SE \subset (SAB) (1)

c) Đúng. Có $\{\begin{array}{l}S\in (SCD)\\ E\in CD\subset (SCD)\end{array}\Rightarrow SE\subset (SCD)$$\left\{ \begin{array}{l}S \in (SCD)\\E \in CD \subset (SCD)\end{array} \right.$ \Rightarrow SE \subset (SCD) (2)

d) Đúng. Từ (1) và (2) suy ra $(SAB) \cap (SCD) = SE$.

Chia cả tử và mẫu cho ${n^2}$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 3{n^2} + 5n - 4}}{{9{n^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}\left( { - 3 + \frac{5}{n} - \frac{4}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {9 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 3 + \frac{5}{n} - \frac{4}{{{n^2}}}}}{{9 - \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{{ - 3}}{9} = \frac{{ - 1}}{3}$.

Vậy $10a + b = 10.( - 1) + 3 = - 7$.

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân: ${u_{n - 1}} = {u_1}{q^{n - 1}}$.

${u_5} = {u_1}{q^4} = - {2.3^4} = - 162$.

Hàm số liên tục tại điểm $x = {x_0}$ khi $f({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ hoặc $f({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x)$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x + 1)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 1) = 3$.

Hàm số f(x) liên tục tại ${x_0} = 2$ khi $f(2) = 3 \Leftrightarrow m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 2$.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\bar x$, được tính như sau: $\bar x{\rm{\;}} = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{n}$, trong đó $n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_m}$.

Thời gian trung bình để 100 học sinh hoàn thành bài kiểm tra:

$\overline x = \frac{{34.4 + 36.13 + 38.38 + 40.27 + 42.14 + 44.4}}{{4 + 13 + 38 + 27 + 14 + 4}} \approx 38,9$.

a) Rút gọn phân thức rồi tính giới hạn.

b) Chia cả tử cả mẫu của phân thức cho ${x^2}$ rồi tính giới hạn.

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{x - 2}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2x + 1} \right) = 2.2 + 1 = 5$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4{x^2} - 3x + 1}}{{2{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{2 - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{{4 - 0 + 0}}{{2 - 0}} = 2$.

a) Chứng minh SB song song với một đường thẳng thuộc (MNP).

b) Sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song.

a) Xét tam giác SAB có MP là đường trung bình, suy ra MP // SB.

Mà $MP \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow SB//\left( {MNP} \right)$.

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}P \in \left( {MNP} \right)\\P \in \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow P = \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAD} \right)$.

Mặt khác: MN // AD, suy ra: $\left( {MNP} \right) \cap \left( {SAD} \right) = PI$ với $I \in SD$, PI // AD // MN.

Lập công thức số tiền tích lũy được của cô Hoa ở đầu tháng thứ n. Thay n = 180 vào công thức vừa tìm và tính kết quả.

Gọi ${u_n}$ là số triệu đồng mà cô Hoa tích luỹ được vào thời điểm gửi khoản tiền thứ n (vào đầu tháng thứ n).

Kí hiệu a = 0,5 triệu đồng, t = 0,5%.

Số tiền của cô Hoa tích luỹ được vào thời điểm đầu tháng thứ 1 là: ${u_1} = a$.

Số tiền của cô Hoa tích luỹ được vào thời điểm đầu tháng thứ 2 là:

${u_2} = {u_1}\left( {1 + r} \right) + a = a\left( {1 + r} \right) + a$.

Số tiền của cô Hoa tích luỹ được vào thời điểm đầu tháng thứ 3 là:

${u_3} = {u_2}\left( {1 + r} \right) + a = a{(1 + r)^2} + a\left( {1 + r} \right) + a$.

Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng thứ n là:

${u_n} = a{(1 + r)^{n - 1}} + a{(1 + r)^{n - 2}} + \ldots + a\left( {1 + r} \right) + a$

$= a\frac{{{{(1 + r)}^n} - 1}}{{\left( {1 + r} \right) - 1}} = a\frac{{{{(1 + r)}^n} - 1}}{r}$.

Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180, cô ấy sẽ tích luỹ được ${u_{180}} = a\frac{{{{(1 + r)}^{180}} - 1}}{r} = 145,41$ (triệu đồng).

Ứng dụng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để tính.

Gọi ${h_n}$ là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.

Theo bài ra ta có ${h_n} = \frac{3}{8}{h_{n - 1}}$ nên $({h_n})$ là một cấp số nhân với ${h_1} = \frac{3}{8}.10,5$ và công bội $q = \frac{3}{8}$ (là cấp số nhân lùi vô hạn).

Gọi ${v_n}$ là độ dài quãng đường bóng rơi từ trên xuống đất lần thứ n.

Theo bài ra ta có ${v_n} = \frac{3}{8}{v_{n - 1}}$ nên $({v_n})$ là một cấp số nhân với ${v_1} = 10,5$ và công bội $q = \frac{3}{8}$ (là cấp số nhân lùi vô hạn).

Nếu quá trình bóng rơi xuống, nảy lên diễn ra mãi thì tổng quãng đường bóng di chuyển được bằng:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left. {\left[ {\left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_n} + ...} \right)} \right. + \left( {{h_1} + {h_2} + ... + {h_n} + ...} \right)} \right]$

  $= \left( {10,5.\frac{1}{{1 - \frac{3}{8}}}} \right) + \left( {10,5.\frac{3}{8}.\frac{1}{{1 - \frac{3}{8}}}} \right) = \frac{{231}}{{10}} = 23,1$ (m).