Đề học kỳ 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Triệu Sơn 1 – Thanh Hóa

Áp dụng công thức $\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }}$.

$\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2$.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

$\sin x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi$.

Vậy tập xác định của hàm số trên là:

${\mathbb{R}}\backslash\left\{ {\dfrac{\pi}{2} + k2\pi} \right\}$.

Hàm số liên tục tại x = 1 có điều kiện cần là xác định tại x = 1.

$f(x) = \dfrac{x^{2} + x + 1}{x}$ liên tục tại x = 1 vì các hàm số còn lại không xác định tại x = 1.

Chia cả tử và mẫu cho n.

$\lim \frac{{n - 1}}{{{n^3} + 3}} = \lim \frac{{n\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {{n^2} + \frac{3}{n}} \right)}} = \lim \frac{{1 - \frac{1}{n}}}{{{n^2} + \frac{3}{n}}} = 0$.

Tính f(1).

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {3{x^2} - 2x + 1} \right) = {3.1^2} - 2.1 + 1 = 2$.

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng ${u_n} = {u_{n-1}} + (n - 1)d$.

${u_2} = {u_1} + (n - 1)d = 9 + (2 - 1).2 = 11$.

Liệt kê.

Giả sử có 4 điểm ABCD. Các mặt phẳng là: (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

$\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Áp dụng công thức ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$.

$q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 8}}{2} = - 4$.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn nhất.

$\lbrack 5;6,5)$ có tần số lớn nhất nên là nhóm chứa mốt.

Giá trị đại diện của nhóm là trung bình cộng hai đầu mút của nhóm.

Giá trị đại diện của nhóm [20;40) là $\frac{{20 + 40}}{2} = 30$.

Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác.

A’B’ // AB // CD // C’D’ (tính chất đường trung bình của tam giác).

SC không song song với A’B’.

Cỡ mẫu: Tổng tần số của mẫu số liệu.

Trung vị: Giá trị nằm chính giữa mẫu số liệu sau khi được xếp theo thứ tự.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\overline x$, được tính như sau:

$\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_m}{x_m}}}{n}$,

trong đó $n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_m}$.

Để tính tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa ${Q_1}$, giả sử đó là nhóm thứ p: $\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)$. Khi đó

${Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)$,

trong đó n là cỡ mẫu, ${m_p}$ là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước ${m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0$.

a) Đúng. n = 6 + 12 + 16 + 7 + 2 = 43. Trung vị là mẫu số liệu ở vị trí thứ 22.

Ta có 6 + 12 < 22 < 6 + 12 + 16 nên nhóm chứa trung vị là [30; 40).

b) Đúng. n = 43.

c) Sai. $\overline x = \frac{{6.15 + 12.25 + 16.35 + 7.45 + 2.55}}{{43}} \approx 32$.

d) Đúng. ${Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{43}}{4} - 6}}{{12}}.(30 - 20) \approx 23,96$.

Áp dụng tính chất của đường trung bình trong tam giác, điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng.

a) Đúng. MN là đường trung bình của tam giác SBD nên MN // BD, do đó BD // (MNP).

b) Đúng. MN là đường trung bình của tam giác SBD nên MN // BD.

c) Sai. Gọi Q là trung điểm của BC, $PQ \cap AC = I$, $MN \cap SO = H$, $IH \cap SA = K$.

(MNP) cắt hình chóp theo thiết diện là ngũ giác MKNPQ.

d) Sai. Có MQ // NP (cùng song song với SC), mà MQ cắt (SAB) tại M nên NP không song song với (SAB).

Hàm số liên tục tại điểm $x = {x_0}$ khi $f({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ hoặc $f({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x)$.

a) Đúng. Hàm số đã cho liên tục trên khoảng $\left( {- \infty;1} \right)$.

b) Đúng. Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$.

c) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x + 1 = 2$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x + 1 = 2$, $f(1) = 3 - 1 = 2$.

Vậy với a = 3 thì hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$.

d) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 2$.

Nếu cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$ và công sai d thì số hạng tổng quát ${u_n}$ của nó được xác định theo công thức:

${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$.

Đặt ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}$. Khi đó:

${S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}$

hay ${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}$.

a) Sai. Dãy số trên là vô hạn.

b) Sai. Số hạng đầu ${u_1} = - 1$ và công sai d = 3.

c) Sai. ${S_{100}} = \frac{{2.( - 1) + (100 - 1).3}}{2}.100 = 14750$.

d) Đúng. ${u_5} = {u_1} + (5 - 1)d = - 1 + 4d$.

Áp dụng tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng và BĐT Cauchy để giải bài toán.

Ta có: $SB = SD \Rightarrow \Delta SBC = \Delta SDC\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \widehat {SCB} = \widehat {SCD}$.

Gọi $I$ là trung điểm $SC$ thì $\Delta IBC = \Delta IDC\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow IB = ID$.

Vậy $\Delta IBD$ cân tại $I \Rightarrow IO \bot BD$.

Mà $OI{\rm{//}}SA \Rightarrow SA \bot BD\,\,(*)$

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right){\rm{//}}BD\\BD \subset \left( {ABO} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {ABO} \right) = MQ\end{array} \right. \Rightarrow MQ{\rm{//}}BD$ (1)

Tương tự:$\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right){\rm{//}}BD\\BD \subset \left( {SBO} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SBO} \right) = NP\end{array} \right. \Rightarrow NP{\rm{//}}BD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MQ{\rm{//}}NP{\rm{//}}BD$ (3)

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right){\rm{//}}SA\\SA \subset \left( {SAO} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SAO} \right) = MN\end{array} \right. \Rightarrow MN{\rm{//}}SA$ (4)

Tương tự: $\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right){\rm{//}}SA\\SA \subset \left( {SAB} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = PQ\end{array} \right. \Rightarrow PQ{\rm{//}}SA$ (5)

Từ (4) và (5) suy ra $MN{\rm{//}}PQ{\rm{//}}SA$ (6)

Từ (3), (6) và (*) suy ra $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Ta có: ${S_{MNPQ}} = MQ.MN$.

Xét tam giác $AQM$ ta có $\widehat A = 45^\circ ,\,\,\,\widehat Q = 45^\circ ,\,\,\,\widehat M = 90^\circ \,\,\, \Rightarrow \Delta AQM$ cân tại $M$.

Vậy $MQ = AM = x$.

Xét tam giác $SAO$ có $MN{\rm{//}}SA \Rightarrow \frac{{MN}}{{SA}} = \frac{{OM}}{{OA}}$

$\Rightarrow MN = SA.\frac{{OM}}{{OA}} = 5.\frac{{\frac{{5\sqrt 2 }}{2} - x}}{{\frac{{5\sqrt 2 }}{2}}} = 5 - x\sqrt 2$.

$\Rightarrow {S_{MNPQ}} = MQ.MN = x.\left( {5 - x\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}x.\sqrt 2 \left( {5 - x\sqrt 2 } \right)$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $x\sqrt 2$ và $\left( {5 - x\sqrt 2 } \right)$:

$x\sqrt 2 .\left( {5 - x\sqrt 2 } \right) \le {\left( {\frac{{x\sqrt 2 + 5 - x\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow x\sqrt 2 .\left( {5 - x\sqrt 2 } \right) \le \frac{{{5^2}}}{4} \Leftrightarrow {S_{MNPQ}} \le \frac{{25}}{{4\sqrt 2 }}$.

Đẳng thức xảy ra khi $x\sqrt 2 = 5 - x\sqrt 2 \Leftrightarrow x = \frac{{5\sqrt 2 }}{4} \Leftrightarrow M$ là trung điểm AO.

Vậy $x = \frac{{5\sqrt 2 }}{4} \approx 1,8$ cm thì ${S_{MNPQ}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.

Vì tầng dưới cùng của mô hình tháp có 3809 đồng xu và cứ lên thêm một tầng thì số đồng xu giảm đi $120$ đồng nên ta có một cấp số cộng với số hạng đầu ${u_1} = 3809$ công sai $d = - 120$.

Gọi $n$ là số tầng của tháp nên $n \in {\mathbb{N}^*}$.

Theo đề bài ta có:

${S_n} = 60723 \Leftrightarrow 3809n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( { - 120} \right)}}{2} = 60723$

$\Leftrightarrow - 60{n^2} + 3869n - 60723 = 0$                          

$\Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}n = 27\\n = \frac{{2249}}{{60}} \approx 37,48\end{array}$ \right.

Vì $n \in \mathbb{Z}$ và với $n = 27$ thì tầng trên cùng có 689 đồng xu.

Vậy tháp có $27$ tầng.

Áp dụng công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

Gọi $x;\,\,y$ lần lượt là số người ở các nhóm có độ tuổi $\left[ {30;40} \right)$; $\left[ {40;50} \right)$.

Ta có mốt là : ${M_0} = 30 + \frac{{x - 12}}{{\left( {x - 12} \right) + \left( {x - y} \right)}}.10 = 34$ (1).

Vì tổng số người đi xem phim là $46$ nên ta có phương trình: $x + y = 26$ (2).

Giải hệ phương trình (1), (2) ta được $x = 16;\,\,y = 10$.

Đưa hàm số về dạng bậc nhất y = ax + b.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{4{x^2} - 3x + 2}}{{x + 2}} - 2ax + b} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\left( {4 - 2a} \right)x + b - 11 + \frac{{24}}{{x + 2}}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}4 - 2a = 0\\ - 11 + b = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 11\end{array} \right.$

Vậy $2a - 3b = - 29.$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Ta có: $\sin 2x = \cos x \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array}$ \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).

Vì $x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{8};\frac{{3\pi }}{8};\frac{{9\pi }}{8};\frac{{11\pi }}{8}} \right\}$.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: $S = \frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{8} + \frac{{9\pi }}{8} + \frac{{11\pi }}{8} = 3\pi \approx 9,42$.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng. Khi đó:

${S_{100}} = 100{u_1} + \frac{{100.99}}{2}d \Leftrightarrow 100 + 4950d = 24850 \Leftrightarrow d = 5$.

Do đó ${u_{2025}} = {u_1} + 2024d = 10121$.

Ta có:

$\frac{1}{{{u_{k + 1}}\sqrt {{u_k}} + {u_k}\sqrt {{u_{k + 1}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {{u_k}} .\sqrt {{u_{k + 1}}} .\left( {\sqrt {{u_k}} + \sqrt {{u_{k + 1}}} } \right)}} = \frac{1}{d}.\frac{{\sqrt {{u_{k + 1}}} - \sqrt {{u_k}} }}{{\sqrt {{u_k}} .\sqrt {{u_{k + 1}}} }} = \frac{1}{d}.\left( {\frac{1}{{\sqrt {{u_k}} }} - \frac{1}{{\sqrt {{u_{k + 1}}} }}} \right)$.

Do đó:

$S = \frac{1}{d}.\left( {\frac{1}{{\sqrt {{u_1}} }} - \frac{1}{{\sqrt {{u_2}} }}} \right) + \frac{1}{d}.\left( {\frac{1}{{\sqrt {{u_2}} }} - \frac{1}{{\sqrt {{u_3}} }}} \right) + ... + \frac{1}{d}.\left( {\frac{1}{{\sqrt {{u_{2024}}} }} - \frac{1}{{\sqrt {{u_{2025}}} }}} \right) = \frac{1}{d}.\left( {\frac{1}{{\sqrt {{u_1}} }} - \frac{1}{{\sqrt {{u_{2025}}} }}} \right)$

$= \frac{1}{5}\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {10121} }}} \right)$.

Vậy $a = 5,{\rm{ }}b = 10121 \Rightarrow P = - 2024.5 + 10121 = 1$.