Đề cuối học kỳ 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Minh Hà – Hà Nội

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song.

Mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$ khi $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với $(Q)$.

Đường thẳng song song với mặt phẳng khi nó song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng đó.

Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó G thuộc AI và $\frac{{AG}}{{GI}} = 2$.

Vì $\frac{{AG}}{{GI}} = \frac{{AK}}{{KD}} = 2$ nên theo định lí Thales đảo, ta có KG // DI.

Mà DI thuộc (BCD) nên KG // (BCD).

Mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$ khi $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với $(Q)$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AC//A'C' \Rightarrow AC//(DA'C')\\B'C//A'D \Rightarrow B'C//(DA'C')\\AC \cap B'C = \{ C\} \\AC,B'C \subset (B'AC)\end{array} \right. \Rightarrow (B'AC)//(DA'C')$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$.

${u_8} = {u_1} + 7d \Leftrightarrow 40 = 5 + 7d \Leftrightarrow d = 5$.

Nhìn biểu đồ, tìm số học sinh dành trên 3 giờ mỗi ngày để học, từ đó suy ra số %.

Số học sinh dành trên 3 giờ mỗi ngày để học: 19 + 3 = 22.

Vậy có $\frac{{22}}{{100}} = 22\%$ học sinh dành trên 3 giờ mỗi ngày để học.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

$\sqrt 3 \cot 2x = 1 \Leftrightarrow \cot 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Giá trị đại diện của nhóm là trung bình cộng hai đầu mút của nhóm.

Nhóm có giá trị đại diện là 7 là [6;8).

Dựa vào tính chất hình bình hành và tính chất đường trung bình trong tam giác.

Vì MN là đường trung bình của tam giác SCD nên MN // CD.

Mà ABCD là hình  bình hành nên AB // CD.

Do đó MN // AB ( // CD).

Bấm máy tính.

Giá trị $\tan\dfrac{65\pi}{6}$ bằng $- \dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

Tìm công bội của cấp số nhân bằng cách lấy một số hạng bất kì chia cho số hạng liền trước nó.

Công bội của cấp số nhân là 6 : 2 = 3.

Vậy dãy số $2;\, 6;\, 18;\, 54;\,...$ là một cấp số nhân có công bội là $3$ và số hạng đầu tiên là $2$.

Đa thức ở tử và đa thức ở mẫu có cùng bậc: Lấy hệ số có bậc cao nhất của tử chia cho hệ số bậc cao nhất của mẫu.

$\lim \frac{{ - 10{n^2} + 5n - 3}}{{ - 9 - 8{n^2}}} = \frac{{ - 10}}{{ - 8}} = \frac{5}{4}$.

Áp dụng tính chất giới hạn của dãy số.

$\lim(u_{n} + v_{n}) = \lim u_{n} + \lim v_{n} = 8 - 2 = 6$.

Áp dụng công thức tính số trung bình, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Đúng. Có n = 9 + 5 + 3 + 4 + 6 + 3 = 30 loại thực phẩm.

b) Đúng. Hàm lượng protein trung bình:

$\overline{x} = \frac{9.3 + 5.9 + 3.15 + 4.21 + 6.27 + 3.33}{30} =$ 15,4 g/100 g.

c) Sai. Ta có $Q_3 \in [24; 30)$.

$Q_3 = 24 + \frac{\frac{3.30}{4} - (9 + 5 + 3 + 4)}{6} . (30 - 24) = 25,5$.

d) Đúng. Ta có $Q_3$ = 25,5 g/100 g, nghĩa là 75% các loại thực phẩm có hàm lượng protein nhỏ hơn hoặc bằng 25,5 g/100 g.

Và 25% các loại thực phẩm có hàm lượng protein lớn hơn hoặc bằng 25,5 g/100 g.

Vì hàm lượng protein của thịt bò là 26,0 g/100 g, lớn hơn $Q_3$ = 25,5 g/100 g, nên thịt bò thuộc nhóm 25% thực phẩm giàu protein nhất.

Áp dụng các điều kiện, tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, tính chất trọng tâm, tính chất hình bình hành.

a) Đúng. G là trọng tâm tam giác ABC nên G thuộc đường trung tuyến AM.

M cùng thuộc AG và (SBC) nên là giao điểm của AG và (SBC).

b) Sai. ME là đường trung bình của tam giác BCD nên ME // BD, do đó ME // (NBD).

c) Đúng. Ta có $\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{AN}}{{SA}} = \frac{2}{3}$ nên NG // SM (định lí Thales đảo), suy ra SM // (NGD).

Mặt khác ME // (NGD) (cmt).

Lại có SM giao ME tại M, nên (SME) // (NGD).

d) Sai. Vì IB // ED và IE // BD nên BDEI là hình bình hành.

Do đó $IB = DE = \frac{{AB}}{2} \Rightarrow \frac{{IB}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AI}} = \frac{2}{3} = \frac{{AN}}{{SA}}$.

Theo định lí Thales đảo, suy ra BN // SI hay SI // (NOB). Vậy SI không cắt (NOB).

Áp dụng các công thức của cấp số cộng:

- Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n - 1)d$.

- Tổng n số hạng đầu tiên: $S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = \frac{n[2u_1 + (n - 1)d]}{2}$.

Thửa ruộng thấp nhất (bậc thứ nhất) ở độ cao $u_1 = 500$ m.

Độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,2 m, tức là công sai d = 1,2.

a) Đúng. $u_1 = 500$.

b) Sai. Đây là cấp số cộng với công sai d = 1,2.

c) Sai. Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:

$u_n = u_1 + (n - 1)d$.

Có $u_8 = u_1 + (8 - 1)d = 500 + 7 . 1,2 = 500 + 8,4 = 508,4$.

d) Đúng. Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

$S_n = \frac{n[2u_1 + (n - 1)d]}{2}$

Suy ra $S_{50} = \frac{50[2 . 500 + (50 - 1) . 1,2]}{2} = 26470$.

Áp dụng các công thức của cấp số nhân:

- Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 . q^{n-1}$.

- Mối quan hệ giữa các số hạng: $u_n = u_k . q^{n-k}$.

a) Sai. Tìm công bội $q = \frac{u_3}{u_2} = \frac{-3}{8} . \frac{4}{3} = -\frac{1}{2}$.

Tìm số hạng đầu $u_1: u_2 = u_1 . q \Leftrightarrow \frac{3}{4} = u_1 . (-\frac{1}{2}) \Rightarrow u_1 = -\frac{3}{2}$.

b) Sai. Một cấp số nhân là dãy số tăng nếu:

$u_1 > 0$ và q > 1 hoặc $u_1 < 0$ và 0 < q < 1.

Ta có $u_1 = -\frac{3}{2} < 0$; Công bội $q = -\frac{1}{2}$.

Vì $q < 0$, dãy số này là dãy số đan dấu (đổi dấu liên tục):

$u_1 = -\frac{3}{2}$; $u_2 = -\frac{3}{2} . (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$; $u_3 = \frac{3}{4} . (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{8}$.

c) Đúng. Sử dụng công thức số hạng tổng quát: $u_n = u_1 . q^{n-1}$.

Thay $u_1 = -\frac{3}{2}$ và $q = -\frac{1}{2}$ vào, ta được: $u_n = -\frac{3}{2} . (-\frac{1}{2})^{n-1}$.

d) Đúng. Sử dụng công thức số hạng tổng quát: $u_5 = u_1 . q^4$.

$u_5 = -\frac{3}{2} . (-\frac{1}{2})^4 = -\frac{3}{2} . \frac{1}{16} = -\frac{3}{32}$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$.

$\{\begin{array}{l}{u}_3-u_4+u_5=7\\ u_1+u_6=12\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1+2d-u_1-3d+u_1+4d=7\\ u_1+u_1+5d=12\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{u_3} - {u_4} + {u_5} = 7\\{u_1} + {u_6} = 12\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d - {u_1} - 3d + {u_1} + 4d = 7\\{u_1} + {u_1} + 5d = 12\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 7\\2{u_1} + 5d = 12\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.$

${u_n} = {u_1} + (n - 1)d \Leftrightarrow 9 = 1 + (n - 1).2 \Leftrightarrow n = 5$.

Vậy 11 là số hạng thứ 6 của cấp số cộng.

Để tìm giao của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta tìm một điểm M vừa thuộc d, vừa thuộc (P).

Dựa vào tính chất trọng tâm của tam giác để tìm tỉ số.

Xét tam giác SBD có E là SO và BE là hai đường trung tuyến, do đó giao điểm F’ của BE và SO là trọng tâm tam giác SBD, hay $\frac{{BE}}{{EF'}} = 3$.

Mà $SO \subset (SBD) \Rightarrow F' \in SO \subset (SBD)$. Vậy F’ vừa thuộc BE, vừa thuộc (SBD), hay F’ là giao điểm của BE và (SBD). Khi đó, F trùng F’.

Vậy $\frac{{BE}}{{EF}} = 3$.

Dựa vào định nghĩa hình lăng trụ tứ giác.

Hình lăng trụ tứ giác có 4 cạnh bên.

Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm:

$M_0 = a_j + \frac{f_j - f_{j-1}}{(f_j - f_{j-1}) + (f_j - f_{j+1})} . (a_{j+1} - a_j)$.

Mức lương nhiều người đạt nhất là mốt của mẫu số liệu.

Ta có $M_0 \in [10; 12)$ và $M_0 = 10 + \frac{8 - 6}{(8 - 6) + (8 - 7)} . (12 - 10) = \frac{34}{3} \approx 11,3$.

Nhân liên hợp.

$M = \lim \left( \sqrt{9n^2 - 3n + 7} - 3n \right)$

$= \lim \frac{\left( \sqrt{9n^2 - 3n + 7} - 3n \right) \left( \sqrt{9n^2 - 3n + 7} + 3n \right)}{\sqrt{9n^2 - 3n + 7} + 3n}$

$= \lim \frac{9n^2 - 3n + 7 - 9n^2}{\sqrt{9n^2 - 3n + 7} + 3n} = \lim \frac{-3n + 7}{\sqrt{9n^2 - 3n + 7} + 3n}$

$= \lim \frac{-3 + \frac{7}{n}}{\sqrt{9 - \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2}} + 3} = \frac{-3}{\sqrt{9 + 3}} = \frac{-1}{2}$.

Vậy a + b = 3.

Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Cạnh hình vuông ${V_2}$: ${a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}.2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}.2} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt {10} }}{4}$.

Cạnh hình vuông ${V_3}$: ${a_3} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}.\frac{{2\sqrt {10} }}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}.\frac{{2\sqrt {10} }}{4}} \right)}^2}} = 2{\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^2}$.

Cạnh hình vuông ${V_n}$: ${a_n} = 2{\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^{n - 1}}$.

Chu vi hình vuông ${V_n}$: ${u_n} = 8.{\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^{n - 1}}$.

Tổng chu vi các hình vuông là: ${S_n} = 8.\frac{1}{{1 - \frac{{\sqrt {10} }}{4}}} \approx 38,2$.