Đề thi học kì 1 Toán 11 - Đề số 5

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}$ \right..

$\sin x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi  = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array}$ \right. $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Sử dụng tính chất của hàm số và đồ thị hàm số y = cosx.

Hàm số y = cosx là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung.

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng ${u_n} = {u_{n-1}} + (n - 1)d$.

${u_5} = 2 + (5 - 1).5 = 22$.

${u_1};{u_2};{u_3}$ lập thành cấp số nhân có tính chất $u_2^2 = {u_1}.{u_3}$.

Cấp số nhân -2; x; -18; y có

$\{\begin{array}{c}{x}^2=(-2)\mathrm{.}(-18)\\ {(-18)}^2=xy\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}^2=36\\ xy=324\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x^2} = ( - 2).( - 18)}\\{{{( - 18)}^2} = xy}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x^2} = 36}\\{xy = 324}\end{array}} \right.$

Với x = 6 thì y = 54.

Với x = -6 thì y = -54.

Vậy (x; y) = (6; 54) hoặc (x; y) = (-6; -54).

Sử dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số.

Ta có $\lim (2n + 5) = + \infty$ suy ra $\lim \frac{1}{{2n + 5}} = 0$.

Hàm số liên tục tại $x_0$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} f\left( x \right) = f(x_0)$.

Hàm số liên tục tại x = 2 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f(2) = 4$.

Đọc bảng số liệu.

Có 6 ngày có nhiệt độ từ $28^{{^\circ}}C$ đến dưới $31^{{^\circ}}C$.

Công thức tìm giá trị trung bình.

Ta có $\bar x = \frac{{15.1 + 55.3 + 190.5 + 290.7 + 140.9}}{{15 + 55 + 190 + 290 + 140}} = 6,4$.

Áp dụng tính chất giới hạn của hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f(x) + f(x)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = - 3 + 5 = 2$.

Nếu $E \in d$ và $d \subset (P)$ thì $E \in (P)$.

$E \in BD \subset (BCD)$, $E \in BD \subset (ABD)$, $E \in MN \subset (CMN)$, $E \notin (ACD)$.

Áp dụng tính chất đường trung bình.

MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN // AB. Mà ABCD là hình bình hành nên AB // CD. Do đó MN // CD.

Dựa vào định nghĩa hai mặt phẳng song song.

Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu mà hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn của hàm số.

a) Đúng. Hàm số có TXĐ là $D = \mathbb{R}\backslash \{  - 2\}$ nên liên tục trên các khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$.

b) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (4x + 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (4.2 + 1) = 9 > 0$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (x - 2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (x - 2) = 2 - 2 = 0$ và $x - 2 < 0$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{4x + 1}}{{x - 2}} =  - \infty$.

c) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{(2x + 1)(4 - 5x)}}{{ - {x^2} + 7x + 8}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 10{x^2} + 3x + 4}}{{ - {x^2} + 7x + 8}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2}\left( { - 10 + \frac{3}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^2}\left( { - 1 + \frac{7}{x} + \frac{8}{{{x^2}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 10 + \frac{3}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}}}{{ - 1 + \frac{7}{x} + \frac{8}{{{x^2}}}}} = \frac{{ - 10}}{{ - 1}} = 10$.

d) Sai. Hàm số tan không liên tục trên $\mathbb{R}$.

Áp dụng điều kiện và tính chất của hai đường thẳng song song.

a) Đúng. Ta có $\{\begin{array}{l}S\in (SAC)\cap (SBD)\\ O\in AC\subset (SAC)\\ O\in BD\subset (SBD)\end{array}\Rightarrow (SAC)\cap (SBD)=SO$$\left\{ \begin{array}{l}S \in (SAC) \cap (SBD)\\O \in AC \subset (SAC)\\O \in BD \subset (SBD)\end{array} \right.$ \Rightarrow (SAC) \cap (SBD) = SO.

b) Đúng. Xét mặt phẳng (SAC), giả sử AM cắt SO tại G. Khi đó $\{\begin{array}{l}G\in AM\\ G\in SO\subset (SBD)\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}G \in AM\\G \in SO \subset (SBD)\end{array} \right.$ nên G là giao điểm của AM và (SBD).

c) Sai. Xét tam giác SAC có MO là đường trung bình, khi đó MO // SA, suy ra MO // (SAC).

d) Sai. $\{\begin{array}{l}(SAB)\cap (SAC)=SA\\ (SAC)\cap (MOB)=MO\\ SA\mathrm{/}\mathrm{/}MO\end{array}\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}(SAB) \cap (SAC) = SA\\(SAC) \cap (MOB) = MO\\SA//MO\end{array} \right.$ \Rightarrow (SAB), (SAC) và (MOB) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt và ba giao tuyến này song song.

Tìm số đo góc lượng giác vòng quay quay được trong 1 phút, từ đó tính số đo góc lượng giác vòng quay quay được trong 15 phút.

Do vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút và chuyển động theo chiều kim đồng hồ nên sau 15 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng $- 2\pi$ (rad) .

Do đó, sau 10 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng:

$\frac{{ - 2\pi }}{{15}} \cdot 10 = \frac{{ - 4\pi }}{3} \approx - 4,2$ (rad).

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: ${S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]n}}{2}$.

Gọi $u_n$ là số ghế ở hàng thứ n. Vì hội trường lớn có 35 ghế ở hàng đầu tiên, 37 ghế ở hàng thứ hai, 39 ghế ở hàng thứ ba, nên dãy số $(u_n)$ lập thành cấp số cộng có $u_1 = 35$ và công sai d = 2. Suy ra tổng số ghế của hội trường với 27 hàng ghế là:

$S_{27} = \frac{(2u_1 + 26d) . 27}{2} = 1647$ (ghế).

Lập hàm số nồng độ muối C(t) rồi tính $\lim_{t \to +\infty} C(t)$.

Thể tích nước biển bơm vào sau t phút là: 20t (lít).

Khối lượng muối là: 40.20t = 800t (gam).

Thể tích hồ sau khi bơm nước biển vào là: 12000 + 20t (lít).

Nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là: $C(t) = \frac{800t}{12000 + 20t} = \frac{40t}{600 + t}$ (gam/lít).

Ta có: $\lim_{t \to +\infty} C(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{40t}{600 + t} = 40$ (gam/lít).

Vậy khi bơm nước vào hồ một thời gian dài thì nồng độ muối trong hồ bằng 40 (gam/lít), tương đương với nồng độ muối trong nước biển.

Áp dụng công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm:

${M_o} = u + \left( {\frac{{{n_i} - {n_{i - 1}}}}{{2{n_i} - {n_{i - 1}} - {n_{i + 1}}}}} \right).g$.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là [18; 22).

Do đó:

$u_m = 18; n_{m-1} = 105; n_{m+1} = 96; u_{m+1} - u_m = 22 - 18 = 4$.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_o = 18 + \frac{179 - 105}{(179 - 105) + (179 - 96)} \cdot 4 \approx 19,9$.

Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán rằng nếu công ty bất động sản Đất Vàng xây nhà ở mức giá 19,9 triệu đồng/ mét vuông thì sẽ có nhiều người mua nhất.

Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, áp dụng công thức ${{u}_{n}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}}$.

Áp dụng quy tắc tính giới hạn của hàm số.

a) Vì cứ sau 1 chu kì bán rã thì khối lượng mẫu chất phóng xạ giảm một nửa nên $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1 = 21$ và công bội $q = \frac{1}{2}$.

Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ là: $u_n = \frac{42}{2^n}$.

b) Ta có: $\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{42}{2^n} = \lim_{n \to \infty} 42 . \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 42 . 0 = 0$.

Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi $n$ càng dần tới vô cực thì khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ càng dần về 0, nghĩa là sau một khoảng thời gian đủ dài thì khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ là rất nhỏ (đến mức không đáng kể).

Sử dụng kiến thức về điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng để chứng minh: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DB, DC. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác DBC. Suy ra MN//BC (1)

Vì ${G_1}$ là trọng tâm của tam giác ADB nên $\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{2}{3}$.

Vì ${G_2}$ là trọng tâm của tam giác ADC nên $\frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{2}{3}$.

Tam giác AMN có: $\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_2}}}{{AN}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)$ nên ${G_1}{G_2}//MN$ (2) (định lí Thalès đảo)

Từ (1) và (2) ta có: ${G_1}{G_2}//MN//BC$.

Vì ${G_1}{G_2}//BC$, ${G_1}{G_2}$ không nằm trong mặt phẳng (ABC), $BC \subset \left( {ABC} \right)$ nên ${G_1}{G_2}$//(ABC)

Vì ${G_1}{G_2}//BC$, ${G_1}{G_2}$ không nằm trong mặt phẳng (DBC), $BC \subset \left( {DBC} \right)$ nên ${G_1}{G_2}$//(DBC).

Ta có bảng số liệu ghép nhóm:

Để tính tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm trước hết ta xác định nhóm chứa ${Q_3}.$ Giả sử đó là nhóm thứ p: $\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)$.

Khi đó, ${Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)$, trong đó n là cỡ mẫu, với $p = 1$ thì ta quy ước ${m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0$

Số a chính là tứ phân vị thứ ba.

Tứ phân vị thứ ba a là $\frac{{{x_{18}} + {x_{19}}}}{2}$. Do ${x_{18}},{x_{19}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {8;10} \right)$ nên nhóm này chứa a. Do đó, $p = 4,{a_4} = 8,{m_4} = 9,{m_1} + {m_2} + {m_3} = 2 + 5 + 6 = 13,{a_5} - {a_4} = 2$

Suy ra: $a = 8 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - 13}}{9}.2 = \frac{{167}}{{18}}$.