Đề giữa kỳ 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Việt Nam – Ba Lan – Hà Nội

Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0.

$\cot x$ xác định $\Leftrightarrow \sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Mẫu thức khác $0$: $\cot x - \sqrt 3 \ne 0 \Leftrightarrow \cot x \ne \sqrt 3$

$\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{6} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Biểu diễn các số hạng theo ${u_3}$ và công sai d. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ${u_3}$ và d.

$\{\begin{array}{l}{u}_3+u_4+u_5=-3\\ 3u_5-2u_7=5\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_4} + {u_5} = - 3\\3{u_5} - 2{u_7} = 5\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_3} + d + {u_3} + 2d = - 3\\3({u_3} + 2d) - 2({u_3} + 4d) = 5\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}3{u_3} + 3d = - 3\\{u_3} - 2d = 5\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 1\\d = - 2\end{array} \right.$.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu: ${S_n} = \frac{n}{2}[2{u_1} + (n - 1)d]$; công thức số hạng tổng quát: ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$.

$5150 = \frac{{50}}{2}[2.5 + 49d] = 25(10 + 49d) \Leftrightarrow d = 4$.

Số hạng tổng quát: ${u_n} = 5 + (n - 1).4 = 1 + 4n$.

Dãy số $u_{n}$ là dãy số tăng nếu $u_{n+1} - u_n > 0$.

Xét đáp án A: Do thừa số ${\left( { - 1} \right)^{n + 1}}$ thay đổi dấu đan xen giữa dương và âm khi n tăng dần nên dãy số không tăng, không giảm.

Xét đáp án B: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1}}{{{{(n + 1)}^2} + 1}} - \frac{n}{{{n^2} + 1}}$

$= \frac{{ - {n^2} - n + 1}}{{({n^2} + 2n + 2)({n^2} + 1)}} < 0$ $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Do đó dãy số là dãy số giảm.

Xét đáp án C: ${u_n} = {( - 1)^{2n}}({5^n} + 1) = {5^n} + 1$.

${u_{n + 1}} - {u_n} = ({5^{n + 1}} + 1) - ({5^n} + 1) = {4.5^n} > 0$ $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Do đó dãy số là dãy số tăng.

Xét đáp án D: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{(n + 1) + 2}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{{ - 1}}{{(n + 3)(n + 2)}} < 0$ $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Do đó dãy số là dãy số giảm.

Hàm số là hàm số lẻ nếu tập xác định có tính đối xứng và f(-x) = -f(x).

Hàm số $y = \sin 2x$ có TXĐ là $D = \mathbb{R}$.

$f( - x) = \sin ( - 2x) = - \sin 2x = - f(x)$.

Vậy $y = \sin 2x$ là hàm số lẻ.

Giá trị đại diện của nhóm [a; b) là ${x_i} = \frac{{a + b}}{2}$.

Giá trị đại diện của nhóm [30; 40) là: $x = \frac{{30 + 40}}{2} = 35$.

Nhân với 180 độ.

$\frac{{2\pi }}{5} = \frac{{{{2.180}^o}}}{5} = {72^o}$.

Nếu $d = {u_{n + 1}} - {u_n}$ là hằng số thì dãy là cấp số cộng.

Xét đáp án A: $d = {u_{n + 1}} - {u_n} = - 3$, do đó dãy số là cấp số cộng.

Xét đáp án B: $d = {u_{n + 1}} - {u_n} = (1 + {3^{n + 1}}) - (1 + {3^n}) = {2.3^n}$ không phải hằng số, do đó dãy không phải cấp số cộng.

Xét đáp án C: ${u_{n + 1}} - {u_n} = (6n + 15) - (6n + 9) = 6$, do đó dãy số là cấp số cộng.

Xét đáp án D: ${u_{n + 1}} - {u_n} = (2n + 7) - (2n + 5) = 2$, do đó dãy số là cấp số cộng.

Tính góc giữa 2 ô xe liên tiếp, từ đó suy ra góc tính từ ô xe thứ 2 đến ô xe thứ 8. Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn để tính quãng đường.

Góc giữa 2 ô xe liên tiếp là: $\frac{{{{360}^o}}}{{20}} = {18^o} = \frac{\pi }{{10}}$ (rad).

Quãng đường từ ô xe số 2 đến vị trí ô xe số 8 tương ứng với 8 – 2 = 6 khoảng:

$\alpha = {6.18^o} = {108^o} = \frac{{3\pi }}{5}$ (rad).

Quãng đường ô xe đã di chuyển là:

$s = R.\alpha = 50 \cdot \frac{{3\pi }}{5} = 30\pi \approx 94,25$ (m).

Thay n = 1, 2, 3, 4, 5 vào hệ thức truy hồi.

${u_1} = 4$;

${u_2} = {u_1} + 1 = 4 + 1 = 5$;

${u_3} = {u_2} + 2 = 5 + 2 = 7$;

${u_4} = {u_3} + 3 = 7 + 3 = 10$;

${u_5} = {u_4} + 4 = 10 + 4 = 14$.

Hàm số nhận giá trị dương khi đồ thị nằm phía trên trục hoành.

Hàm số nhận giá trị dương trên $x \in \left( {- \dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}} \right).$

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

$\frac{1}{2}[\sin (a - b) - \sin (a + b)] = - \cos a\sin b$.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

a) Đúng. $\cos \left( {4x - \frac{{3\pi }}{8}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 4x - \frac{{3\pi }}{8} = \pi + k2\pi$

$\Leftrightarrow 4x = \frac{{11\pi }}{8} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{11\pi }}{{32}} + \frac{{k\pi }}{2}$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Khi k = 0, ta được nghiệm $x = \frac{{11\pi }}{{32}}$.

b) Đúng. Tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác.

c) Sai. Nghiệm dương nhỏ nhất (k = 0): ${x_1} = \frac{{11\pi }}{{32}}$.

Nghiệm âm lớn nhất (k = -1): ${x_2} = \frac{{11\pi }}{{32}} - \frac{\pi }{2} = - \frac{{5\pi }}{{32}}$.

Tổng hai nghiệm: ${x_1} + {x_2} = \frac{{11\pi }}{{32}} - \frac{{5\pi }}{{32}} = \frac{{6\pi }}{{32}} = \frac{{3\pi }}{{16}}$.

d) Sai. Xét $x \in \left( {\frac{\pi }{4};\frac{{19\pi }}{2}} \right)$:

$\frac{\pi }{4} < \frac{{11\pi }}{{32}} + \frac{{k\pi }}{2} < \frac{{19\pi }}{2} \Leftrightarrow - \frac{3}{{16}} < k < \frac{{293}}{{16}}$

$\Leftrightarrow - 0,1875 < k < 18,3125$.

Vì $k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0,1,2, \ldots ,18} \right\}$. Vậy có 19 nghiệm thuộc $\left( {\frac{\pi }{4}\,;\;\frac{{19\pi }}{2}} \right)$.

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$, công thức cộng, công thức nhân đôi.

a) Sai. Vì $\alpha ,\beta \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$ nên $\cos \alpha < 0$, $\sin \beta > 0$, $\tan \alpha < 0$, $\tan \beta < 0$.

$\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

b) Sai. $\sin \beta = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\beta } = \sqrt {1 - \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}$,  $\tan \beta = \frac{{\sin \beta }}{{\cos \beta }} = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

$\tan \left( {\alpha - \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha .\tan \beta }}$

$= \frac{{ - \frac{{\sqrt 2 }}{4} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}}}{{1 + \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)}} = \frac{{4\sqrt 5 - 2\sqrt 2 }}{{8 + \sqrt {10} }} > \frac{1}{2}$.

c) Đúng. $\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$= \left( {\frac{1}{3}} \right)\left( { - \frac{2}{3}} \right) + \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = - \frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}$.

d) Đúng. $\frac{{3 - 4\cos 2\alpha + cos4\alpha }}{{3 + 4\cos 2\alpha + cos4\alpha }}$

$= \frac{{2{{(\cos 2\alpha - 1)}^2}}}{{2{{(\cos 2\alpha + 1)}^2}}} = \frac{{8{{\sin }^4}\alpha }}{{8{{\cos }^4}\alpha }}$

$= 8{\tan ^4}\alpha = {\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)^4} = \frac{1}{{64}}$.

Áp dụng các công thức cấp số cộng.

a) Đúng. Từ hệ thức ${a_{n + 1}} = - 2{{\rm{a}}_n}$, suy ra dãy  $\left( {{a_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${a_1} = 2$ và công bội q = -2.

b) Sai. Số hạng tổng quát ${a_n} = {a_1}.{q^{n - 1}} = 2.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}$.

Số hạng thứ 8: ${a_8} = 2.{( - 2)^7} = - 256$.

c) Đúng. Ta có $2.{( - 2)^{n - 1}} = - 2048 \Leftrightarrow n = 11$.

Vậy -2048 là số hạng thứ 11 của dãy.

d) Đúng. Ta có ${S_{10}} = 2.\frac{{1 - {{( - 2)}^{10}}}}{{1 - ( - 2)}} = - 682$.

Áp dụng các công thức tính số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Sai. Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: 17,5; 22,5; 27,5; 32,5; 37,5; 42,5.

Số trung bình: $\bar x = \frac{{2.17,5 + 10.22,5 + 28.27,5 + 27.32,5 + 38.37,5 + 12.42,5}}{{117}} \approx 32,84$.

b) Đúng. Nhóm có tần số lớn nhất là [35;40) với tần số 38.

Mốt: ${M_o} = 35 + \frac{{38 - 27}}{{(38 - 27) + (38 - 12)}}.(40 - 35) \approx 36,49$.

c) Đúng. Nhóm chứa trung vị là [30; 35).

Trung vị: ${M_e} = 30 + \frac{{58,5 - 40}}{{27}}.(35 - 30) \approx 33,43$.

d) Sai. Gọi ngưỡng điểm cần tìm là x. Có 117 – 29 = 88 trường có điểm chuẩn thấp hơn x.

Nhóm chứa x là [35; 40). Ta có: $x = 35 + \frac{{88 - 67}}{{38}}.(40 - 35) \approx 37,76$.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}\cos x\mathrm{\ne }0\\ \sqrt{3}\tan x+1\mathrm{\ne }0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\mathrm{\ne }\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\mathrm{\ne }-\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sqrt 3 \tan x + 1 \ne 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$.

$\frac{{\cos 3x}}{{\sqrt 3 \tan x + 1}} = 0 \Rightarrow \cos 3x = 0$

$\Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Kết hợp ĐKXĐ, được nghiệm $x = \frac{\pi }{6} + n\pi$ $(n \in \mathbb{Z})$.

Xét đoạn $\left[ { - 50\pi ;100\pi } \right]$:

$- 50\pi \le \frac{\pi }{6} + n\pi \le 100\pi \Leftrightarrow - 50 - \frac{1}{6} \le n \le 100 - \frac{1}{6}$

$\Leftrightarrow - \frac{{301}}{6} \le n \le \frac{{599}}{6} \Rightarrow - 50,16 \le n \le 99,83$.

Vì $n \in \mathbb{Z}$ nên $n \in \left\{ { - 50; - 49; - 48; \ldots ;99} \right\}$. Có 150 giá trị n thỏa mãn.

Tổng các nghiệm là:

$S = \left[ {\frac{\pi }{6} + ( - 50)\pi } \right] + \left[ {\frac{\pi }{6} + ( - 49)\pi } \right] + ... + \left( {\frac{\pi }{6} + 99\pi } \right)$

$= 150.\frac{\pi }{6} + \pi .\left[ {( - 50) + ( - 49) + ... + 99} \right]$

$= 25\pi + \pi .\left[ {( - 50) + ( - 49) + ... + 99} \right]$.

Xét $( - 50) + ( - 49) + ... + 99 = \frac{{( - 50 + 99).150}}{2} = 3675$.

Do đó $S = 25\pi + 3675\pi = 3700\pi \Rightarrow m = 3700$.

Bình phương hai vế.

$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = - \frac{8}{9}$

${A^2} = {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 + \frac{8}{9} = \frac{{17}}{9}$.

Vì $- \frac{\pi }{2} < \alpha < 0$ nên $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha - \cos \alpha < 0 \Rightarrow A = - \frac{{\sqrt {17} }}{3}$.

Vậy $m + n = 17 + 3 = 20$.

- Bài toán về cấp số cộng.

- Tổng của $n$ số hạng đầu tiên trong CSC có số hạng đầu tiên là $u_1$ và công sai là $d$ là:

$S_n = \frac{[2u_1 + (n-1)d]n}{2}$.

Bài toán là bài tập về cấp số cộng nếu ta coi số đồng xu ở tầng dưới cùng là số hạng đầu với công sai là hiệu số đồng xu của tầng 2 tầng liền kề.

Khi đó, ta có một cấp số cộng với $u_1 = 4901$ và công sai $d = -100$.

Gọi số tầng của kim tự tháp đó là $n$ ($n \in \mathbb{N}^*$).

Khi đó, tổng số đồng xu của $n$ tầng đó là $S_n = 122550$ nên ta có:

$S_n = \frac{[2u_1 + (n-1)d]n}{2}$

$\Leftrightarrow 122550 = \frac{[2 \cdot 4901 + (n-1) \cdot (-100)] \cdot n}{2}$

$\Leftrightarrow 245100 = [2 \cdot 4901 - 100n + 100] \cdot n$

$\Leftrightarrow 245100 = [9902 - 100n] \cdot n$

$\Leftrightarrow 100n^2 - 9902n + 245100 = 0$

$\Leftrightarrow n = 50 \ (tm)$ hoặc $n = \frac{2451}{50} \ (ktm)$

Vậy mô hình kim tự tháp đã cho có 50 tầng.

Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác để xét từng trường hợp.

$\left( {\cos x - 1} \right)\left( {\sin 2x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}\cos x - 1 = 0\\\sin 2x - m = 0\end{array}$ \right.$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}\\{}\end{array}$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{(1)}\\{(2)}\end{array}$

$(1) \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Có $x = \frac{\pi }{3} \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right]$.

Để phương trình $\left( {\cos x - 1} \right)\left( {\sin 2x - m} \right) = 0$ có đúng hai nghiệm thuộc $\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right]$ thì có đúng một nghiệm thuộc $\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right]$ khác $\frac{\pi }{3}$.

Khi $x \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right] \Rightarrow 2x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]$.

$(2) \Leftrightarrow \sin 2x = m$ (với $- 1 \le m \le 1$).

TH1: $- 1 < m < 1$:  Phương trình $\sin 2x = m$ có hai nghiệm phân biệt trên $\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right]$.

Nếu một trong hai nghiệm là $x = \frac{\pi }{3}$ thì TH này thỏa mãn. Khi đó:

$m = \sin \left( {2.\frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{{2\pi }}{3} = \sin \left( {\pi - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

TH2: $m = 1 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Có $x = \frac{\pi }{4} \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right]$ nên m = 1 thỏa mãn.

TH3: $m = - 1 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Có $x = \frac{{3\pi }}{4} \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right]$ nên m = 1 thỏa mãn.

Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là $1 + ( - 1) + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 0,87$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân:

${u_n} = {u_1}{q^{n-1}}$.

Giá trị chiếc xe của cô Ngọc mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = 600$, công bội $q = 100\% - 8\% = 92\% = 0,92$.

Sau 1 năm, giá trị của chiếc xe là ${u_2}$. Sau 2 năm, giá trị của chiếc xe là ${u_3}$.

Giá trị của chiếc xe sau 4 năm là ${u_5} = {u_1}{q^4} = 600.0,{92^4} \approx 429,835776$ (triệu đồng).

Số tiền cô Ngọc phải bù là $800 - 429,835776 \approx 370$ (triệu đồng).

Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác để tìm GTLN.

Ta có $- 1 \le \sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le - 3\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 3$. 

Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất là 3 khi $\sin (1,5t + \frac{\pi }{3}) = 1 \Leftrightarrow 1,5t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi$  

$\Leftrightarrow t = \frac{\pi }{9} + k\frac{{4\pi }}{3}.$ 

Vì $t \in [0;12]$ nên $\Leftrightarrow 0 \le \frac{\pi }{9} + k\frac{{4\pi }}{3} \le 12 \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{9}{\pi } - \frac{1}{{12}}$ mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{ 0;1;2\}$. 

Vậy vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất 3 lần.