Đề giữa kì 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Hòa Vang – Đà Nẵng

Dựa vào công thức nhân đôi.

$\cos 2a = \cos^{2}a + \sin^{2}a$ là công thức sai.

Cỡ mẫu là tổng tần số của mẫu số liệu.

Cỡ mẫu: n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42.

Thay n = 5.

${u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{7}{4}$.

Tìm nhóm chứa giá trị chính giữa của mẫu số liệu.

Cỡ mẫu: n = 5 + 18 + 13 + 7 = 43.

Trung vị là giá trị thứ 22, thuộc nhóm $\left\lbrack {3,5;6,5} \right)$.

Giá trị đại diện của nhóm là số trung bình cộng hai đầu mút của nhóm.

Giá trị đại diện nhóm [20;40) là $\frac{{20 + 40}}{2} = 30$.

Hàm số đồng biến khi đồ thị đi lên từ trái qua phải.

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {\pi;2\pi} \right)$.

Góc ${n^o}$ khi chuyển sang đơn vị radian sẽ có giá trị:

${n^o} = \frac{{\pi n}}{{180}}$ (rad).

${315^o} = \frac{{\pi .315}}{{180}} = \frac{{7\pi }}{4}$ (rad).

Áp dụng công thức $d = {u_{n + 1}} - {u_n}$.

$d = {u_{n + 1}} - {u_n} = 3(n + 1) - 5 - (3n - 5) = 3$.

Áp dụng công thức cộng: $\sin (x - y) = \sin x\cos y - \cos x\sin y$.

$\sin \left( {a--19^\circ } \right).\cos \left( {a + 11^\circ } \right)--\sin \left( {a + 11^\circ } \right).\cos \left( {a--19^\circ } \right)$

$= \sin [(a - {19^o}) - (a + {11^o})] = \sin ( - {30^o}) = - \frac{1}{2}$.

Tính ${u_1}$ và tìm công bội $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$.

Ta có: ${u_1} = {3^1} = 3$;

${u_{n + 1}} = {3^{n + 1}} = {3^n}.3 = {u_n}.3$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 3$, $q = 3$.

$\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

$\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Dựa vào chiều quay của góc lượng giác để xác định dấu.

Quan sát hình vẽ, thấy chiều quay từ tia Ou đến tia Ov là ngược chiều kim đồng hồ (chiều dương của đường tròn lượng giác. Do đó $\left( {Ou,Ov} \right) = {45^o}$.

Dựa vào lí thuyết hàm số chẵn, lẻ.

Áp dụng công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác.

a) Đúng. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

b) Đúng. Ta có $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\} \Rightarrow x \in D$ thì $- x \in D$.

$f( - x) = {\tan ^2}( - x) - 1 = {( - \tan x)^2} - 1 = {\tan ^2}x - 1 = f(x)$.

Do đó hàm số trên là hàm số chẵn.

c) Sai. ${\tan ^2}x \ge 0 \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 1 \ge - 1$ nên tập giá trị của hàm số trên là $[ - 1; + \infty )$.

d) Sai. $y = 0 \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 1 = 0 \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1$

$\Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = - 1\end{array}$ \right. \Leftrightarrow \left[ $\begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array}$ \right. $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Trên $[0;\pi ]$ chỉ có một nghiệm duy nhất là $x = \frac{\pi }{4}$.

a) Tính $u_4$.

b) Tính $\dfrac{u_{1} + u_{9}}{2}$ và so sánh với $u_{5}$.

c) Xét tính tăng giảm của dãy số. Dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.

d) Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.

a) Đúng. ${u_4} = {3^4} = 81 < 100$.

b) Sai. $\frac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = \frac{{{3^1} + {3^9}}}{2} = 9843 \ne {3^5} = {u_5}$.

c) Sai. Dãy số tăng và không bị chặn.

d) Sai. Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với ${u_1} = 3$ và công bội $q = 3$.

Do đó ${S_{2024}} = 1 + {u_1} + {u_2} + ... + {u_{2024}} = 1 + {u_1}\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}$

$= 1 + 3.\frac{{{3^{2024}} - 1}}{{3 - 1}} = 1 + \frac{{{3^{2025}} - 1}}{2} = \frac{{{u_{2025}} + 1}}{2}$.

Áp dụng công thức cộng, công thức nhân đôi.

a) Sai. $\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos \alpha$.

b) Đúng. $\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}$.

c) Sai. Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos \alpha < 0$.

$\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

$\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha - \sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha = \frac{1}{2}\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{2}{3} = \frac{{ - \sqrt 5 - 2\sqrt 6 }}{6}$.

d) Đúng. $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2.\frac{2}{3}\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 5 }}{9}$.

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$.

Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: ${S_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$.

a) Sai. ${u_3} = {u_1}{q^2} \Leftrightarrow 36 = 9.{q^2} \Leftrightarrow {q^2} = 4 \Leftrightarrow q = \pm 2$.

Mà theo đề bài, công bội là số dương nên $q = 2$.

b) Đúng. ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = {9.2^{n - 1}}$.

c) Sai. ${u_n} = {9.2^{n - 1}} = 576 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 64 \Leftrightarrow n - 1 = 6 \Leftrightarrow n = 7$.

Vậy 576 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

d) Đúng. ${S_9} = 9.\frac{{1 - {2^9}}}{{1 - 2}} = 4599$.

Thay h = 6.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Chiều cao của mực nước tại cảng bằng 6 m nên ta có $12 + 6\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = 6$

$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = - 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi$ $\Leftrightarrow t = - 6 + 24k$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Mà $0 \le t \le 24$ nên $t = 18$ Vậy lúc 18 giờ thì chiều cao của mực nước tại cảng là 6 (m).

Áp dụng công thức nhân đôi.

a) ${\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2} = \frac{8}{9}$.

Vì $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$, nên $\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$ .

b) $B = \frac{{\sin 2\alpha + \sin 4\alpha + \sin 6\alpha }}{{1 + \cos 2\alpha + \cos 4\alpha }} = \frac{{2\sin 4\alpha \cdot \cos 2\alpha + \sin 4\alpha }}{{2{{\cos }^2}2\alpha + \cos 2\alpha }}$

$= \frac{{\sin 4\alpha (2\cos 2\alpha + 1)}}{{\cos 2\alpha (2\cos 2\alpha + 1)}} = \frac{{\sin 4\alpha }}{{\cos 2\alpha }} = \frac{{2\sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }} = 2\sin 2\alpha$.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.

Xét phương án của công ty $A$:

Nếu thuê đất của công ty $A$ trong vòng 5 năm bằng 20 quý thì số tiền anh Hùng phải trả là:

${S_{20}} = \frac{{20}}{2}[2{u_1} + 19d] = 10 \cdot (2 \cdot 33 + 19 \cdot 1,2) = 888$ (triệu đồng).

Xét phương án của công ty $B$:

Ta có số hạng đầu tiên ${u_1} = 12 \cdot 9 = 108$, công sai $d = 9$.

Vì 5 năm tức là 6 lần 9 tháng và 6 tháng còn lại. Khi đó tổng số tiền anh Hùng phải trả trong 5 năm thuê đất là:

${S_6} + \frac{6}{9}{u_7} = \frac{6}{2}[2{u_1} + 5d] + \frac{6}{9}({u_1} + 6d) = 3 \cdot (2 \cdot 108 + 5 \cdot 9) + 108 = 891$ (triệu đồng).

Kết luận: Thuê công ty $A$ với số tiền trong 5 năm là 888 triệu đồng.