Đề giữa học kì 1 Toán 11 năm 2025 – 2026 trường THPT Nhữ Văn Lan – Hải Phòng

Đếm số lượng giá trị chiều cao thuộc [170; 175).

Các giá trị thuộc khoảng [170; 175) trong mẫu số liệu: 170; 171; 171; 172; 172; 174.

Có 6 học sinh có chiều cao vừa với size XL.

Áp dụng công thức ${a^o} = a.\frac{\pi }{{180}}$ rad.

${135^o} = 135.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{3\pi }}{4}$ rad.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Mỗi răng ứng với góc $\frac{{{{360}^o}}}{{72}}$ , từ đó suy ra góc bánh xe quay được khi di chuyển 12 răng.

Số đo góc quay được là: $\frac{{12}}{{72}}{.360^o} = \frac{1}{6}{.360^o} = {60^o}$.

Áp dụng công thức $d = {u_{n + 1}} - {u_n}$ đối với cấp số cộng.

Ta có $d = y - ( - 4) = 8 - y \Leftrightarrow 2y = 4 \Leftrightarrow y = 2$.

Suy ra $d = y - \left( { - 4} \right) = 2 - \left( { - 4} \right) = 6$.

Do đó $x = - 4 - d = - 4 - 6 = - 10$.

Áp dụng công thức $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ đối với cấp số nhân.

$q = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{16}}{4} = 4$.

Dựa vào lý thuyết về hàm y = tanx.

Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kỳ $T = \pi$.

Dựa vào lý thuyết về các hàm số lượng giác.

Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn; các hàm số $y = \sin x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$ là hàm số lẻ.

Thay n = 1, 2, 3 vào số hạng tổng quát của dãy số.

${u_1} = \frac{{2.1}}{{{2^1} + 1}} = \frac{2}{3}$; ${u_2} = \frac{{2.2}}{{{2^2} + 1}} = \frac{4}{5}$; ${u_3} = \frac{{2.3}}{{{2^3} + 1}} = \frac{2}{3}$.

Số học sinh thi đỗ là tổng tần số của nhóm [50; 60), [60; 70), [70; 80), [80; 90), [90; 100).

Số học sinh thi đỗ là: 12 + 10 + 6 + 4 + 3 = 35 (học sinh).

Áp dụng công thức $d = {u_{n + 1}} - {u_n}$ đối với cấp số cộng.

$d = {u_5} - {u_4} = 7 - 3 = 4$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân nếu thương của hai số hạng liên tiếp không đổi $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q$.

Dãy số ở đáp án C là cấp số nhân với công bội q = 3.

a) Xác định dấu của giá trị lượng giác dựa vào đường tròn lượng giác.

b) Áp dụng công thức nhân đôi.

c) Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác.

d) Áp dụng công thức ${a^o} = a.\frac{\pi }{{180}}$ rad.

a) Sai. $A = \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = - \sin \alpha$.

Có $0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin \alpha > 0 \Rightarrow - \sin \alpha < 0 \Rightarrow A < 0$.

b) Sai. $\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1 = 2.{\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} - 1 = \frac{7}{{25}}$.

c) Đúng. $- 1 \le \sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{6}} \right) \le 1$

$\Rightarrow h(t) = 2\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{6}} \right) + 15 \le 2.1 + 15 = 17$.

Vậy chiều sâu mực nước cao nhất là 17 m.

d) Đúng. ${270^o} = 270.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{3\pi }}{2}$ rad.

Áp dụng công thức tính các số đăc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Đúng. Số pin có điện lượng từ 1,05 đến dưới 1,1 nghìn mAh là tần số của nhóm [1,05; 1,1), hay 15 viên.

b) Đúng. Số trung bình:

$\bar x = \frac{{10.0,925 + 20.0,975 + 35.1,025 + 15.1,075 + 5.1,125}}{{85}} \approx 1,016$.

c) Đúng. Độ dài của các nhóm là: 0,95 – 0,9 = 0,05.

d) Sai. Trung vị: ${M_e} = 1,0 + \frac{{42,5 - 30}}{{35}}.0,05 \approx 1,02$.

Điện lượng của pin không vượt quá 1,02 nghìn mAh bị dừng sản xuất.

Giải phương trình $250 = 550 + 600.\cos \frac{\pi }{{50}}t$.

Vệ tinh cách mặt đất 250 km thì:

$550 + 600\cos \left( {\frac{\pi }{{50}}t} \right) = 250 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{{50}}t} \right) = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{50}}t = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow t = \pm \frac{{100}}{3} + 100k$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Vì $0 \le t \le 60$ nên ta có:

- Với $t = \frac{{100}}{3} + 100k \Rightarrow k = 0 \Rightarrow t = \frac{{100}}{3} \approx 33,3$ (TM).

- Với $t = - \frac{{100}}{3} + 100k \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = \frac{{200}}{3} \approx 66,7$ (L).

Áp dụng công thức ${M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - ({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}})}}{{{m_p}}}.({a_{p + 1}} - {a_p})$.

$n = 41 \Rightarrow \frac{n}{2} = 20,5$. Nhóm chứa trung vị là nhóm [7,5; 8).

${M_e} = 7,5 + \frac{{20,5 - 19}}{{15}}.0,5 \approx 7,6$.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.

Gọi số hàng cây là n $(n \in {\mathbb{N}^*})$. Số cây mỗi hàng tạo thành cấp số cộng với ${u_1} = 1$, d = 1.

Tổng số cây là ${S_n} = \frac{{n(n + 1)}}{2} = 1275 \Leftrightarrow {n^2} + n - 2550 = 0$.

Giải phương trình trên được một nghiệm thỏa mãn là n = 50.

Cấp số nhân trên có ${u_1} = 160$ và ${u_8} = 5$. Tìm công bội, từ đó tính tổng tám số hạng đầu

Cấp số nhân trên có ${u_1} = 160$ và ${u_8} = 5$.

Ta có: $160 = 5.{q^7} \Leftrightarrow {q^{}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{5}{7}}} = {2^{ - \frac{5}{7}}}$.

Tổng các số hạng là: ${S_8} = \frac{{160.\left[ {1 - {{\left( {{2^{ - \frac{5}{7}}}} \right)}^8}} \right]}}{{1 - \left( {{2^{ - \frac{5}{7}}}} \right)}} \approx 402$.

Áp dụng công thức tổng thành tích.

Ta có: $\frac{{\cos 7a + \cos 5a}}{{\cos 7a - \cos 5a}}$

$= \frac{{2\cos 6a\cos a}}{{ - 2\sin 6a\sin a}} = - \tan 6a\tan a$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.

Ta có ${u_4} + {u_6} = - 540 \Leftrightarrow \left( {{u_3} + {u_5}} \right)q = - 540$.

Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được $q = - 3$.

Lại có ${u_3} + {u_5} = 180 \Leftrightarrow {u_1}\left( {{q^2} + {q^4}} \right) = 180$.

Vì $q = - 3$ nên ${u_1} = 2$.

Suy ra ${S_{21}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{21}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{1}{2}\left( {{3^{21}} + 1} \right)$.