Đề giữa kỳ 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi

Dựa vào lí thuyết tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chia mẫu số liệu thành $4$ phần, mỗi phần chứa $25\%$ giá trị nên mệnh đề ở đáp án D sai.

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q gọi là công bội của cấp số nhân.

Dãy $1;\, 2;\, 4;\, 8;\, 16;\, 32;\,...$ là một cấp số nhân với cộng bội bằng 2.

Áp dụng công thức ${u_n} = {u_{n - 1}} + d$.

$u_{n + 1} = u_{n} + 3$ nên công sai d = 3.

Tìm ĐKXĐ của hàm số.

TXĐ của hàm số là $D = {\mathbb{R}}$.

Áp dụng lí thuyết công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_{n} = u_{1} + \left( {n - 1} \right)d$.

Quan sát đường tròn lượng giác.

Ta thấy điểm biểu diễn của góc nằm ở góc phần tư thứ II, do đó $\sin\alpha > 0$ và $\cos\alpha < 0$.

Khi đó $\tan\alpha < 0$ và $\cot\alpha < 0$.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi,\, k \in {\mathbb{Z}}$.

Chiều quay theo chiều kim đồng hồ là chiều âm.

$\left( {Ou,Ov} \right) = - 40^{{^\circ}}$.

Dựa vào hình dạng đồ thị.

Đồ thị trên là của hàm số $y = \cot x$.

Là tần số của nhóm [20;40).

Số học sinh có thời gian tập thể dục trong ngày từ 20 phút đến dưới 40 phút là 13 học sinh.

Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là $\left\lbrack {5;10} \right)$ với tần số là 8.

Áp dụng lí thuyết công thức biến đổi tổng thành tích.

Ta có $\sin a + \sin b = 2\sin\dfrac{a + b}{2}\cos\dfrac{a - b}{2}$.

Hàm số u xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; ...; m} được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dãy số hữu hạn là: $8,15,22,29,36.$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Phương trình $\cos x = \cos a^{{^\circ}}$ có nghiệm là $x = \pm \alpha^{{^\circ}} + k360^{{^\circ}},\, k \in {\mathbb{Z}}$.

Dựa vào công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.

$S_{n} = \dfrac{u_{1}\left( {1 - q} \right)^{n}}{1 - q}$.

Dãy số tăng có số hạng đứng sau luôn lớn hơn số hạng đứng trước.

$1;\, 3;\, 5;\, 7;\, 9;\,...$ là dãy số tăng vì 1 < 3 < 5 < 7 < 9 < ...

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và f(-x) = -f(x).

Tập giá trị của hàm số $y = \tan x$: $\mathbb{R}$.

a) Sai. Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Ta có $f( - x) = \tan ( - x) + 2 = - \tan x + 2 \Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}f( - x) \ne f(x)\\f( - x) \ne - f(x)\end{array} \right.$ nên hàm số không chẵn, không lẻ.

b) Sai. Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

c) Đúng. $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \tan \frac{\pi }{4} + 2 = 3$.

d) Sai. Hàm số không có giá trị lớn nhất.

Nếu cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$ và công sai d thì số hạng tổng quát ${u_n}$ của nó được xác định theo công thức: ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$.

Đặt ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}$. Khi đó ${S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}$ hay ${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}$.

a) Đúng. ${S_{100}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + 99( - 5)} \right].100}}{2} = - 24950$.

b) Sai. ${u_{180}} = {u_1} + 179d = - 2 + 179( - 5) = - 897$.

c) Đúng. ${u_2} = {u_1} + d = - 2 + ( - 5) = - 7$.

d) Sai. Vì công sai d = -5 nên dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy giảm.

Tìm tứ phân vị thứ ba.

25% các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất có lượng nước tiêu thụ không nhỏ hơn $Q_3$, với $Q_3$ là từ phân vị thứ ba của mẫu số liệu.

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu $x_1; x_2; \ldots ; x_{160}$ là $\frac{1}{2} (x_{120} + x_{121})$.

Do $x_{120}$ và $x_{121}$ thuộc nhóm [9;12) nên từ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_3 = 9 + \frac{160 \cdot 3}{4} - \frac{(24 + 57)}{42} \cdot (12 - 9) \approx 11,8$.

Vậy công ty nên gửi thông báo tiết kiệm nước đến các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ 11,8 m³ nước trở lên.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

$\sin x = \cos 2x \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos 2x$

$\Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - x = 2x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - x = - 2x + k2\pi \end{array}$ \right. \Leftrightarrow \left[ $\begin{array}{l} - 3x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array}$ \right. \Leftrightarrow \left[ $\begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array}$ \right. $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Các nghiệm thuộc đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ là $x = - \frac{\pi }{2}$; $x = \frac{\pi }{6}$.

Tổng các nghiệm trên là $- \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{3}$.

Suy ra $\frac{a}{b} = \frac{1}{3} \Rightarrow a + b = 1 + 3 = 4$.

Áp dụng công thức nhân đôi.

$\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1 = 2{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 1 = - \frac{7}{9}$.

Nếu cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội q thì số hạng tổng quát ${u_n}$ của nó được xác định theo công thức: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$ với $n \ge 2$.

Theo đề: $\{\begin{array}{l}{u}_6=96\\ u_3=12\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1{q}^5=96\\ u_1{q}^2=12\end{array}\Rightarrow q^3=8\Rightarrow q=2$$\begin{cases} u_6 = 96 \\ u_3 = 12 \end{cases}$ \Leftrightarrow $\begin{cases} u_1 q^5 = 96 \\ u_1 q^2 = 12 \end{cases}$ \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2.

Với $q = 2$. Suy ra $u_1 = 3$.

Khi đó $u_{20} = u_1 q^{19} = 3 \cdot 2^{19} = 1572864$.

Cho h(t) = 11. Giải phương trình lượng giác cơ bản.

Dựa vào đồ thị ta có:

$\{\begin{array}{l}h(2)=14\\ h(14)=10\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a+b=14\\ a-b=10\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=12\\ b=2\end{array}\Rightarrow h(t)=12+2\cos \left(\frac{\pi }{12}t-\frac{\pi }{6}\right)\mathrm{.}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{h(2) = 14}\\{h(14) = 10}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a + b = 14}\\{a - b = 10}\end{array}} \right.$ \Rightarrow $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 12}\\{b = 2}\end{array}} \right.$ \Rightarrow h(t) = 12 + 2\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t - \frac{\pi }{6}} \right).

$h(t) = 11 \Leftrightarrow 12 + 2\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t - \frac{\pi }{6}} \right) = 11 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 10 + 24k}\\{t = - 6 + 24k}\end{array}$} \right..

Vì $0 \le t \le 24$ nên:

$\left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{0 \le 10 + 24k \le 24}\\{0 \le - 6 + 24k \le 24}\end{array}$} \right. \Leftrightarrow \left[ {$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{ - 5}}{{12}} \le k \le \frac{7}{{12}} \le k \le \mathbb{Z}}\\{\frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4}}\end{array}$} \right. \Rightarrow \left[ {$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{k = 0}\\{k = 1}\end{array}$} \right. \Rightarrow \left[ {$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 10}\\{t = 18}\end{array}$} \right..

Vậy tại thời điểm 10h và 18h thì chiều cao của mực nước là 11 m.

Nếu cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội q thì số hạng tổng quát ${u_n}$ của nó được xác định theo công thức: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$ với $n \ge 2$.

Gọi $a$ (người) là dân số của tỉnh $A$ vào năm 2009, $a \in {N^*}$. 

Khi đó số dân mỗi năm của tỉnh $A$ từ năm 2009 đến năm 2019 là một cấp số nhân với ${u_1} = a,q = 1 + 0,5\% = 1,005$. 

Số dân năm 2016 và số dân năm 2019 là ${u_8} = a.1,{005^7}$ và ${u_{11}} = a.1,{005^{10}}$. 

Dân số của tỉnh $A$ năm 2020 là $a.1,{005^{10}}.(1 + 0,35\% ) = a.1,{005^{10}}.1,0035$. 

Khi đó số dân mỗi năm của tỉnh $A$ từ năm 2020 đến năm 2030 là một cấp số nhân với 

$u_1 = a.1,{005^{10}}.1,0035,{q^*} = 1 + 0,35\% = 1,0035$. 

Số dân năm 2024 là $u_5 = \left( {a.1,{{005}^{10}}.1,0035} \right).1,{0035^4} = a.1,{005^{10}}.1,{0035^5}$. 

Theo đề ta có, $a.1,{005^{10}}.1,{0035^5} - a.1,{005^7} = 65966 \Rightarrow a \approx 1932509$ (người). 

Vậy số dân tỉnh $A$ năm 2030 là $1932509.1,{005^{10}}.1,{0035^{11}} \approx 2110927$ (người).